2021届新高考地区优质数学试卷分项解析3 函数及其应用【解析版】

2021届新高考地区优质数学试卷分项解析

专题3函数及其应用

一、单选题

1.（2021・聊城市•山东聊城一中高三一模）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水

果失去新鲜度人与其采摘后时间f（天）满足的函数关系式为力=加.储.若采摘后10天，这种水果失去的

新鲜度为10%,采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去

50%新鲜度（已知lg2ko.3,结果取整数）（）

A.23天B.33天C.43天D.50天

【答案】B

【解析】

11,

根据题设条件先求出加、。，从而得到,据此可求失去50%新鲜度对应的时间.

20

【详解】

'=2

10%=〃"/°'11L

）]1，故〃—110，故//=—,210，

20%=力。2。m=-L。-220

120

令〃=1,工210=10,/.—lg2=l>故£=二土33,

2100.3

故选：B.

2.（2021•辽宁沈阳市•高三一模）5G技术的数学原理之一是著名的香农公式:。=卬/。82（1+5|它表示：

在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的

q

高斯噪声功率N的大小，其中一叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.假设目前

N

q

信噪比为1600,若不改变带宽W,而将最大信息传播速度。提升50%,那么信噪比一要扩大到原来的约

N

（）

A.10倍B.20倍C.30倍D.40倍

【答案】D

【解析】

3

根据题意可得C=W/og21600,1c=W/^2（1600f）,两式联立，再利用对数函数的单调性求解.

【详解】

由条件可知C=VWog21600,

设将最大信息传播速度C提升50%,

那么信噪比一要扩大到原来的1倍，

N

则10=皿/限（1600/）,

所以g/意21600=log2（\600/）,

3

即/窗2KOO。=/卷式1600。，

3

所以1600,=16002，

解得，=40,

故答案为：D

3.（2021•广东广州市•高三一模）2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底,

下潜深度达到惊人的10909m,创造了我国载人深潜的新记录.当“奋斗者'’号下潜至某一深度时，处于其正

上方海面处的科考船用声呐装置向"奋斗者'’号发射声波.已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s,

若从发出至回收到声波所用时间为6s,贝心奋斗者'’号的实际下潜深度约为（）

A.2900mB.4350mC.5800mD.8700m

【答案】B

【解析】

可得声波从海面传到“奋斗者'’号的时间为3s,即可求出实际下潜深度.

【详解】

可得声波从海面传到“奋斗者'’号的时间为」x6=3s,

2

则“奋斗者”号的实际下潜深度约为1450x3=4350m.

故选：B.

4.（2021•全国高三专题练习（理））溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH=-其

中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在IX10-745~1x10-735之

间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是（)

A.[7.25,7.55]B.[7.25,7.45]C.[7.25,7.35]D.[7.35,7.45]

【答案】D

【解析】

按题设所给公式求相应的pH值即可.

【详解】

745735

依题意,pHt=-lg[lxl0-]=7.45,pH2=-lg[lxl0-]=7.35,因此,正常人体血液的pH值的范

围是[7.35,7.45].

故选:D.

5.（2021•江苏盐城市•高三二模）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传

染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当基本

传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的

基本传染数为R。，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗（工称为接

N

种率），那么1个感染者新的传染人数为。■（N-V）.己知新冠病毒在某地的基本传染数《=2.5,为了使1个

感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）

A.40%B.50%C.60%D.70%

【答案】C

【解析】

由题意列不钟式25（"-A],即可求出结果.

N

【详解】

25（N-V]V15

由题意可得：—------<1=>2.5N-2.5V<N^—>—=60%

NN2.5

故选：C.

八xlnlx\

6.（2021•全国高三专题练习）函数/。）=下『的大致图象为

【答案】A

【解析】

%ln|x|Inx,x>0

将函数表达式化为/（九），由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终

|x|[-/n(-x),x<0

结果.

【详解】

xln|x|jlnx,x>0

因为小）=是奇函数排除8,C,且当尤＞1时,/(x)>。.

|x|x),x<0

故答案为A.

7.（2022山东烟台市•高三一模）已知〃X）是定义在R上的奇函数,/（2-x）=/（%）,当xe[0,l]时,

/（力=/，则（）

A.”2021）=0B.2是/（力的一个周期

C.当xw（l,3）时，=—D./（x）＞0的解集为（伏，必+2）（左eZ）

【答案】D

【解析】

由/（x）是定义在R上的奇函数、/（2—x）=/（x）可得/（X）的最小正周期是4,即可判断A、B的正误,

然后可得时，f（x）=无3,然后结合条件可判断c、D的正误.

【详解】

因为“X）是定义在R上的奇函数，所以/（2—x）=/（x）=-/（-x）

所以f（2+x）=—/（X）,所以/（4+力=一/（2+力=/（力

所以“X）的最小正周期是4,故B错误

/（2021）=/（1）=1,故A错误

因为当时，〃x)=d,/(x)是定义在R上的奇函数

所以当x«T,l]时，/(x)=x\

当xe(l,3)时，2-X€(-1,1),/(X)=/(2-X)=(2-X)3,故C错误

因为当xe(O,2)时，〃x)>(),/(x)的最小正周期是4,

所以〃x)>()的解集为(4仁以+2)(AeZ),故D正确

故选：D

x3--XHO

8.(2021•江苏常州市•高三一模)若/(x)=x'则满足4•(九一1)20的x的取值范围是()

0,x=0

A.[T,1]U[3,”)B.(^»,-1]U[0,1]U[3,4W)

C.[-l,0]u[l,+oo)D.(-oo,-3]u[-l,0]u[l,+oo)

【答案】B

【解析】

按尤=1或0,x<0,x>l和0<x<l四种情况，分别化简解出不等式，可得x的取值范围.

【详解】

①当x=l或。时，犷'(X-1)=0成立；

②当x<0时，xf(x-l)=x(X—1)3-三>0,可有(工一1)34与，解得为<—1；

X—1_X1

"、316-

③当X〉0且XH1时，xf(x-l)=x(X-1)------>0

X—1_

若x>l,则(x-l『216,解得xN3

若0<x<l,则解得0<X<1

所以xe(F,-1]d[0,1]u[3,”)

则原不等式的解为xe(-8,—l]u[0,l]D[3,+8),

故选：B

9.(2021.山东滨州市.高三一模)定义在R上的函数/(X)满足/(一力=一/(力，且也,毛GP+00)，%产马

时，都有（％一工2）［/（为）_/（工2）］＞0，则（)

A./(山)<人叫)</臼B.小。g,£|＜/（1呜3）＜/仔

C./flog3lk/f2^</(log43)D.（（1＞

f22＜/（log43）＜/log,-

k7I”

【答案】B

【解析】

由题意可知函数为奇函数，且函数在［0,+8）上单调递增，比较自变量的大小，利用函数的单调性即可求解.

【详解】

Vxpjc,e［0,+oo）,x尸马时，都有（X王）一/（々）］＞°，

所以函数在［（）,”）上单调递增，

又函数/（力满足=

所以函数为奇函数，且/（0）=0,

所以“X)在(-oo,0)上单调递增，

log3^-=-log34<-l,又0<唾43<1,2；=夜，

则log?/<log43<V2,

(1\(1A

所以/I%]</(log43)</22.

故选：B

10.(2021•山东青岛市•高三一模)若；g3(x+l)，x'°,不等式/(x)>_L的解集为()

2,xv02

A.(-1,0)-1,+oc)B.(—oo,l—^3l,+oo)

C.(-l,0)u(0,V3-l)D.(-co,-l)u(V3-1,+ooj

【答案】A

【解析】

分x20和X<0两种情况分别求解，再求并集即可.

【详解】

当x20时,

log3(x+1)>；=log3>/3=>x+l>百X>yJ3-1

当x<0时,

2V>-=2-'nx>-l-l<x<0

2

综上不等式/(x)>g的解集为(-l,0)u(V3-l,+oo)

故选:A.

02

11.(2021•山东济宁市•高三一模)已知a=sin2,b=log20.2,c=2,则()

A.a>b>cB.c>a>hC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】

根据正弦函数，指数函数与对数函数的单调性，分别判定。，上c的范围，即可得出结果.

【详解】

兀

由a=sin2知：sin0<sin2<sin—=>0<sin2<1,

2

则0<a<l；

由b=log20.2知：log20.2<log21=0,

则6<0；

由c=202知:20<20-2<21=>1<20-2<2.

则1<c<2,

所以c>a>h；

故选：B.

12.(2021•全国高三专题练习)已知2020"=2021,2021=2020,c=In2,则()

ecah

A.logac>log/,cB.logra>log(,bC.a<bD.c<c

【答案】D

【解析】

由题意知0<6<l<a,0<c<l,根据各选项并结合对应函数的区间单调性，即可判断指对数式的大小关

系.

【详解】

由题意知：a=log20202021>1>/?=log202]2020>0,而0<c=ln2<l，

y=logcX在定义域内单调减，故log’avOvlog,方，则B错误;

,1八，1

f=--------<0<log,,c=------故A错误;

log,alog,J?

y=在第一象限的单调递增知优>，故C错误;

y=c*定义域内单调递减，即c"<c"，故D正确;

故选：D

13.（202L全国高三专题练习）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:

X-2-1123

y0.240.512.023.988.02

在以下四个函数模型（a,A为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）

b

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+log〃xD.y^a+hx

x

【答案】D

【解析】

在坐标系中画出点，根据点的特征进行判断即可.

根据点在坐标系中的特征可以知道,

当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A；

由图象不具有反比例函数特征，排除B；

因为自变量有负值，排除C；

当自变量增加到3时，y增加的很多，所以符合指数的增加特征，D正确,

故选：D.

ev+ln2,x<0,,、

14.(2021•山东枣庄市•高三二模)已知函数=,则“如)=<)

22

A.—B.2eC.—rD.2c2

ee~

【答案】A

【解析】

先分析出x>0时/(%)的周期性，然后根据周期性以及已知条件将问题转化为计算，(一1)的值，由此求解

出结果.

【详解】

当x>0时，因为〃x)="x-3),所以〃x)=/(x+3),所以/(x)是周期为3的函数，

所以/(2021)=/(3x673+2)=/(2),

Jn272

又因为〃2)=/(—l)=e-"E2=J=±,所以”2021)=—，

eee

故选：A.

结论点睛：周期性常用的几个结论如下：

(1)丁=/(%)对VxeR时，若/(x+a)=/(无一或〃x-2a)=/(x)(awO)恒成立,则2时是/(%)

的一个周期：

看或｛+。)=-右

(2)y=/(x)对VxwR时,若一/(%)=/(%+。)或(aH0)

恒成立，则2时是“X)的一个周期；

(3)若/(力为偶函数，其图象又关于x=a(a/0)对称，则/(x)是以2时为一个周期的周期函数;

(4)若“尤)为奇函数，其图象又关于x=a(awO)对称，则/(x)是以4同为一个周期的周期函数.

15.（2021•辽宁铁岭市•高三一模）若关于x的方程也二^_巾_3=0有两个不相等的实数根，则实数加

的取值范围是（）.

A/"

I2」I3

【答案】D

【解析】

将方程d_如_3=0，转化为，2x—f=mr+3,在同一坐标系中作出函数y=12%一％2与

y=/nx+3的图象，利用数形结合法求解.

【详解】

f'1'\j2x-x2—mx—3=0,即为，2x—x2=〃ix+3,

因为方程J2X—4_3=0有两个不相等的实数根，

所以函数3与y=巾+3的图象有两不同的交点，

在同一坐标系中作出函数y=J2x_f勺y=/nx+3的图象如图所示:

由图象知：当直线y=mx+3过点（2,0）时，m=~,

一|帆+3|

当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即）=1,

J1+川

4

解得m=一一,

3

-34、

所以实数优的取值范围是一5，一§，

故选：D.

16.（2021.山东烟台市.高三一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量尸（单位:

mg/L）与时间“单位：h）间的关系式为P=胪",其中R,k为正常数.如果一定量的废气在前10h的过滤

过程中污染物被消除了20%,那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？（结果四舍五入取

整数，参考数据•：/H2»0.693,/H5»1.609）（）

A.UhB.21hC.31hD.41h

【答案】B

【解析】

先由已知条件建立方程求得A,再代入模型中求得时间得选项.

【详解】

11

由已知得1—上=6一1°«,方程两边取自然对数得由3=一10&,所以一”,=0方223,

55—10

设污染物减少到最初含量的50%需要经过r小时，则!=e«0223，，两边取自然对数得Ing=—0.0223/,解

得£=31,

所以还需要经过31-10=21个小时的时间使污染物减少到最初含量的50%,

故选：B.

17.（2021•山东滨州市•高三一模）定义在R上的偶函数/（X）满足,f（2+x）=〃2-x）,当［一2,0］时，

/（x）=x+2,设函数/z（x）=efT（_2<x<6）（e为自然对数的底数），则与〃（x）的图象所有交

点的横坐标之和为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

根据已知条件求出/（X）的周期，利用周期性和偶函数作出“X）在区间（-2,6）的图象，以及

h(x)=e-M(-2<x<6)的图象，数形结合即可求解.

【详解】

因为“X)满足”2+力—

所以/(X)图象关于直线x=2对称，

因为“X)是R上的偶函数，所以“X)图象关于直线尤=0对称，

所以“X)的周期为4，

〃("=/1(-2<%<6)的图象关于直线犬=2对称，

由xe[―2,()]时，/(x)=x+2,作出/(x)图象如图和〃(x)=e+T(_2<x<6)的图象

qX+%4_2W+*3.

2'2一

所以玉+々+%+/=8,

所以与的图象所有交点的横坐标之和为8,

故选：D

18.(2021•山东德州市•高三一模)设函数/(x)=xe*-a(x-l),其中a<l,若存在唯一整数x0,使得

/(/)<1,则a的取值范围是().

一1八「inr1n「i八

A.—7/B.—7»-C.-D.-y,1

LeJLeeje“e)e；

【答案】C

【解析】

由原不等式可得x(e=a)<0,分aVO,O<acl两种情况讨论,求出不等式的解，根据解集在唯一整数％

即可求解.

【详解】

由f(%)<。可得xex-ax+a<a>

化简得x(e*—a)<0,

当“40时，ex-a>ex>0>

故当x<0时，x(e*-。)<0恒成立，

故不存在唯一整数%,使得/(/)<。成立，

当0<。<1时，令e*-a>0，解得x>lna且ln〃<0,

所以x(e*—。)<0的解为InavxvO,

Ina<-1

若存在唯一整数距w(ln〃,O),则<…

\na>-2

解得aG[―,—),

ee

故选：C

19.(2021•山东日照市•高三一模)如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合.若单位圆从原点出发沿工

轴正向滚动一周，则A点形成的轨迹为()

【答案】A

【解析】

分析当单位圆向x轴正向滚动万个单位长度时A的纵坐标，由此判断出A点形成的轨迹.

【详解】

如图所示，记aCD为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，

jr

因为圆的周长为2»，所以43=3。=。£＞=4。=＜，且圆上点的纵坐标最大值为2，

2

当圆逆时针滚动万单位长度时，此时AC的相对位置互换，所以A的纵坐标为2,排除BCD,

故选：A.

20.(2021•山东青岛市•高三一模)已知y=/(x)为奇函数，y=/(x+l)为偶函数，若当时，

/(x)=log2(%+«),则/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

由"0)=0得“=1,y=/(x+l)为偶函数得“X)关于x=l对称，故周期为4,则问题可解.

【详解】

/(x)为奇函数，"0)=0且/(x)关于原点对称①

：时/(x)=log2(x+a),log2(0+«)=0.：,a=\

二时/'(x)=log2(x+l),

vy=/(x+l)为偶函数关于y轴对称.

则/(X)关于x=l对称②

由第可知［九))(2?)

.•・小)=/(2-司=-仆-2),"(x+Z)=-小).

/(x+4)=-/(%+2)=-/(一/(力)=/(x),

/(x)周期为4,/(2021)=/(l)=log22=1,

故选：C.

21.(2021♦江苏省天一中学高三二模)定义在R上的函数＞=/(x)满足且y=/(x+l)为

奇函数，则y=/(x)的图象可能是()

【解析】

根据y=/(x+l)为奇函数，得到函数关于(1,0)中心对称，排除A8,计算|/(1.5)|40排除C,得

到答案.

【详解】

y=/(x+l)为奇函数，即/(x+l)=—/(—九+1),函数关于(1,0)中心对称，排除A3.

|/(1.5)|<2|L5-'I=X/2,排除C.

故选：D

22.(2021.辽宁沈阳市.高三一模)已知函数g(x),〃(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

g(x)+A(x)=e"+x,若函数〃力=2内+/lg(x—1)—6分有唯一零点，则正实数4的值为()

11

A.一]B.-C.2D.3

23

【答案】A

【解析】

首先利用方程组的方法分别求函数g(x)和妆工)的解析式，令“(》)=/+4g(力—622,利用导数分析

函数的单调性，以及极值点，利用函数有唯一的零点，可知极小值/(o)=o,利用平移可知/(1)=0,求

正实数/I的值.

【详解】

g(x)+〃(x)=e”+x

由已知条件可知〈

g(-x)+/z(r)="X-x=g(x)-%(x)

由函数奇偶性易知g(X)=《q

令〃(x)=2W+/lg(x)-622,“(x)为偶函数.

当x»0时，^'(x)=2'7n2+Z＞0.

2

收(x)单调递增，当x<0时，〃(x)单调递减，收(力仅有一个极小值点0J(x)

〃(x)图象右移一个单位，所以仅在1处有极小值，

则函数只有1一个零点，即/(1)=0,

解得彳=工，

2

故选：A

23.(2021•全国高三专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子'’的美誉,

用其名字命名的“高斯函数”：设x=夫，用[可表示不超过x的最大整数，则丁=[可称为高斯函数，也称取

整函数，例如：[-3.7]=T,[2.3]=2.己知〃尤)=K则函数y=[/(x)]的值域为()

A.{0}B.{-1,0}C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1}

【答案】C

【解析】

21

利用常数分离法将原函数解析式化为/(司=-工有+万，然后分析函数“X)的值域，再根据高斯函数的

含义确定旷=[/(耳]的值域.

【详解】

ex-l1_ev+l-21_21

ex+\~2=ex+\—―2=~ex+]+2

22I11)

当x20时，ex＞\^则一14一一--＜0,故/(%)=一一;~[+不£-5’不，故[/(1)]£{-1，。}；

匕~।JLC।I乙乙乙J

221

但尤＜()时，0＜，＜1，则一2＜一一--＜一1,故/(x)=---+-e[/(x)]e{_2,T}；

e+1ex+l2

综上所述，函数y=[f(x)]的值域为{-2,-1,()}.

故选：C.

【点睛】

本题考查新定义函数及函数值域求解问题，解答本题的关键在于根据指数函数的性质分析清楚

〃力=三1一（的值域，然后确定y=[f（x）]的值域.

24.（2021.全国高三专题练习）设“X）是R上的奇函数，且/（X）在（—,0）上是减函数，又/（一4）=0,

则不等式/（£+4）"1）>0的解集是（）

X

A.（0,4）B.（-8,-4）C.（-4,0）U（0,4）D.（―8,—4）<J（0,4）

【答案】B

【解析】

分析出函数/（x）在（F,。）、（0,+力）匕的单调性，以及/（4）=/（T）=0,化简得出/（x+4）〉o,结

x

合图象可得出关于实数X的不等式组，由此得出原不等式的解集.

【详解】

因为/（X）是R上的奇函数，则/（0）=0，

由于函数/（x）在（-8,0）上是减函数，则该函数在（0,+纥）上也为减函数，

•."（T）=0,则/（4）=-/（T）=0,作出函数的大致图象如下图所示:

由〃x+4)T(-4)〉o,可得2/(X+4)〉O,

XX

7(%+4)>0x+4<-4[0<x+4<4

由*可得《八或〈八，此时XW0；

x>0x>0[x>0

由小4）<0-4<x+4<0x+4>4

可得〈或〈，解得一8<x<-4.

x<0x<0尤<0

因此，不等式“"4）一/（7—4）>0的解集是（_集汽）

X

故选：B.

【点睛】

方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，

方法是：

（1）把不等式转化为/[g（x）]〉/[〃（x）]；

（2）判断函数/（X）的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式（组）,

但要注意函数奇偶性的区别.

二、多选题

25.（2021•广东深圳市•高三一模）已知函数/（尤）=3,+尤3,若0<相<1<〃，则下列不等式一定成立的有

（）

A./（l-m）</（«-1）B.f（2yjmn）<f\m+n）

C./（log„,n）</（Iog„m）D.

【答案】BD

【解析】

确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项.

【详解】

易知/（x）=3"+-是H上的增函数,

0<机<1<〃时，/〃+〃>2-Jnrn成立，加‘<1<成立，BD一定成立；

1-•机与〃一1的大小关系不确定，A不-一定成立；

同样log,“〃与log,“〃的大小关系也不确定，如时，log,“〃=log=-1,C也不一定成立.

n

故选：BD.

26.（2021•全国高三专题练习）已知函数，（x）=2*+2T,则下列结论正确的是（）

A./（X）是偶函数B./（X）是增函数

C./（X）最小值是2D.“X）最大值是4

【答案】AC

【解析】

根据函数的奇偶性，均值不等式及特值法求解即可.

【详解】

/(%)=2*+2-'的定义域为xwR，关于原点对称，

又/(-》)=27+2*=/(无)，

所以函数为偶函数，所以函数在R上不是增函数，故A正确B错误；

乂/(x)=2、+2242,.2r=2,当且仅当2』=2-*，即x=0时等号成立，故C正确；

当x=2时，/(2)>4,故D错误.

故选：AC

27.(2021♦广东汕头市・高三一模)已知定义在R上的奇函数，满足./■(2—x)+/(x)=0,当xe(O,l］时，

/(X)=-log2x,若函数E(x)=/(x)-tan(^-x)，在区间［-LM上有10个零点，则m的取值可以是()

A.3.8B.3.9C.4D.4.1

【答案】AB

【解析】

由对称性和奇偶性得出函数，(力是周期函数，作出函数y=f(x)和y=tan(4x)的图象，由图象观察得两

个函数图象有10个交点时，m的范围.

【详解】

Ax)是奇函数，贝1」/(一幻=一/(幻，又/(2-x)+/(x)=0,f(2-x)=-f(x)=f(-x),

令/=一“得y(f)=/(r+2),即/(x)=f(x+2),所以f(x)是周期函数，周期为2,

又/(x)是R上的奇函数，所以/(0)=/(2)=/(4)=•••=(),/(1)=0,所以/(〃)=0,neZ,

7T

作出丁=/'0)和丁=tan("x)的图象，其中y=tan(〃x)的周期是7=一=1,

71

如图，由图可知X2—1时，从点4(一1,0),10个交点依次为4氏0,。,。,瓦£6,",/,点)是第11个

交点，J(4,0),

设C点横坐标为%,显然不€(0,5,/(^-)=-log2^-=2,tan(；))=1,因此%>；,

所以7<“)<]，于是一5<XB<——>4—]<X/<4—z，口|J3.5</<3.75,

所以加可取3.8,3.9,时至少有11个零点，

A.0<x2<%]<1B.0<x,<x2<1

C.IgX]-x,lgx2<0D.x2Igx,-x,lgx2>0

【答案】BC

【解析】

根据对数函数的性质可判断AB正误，由不等式的基本性质可判断CD正误.

【详解】

由玉=-10g3%〉0可得0<%|<1,同理可得0<%2<1，

因为xe(0,l)时，fi<log2x<log3x

所以%一%=1082工2—1。83%<0,即不<马，故A错误B正确；

因为0v%v々v1，

所以lg%vlg%2V。，即0<Tg(2v-lg%，

由不等式性质可得-xjg%2<一々1g%，即工21g王一玉1g工2<°，故C正确D错误.

故选：BC

三、填空题

29.(2021.山东济宁市.高三一模)已知函数〃x)=,

【答案】e

【解析】

根据分段函数解析式，代入即可求解.

【详解】

e*,x>0

由/(%)="

/1(x+2),x<0

得/(一5)=〃-5+2)=/(-3)="-3+2)=〃-1)=/(-1+2)=/。)=0：

故答案为：e.

30.(2021•山东枣庄市•高三二模)写出一个图象关于直线x=2对称且在［0,2］上单调递增的偶函数

〃力=

71

【答案】—cos-X

2

【解析】

1T

取f(x)=—COS］X,再验证其奇偶性、对称性、单调性即可.

【详解】

7T

-cos-x=/(x),即“X)为偶函数

JTJT

由］x=ki,x=2k,keZ、当A=1时，/(x)=-cos—x关于直线x=2对称

由［0,2］得匹则由余弦函数的性质可知，函数/(x)=—cos^x在［0,2］上单调递增

jr

故答案为：f(x)=-cos—x

31.(2021•山东日照市•高三一模)若函数/(x)=log.x(a>1)在区间［a,2a］上的最大值是最小值的3倍,

贝(Ja=.

【答案】6

【解析】

分析函数f(x)在区间左］上的单调性，可得出关于实数。的等式，由此可解得实数a的值.

【详解】

Qa>l,所以，函数/(x)在区间［a,2a］上为增函数，

由已知条件可得108“(2。)=3108"=108”。3,.“3=2。，Q。〉］,解得。=血.

故答案为：y［2-

32.(2021•辽宁铁岭市•高三一模)赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款.银

行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为

(1+0.5%)'2

0.5%,则赵先生每个月所要还款的钱数为_____兀.(精确到0.01元，参考数据------V—b17.213)

(1+0.5%)-1

【答案】430.33

【解析】

本题首先可设每一期所还款数为x元，然后结合题意列出每期所还款本金，并根据贷款5000元列出方程，

最后借助等比数列前〃项和公式进行计算即可得出结果.

【详解】

设每一期所还款数为x元，

因为贷款的月利率为0.5%,

YXXX

所以每期所还款本金依次为—-7——人c,。八3、…、C<0八12，

1+0.5%(1+0.5%)(1+0.5%)(1+0.5%)

XXX_X

|il||--------------1---------------------T---------------------7+L4---------------------TZ=5000

1+0.5(1+0.5%)'(1+0.5%)(1+0.5%)

即x——+------1——-+------1——r+L+-------5一=5000,

1+0.5(1+0.5%)(1+0.5%)(1+0.5%)

(1+0.5%)"+(1+0.5%)，0+---+(1+0.5%)+1

X5000,

(1+0.5%)'2

(1+0.5%)"-1

=5000,

0.5%(1+0.5%)'2

_5000x0.5%x(l+0.5%)'2

。430.33,小明每个月所要还款约430.33元,

'—(1+0.5%)'2-1

故答案为：430.33.

33.(2021•浙江高二期末)已知I)宁(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的xGR,./(x+2)=y(-x)恒成立，当

-1WX<0时，40=23则7(2021)=.

【答案】---

2

【解析】

由已知条件推出函数/(%)的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可.

【详解】

y=/W的图象关于坐标原点对称，则/(x)=—/(—x)

又/(x+2)=/(-x),可得〃x+2)=-/(x)=/(x—2),即/(X)的周期为4

/(2021)=/(4x505+l)=/(l)=-/(-l)=-1

故答案为：—

2

/、[2x—a,x＜\

34.(2021•山东高三专题练习)设函数若=则。=___________

N，4—1

3

【答案】—

2

【解析】

把』-a代入函数中列方程可求出。的值

先求出|=T-,再分二一。＜1和两种情况,

2222

【详解】

・・」＜1

*＜•1,

4

/.f\_|=2x—a=­a.

42

当g—时，即a〉_gn寸，f=/[g_a)=2x

=l-3a=4,则a=—1,与

。＞一不相矛盾，应舍去.

2

当工—QN],即时，/[f\—=f\——a\=2^=4,则L_〃=2,即〃=_▲,满足〃〈―工

22/222

时.

3

故答案为：一不.

2

35.（2021•广东深圳市•高三一模）已知函数的图象关于y轴对称，且与直线丁=尢相切，则满足上述条件的

二次函数可以为/（x）=.

【答案】x2+-（答案不唯一）.

4

【解析】

关于丁轴对称，函数为偶函数，可以设/（x）=ox2+c,然后由它与直线y=x相切可求得的关系，取

特殊可得结论.

【详解】

因为二次函数F（X）的图象关于y轴对称，所以可设f（x）="2+c,

2

y-QJQ-|_c|

由＜得加-x+c=0,所以A=l—4ac=0，即ac=—.

y=x4

取4=1,C=L,则/（幻=/+’,（答案不唯一）.

44

故答案为：x2+-（答案不唯一）.

4

36.（2021•全国高三专题练习）若函数f（