新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第36讲圆锥曲线的离心率问题教师版

第36讲圆锥曲线的离心率问题一．选择题（共27小题）1．（2021春•滁州期末）如图，设椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是A． B． C． D．【解答】解：如图，连接，椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，直线平分线段于，为的中位线，，且，，解得椭圆的离心率．故选：．2．（2021•常德期末）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解答】解：椭圆的左顶点为，右焦点为，若点为曲线上一点，左焦点且以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，可得，，，可得，所以，，所以，，解得，解得，故选：．3．（2021•浙江期中）如图，，，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为A． B． C． D．【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，，，设，由对称性可知：，由椭圆的定义可知：，由，则，则△中，由，则，整理得：，在△中，，将代入解得椭圆的离心率．故选：．4．（2021•衢州期末）已知，，是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是A． B． C． D．【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，，，设，由对称性可知：，由椭圆的定义可知：，由，则，则△中，由，则，整理得：，在△中，，将，代入解得椭圆的离心率，故选：．5．（2021•湖南校级模拟）如图所示，，，是双曲线上的三个点，经过坐标原点，经过双曲线的右焦点，若，且，则该双曲线的离心率是A． B． C． D．3【解答】解：设双曲线的左焦点为，则四边形是矩形，由，，可得．又，在直角三角形中，，解得．故选：．6．（2021•让胡路区校级一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以坐标原点为圆心，以为直径的圆交双曲线右支上一点，，则双曲线的离心率的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：设，则，，，，，．故选：．7．（2021•运城模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【解答】解：如图：双曲线的左，右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点，，可知是正三角形，所以，，代入双曲线方程可得：．又，，可得，解得．故选：．8．（2021•天心区校级月考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，且双曲线的离心率为2．则A． B． C． D．【解答】解：由双曲线的定义知，，，，即，，在△中，由余弦定理知，，，，，故选：．9．（2021•河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．【解答】解：设，则，，，同理，，，，，在，中，，即，得，有，，在△，中，由，即，得，即离心率，故选：．10．（2021•双流区校级期中）已知椭圆的右焦点为，满足，若点为椭圆上一点，记的最大值为，记最小值为，则的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：因为，所以，即，所以，由已知得的最大值为，最小值为，则，又由得，所以，所以，所以，所以的取值范围为，故选：．11．（2021•滨州期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【解答】解：如图，连接，，过点的直线与圆相切于点，，依题意可得，，，，，，，，双曲线的渐近线方程为．故选：．12．（2021•福建模拟）已知双曲线的左、右焦点坐标分别为，，过作圆的切线交的右支于点．若，则的离心率为A． B． C． D．【解答】解：设切点为，连接，过作，垂足为，由，且为△的中位线，可得，，即有，则，即有，由双曲线的定义可得，则，，即，又，，解得：（舍或．故选：．13．（2021•广州一模）已知为坐标原点，设双曲线的左，右焦点分别为，，点是双曲线上位于第一象限内的点．过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．2【解答】解：延长交与，由为的角平分线，，所以为的中点，，连接，则为△的中位线，所以，而因为，而所以整理可得，即，解得或1，再由双曲线的离心率大于1，可得，故选：．14．（2021•榆林四模）已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右焦点分别为、且，则双曲线的离心率为A． B．或3 C． D．或4【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，，可得，即有直线的斜率为，由直线与双曲线：双曲线的一条渐近线交于点，可得，可得，即有，化为，由可得，解得或，由，可得，即，可得舍去．故选：．15．（2021•新疆模拟）已知，是双曲线的两个焦点，过的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，即，①连接，在直角三角形中，可得，又，可得，则，，又在直角三角形中，，所以，由为△的中位线，可得，由双曲线的定义可得，即，②由①②解得，，所以双曲线的方程为．故选：．16．（2021•西青区期末）已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线、的离心率相同．若是双曲线一条渐近线上的点，且为原点），若，则双曲线的方程为A． B． C． D．【解答】解：双曲线的离心率为，设，双曲线一条渐近线方程为，可得，即有，由的面积为16，可得，即，又，且，解得，，，即有双曲线的方程为，故选：．17．（2021•临汾模拟）已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线一条渐近线上的点，且，若的面积为16，且双曲线，的离心率相同，则双曲线的实轴长为A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：双曲线的离心率为，设，双曲线一条渐近线方程为，可得，即有，由的面积为16，可得，即，又，且，解得，，，即有双曲线的实轴长为16．故选：．18．（2021•河北区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆离心率的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：因为直线过左焦点，若，即焦点三角形为直角三角形，且，根据焦点三角形的性质，当为短轴顶点（设为时，有最大值，所以若有，则，所以，即，也即，所以离心率，又因为椭圆离心率，所以，，故选：．19．（2021•昌邑区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于A． B． C． D．【解答】解：，，，△是直角三角形，，，由椭圆的定义可得，，，．故选：．20．（2021•湖北模拟）设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，，为其共同的左、右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：依题意有，即，，，解得，，，，，故选：．21．（2021春•浙江月考）已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若不是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是A． B．， C．， D．，【解答】解：因为不是锐角三角形，所以为钝角，因为双曲线关于轴对称，且直线垂直轴，所以，所以，因为为右焦点，设其坐标为，所以，所，，所以，所以，所以（舍去）或，所以双曲线的离心率为，．故选：．22．（2021•浙江模拟）已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是A．， B． C．， D．，【解答】解：点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，不妨在第一象限，，代入双曲线方程可得：即：，可得，可得，直线，，可知，，，，所以，．故选：．23．（2021•重庆期末）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【解答】解：，设，，，则，，根据双曲线的定义，得，即，解得，，即，，，△中，，在三角形中，，，，可得，因此，该双曲线的离心率．故选：．24．（2021•辽宁模拟）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，，是双曲线的一条渐近线上两个不同点，满足，都垂直于轴，过作，垂足为，若四边形的面积是三角形面积的4倍，则双曲线的离心率A． B．2 C．3 D．【解答】解：由双曲线的方程可得，，渐近线方程为，由题意可得，都在渐近线上，可得，矩形的面积为，三角形的面积为，由题意可得，即为，所以．故选：．25．（2021春•浙江月考）设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解答】解：如图，因为，且，所以，可得，，故．过作，在直角三角形中，，，由，可得．即可得，．故选：．26．（2021•包河区校级模拟）已知双曲线的离心率，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一条渐近线于，则A．2 B． C． D．【解答】解：由题意双曲线的离心率为：，可得，可得，所以，渐近线方程为：，如图：，则，，所以，所以，．故选：．27．设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解答】解：取椭圆的左焦点两点，关于原点对称可得直线过原点，如图所示：由，可得，即为矩形，，，，可得，，，当在上顶点时，最小，当，最大，所以离心率，即，，故选：．二．填空题（共18小题）28．（2021春•昌江区校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为．【解答】解：设，设，，，设，，，，则，，解得，，即，，，，即，，，得，解得，即，，在双曲线上，，而，可得：或5，由于，可得，故答案为：．29．（2021•浙江模拟）如图，椭圆的离心率为，是的右焦点，点是上第一象限内任意一点，，，若，则的取值范围是，．【解答】解：设直线的方程为，代入椭圆方程可得，，，可得，，由，可得，即为，化为，可得，对恒成立，由，可得，即为，可得，即，故答案为：，．30．（2021•武侯区校级模拟）如图，椭圆的离心率为，是的右焦点，点是上第一象限内任意一点．且，，若，则离心率的取值范围是，．【解答】解：设，，因为，所以，所以点的坐标为，，又因为，所以点的坐标为，代入椭圆方程可得：，化简可得：，又因为，则化简可得：恒成立，因为，所以，所以，令，则函数在，上单调递增，所以，则，所以解得，故答案为：．31．（2021•杭州校级模拟）如图，椭圆的离心率，，分别是椭圆的左焦点和右点顶点，是椭圆上任意一点，若的最大值是12，则椭圆方程为．【解答】解：，，设，，则，，，．．当时，有最大值为．，则，．所求椭圆方程为．故答案为：．32．（2021春•恩施州期末）设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，，设则双曲线离心率是．【解答】解：点关于原点的对称点为，，，，是等边三角形，，，代入双曲线，可得，，，，，．故答案为：．33．（2021•章贡区校级三模）设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设，且，，则双曲线离心率的取值范围是，．【解答】解：设左焦点为，令，，则，，点关于原点的对称点为，，，，，，，，，，，，，．故答案为：，．34．（2021•永康市模拟）已知椭圆，若存在过点且相互垂直的直线，使得，与椭圆均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是．【解答】解：椭圆，显然，中一条斜率不存在和另一条斜率为0，两直线与椭圆相交，可设，即，联立椭圆方程可得，由直线和椭圆无交点，可得△，化为，解得，由两直线垂直的条件，可将换为，即有，化为，解得或，由题意可得，，化为，由于时，，可得；同样，解得，则．故答案为：．35．（2021•河南月考）椭圆上存在第一象限的点，，使得过点且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是，．【解答】解：因为过点且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，所以，化简可得，解得，因为点在第一象限，所以，所以，则，所以，即椭圆的离心率的范围为，，故答案为：，．36．已知椭圆的两个焦点为，，为坐标原点，为轴上一点，连接，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，连接，，且，四边形的面积为，则椭圆的离心率为．【解答】解：由过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，则，由，则△的面积，△的面积，直角梯形的面积，四边形的面积为，，椭圆的离心率，故答案为：．37．（2021春•确山县校级期中）已知椭圆，双曲线，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为．【解答】解：设椭圆与双曲线的渐近线相交于、两点，以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于，两点（如图）与该渐近线的两交点将线段三等分，，，由得，由，得即，即，即，即故答案为：38．（2021春•濠江区校级期中）已知为椭圆在第一象限上一点，关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．【解答】解：设，，设，，由题意可得，，，，因为，设，，则，所以，即，，，的坐标代入，所以，所以，即，而因为，所以，所以可得，由，，三点共线，所以，即，即，将其代入中，，又，所以．故答案为：．39．（2021•渝中区校级期中）如图，已知为椭圆上的点，点、分别在直线与上，点为坐标原点，四边形为平行四边形，若平行四边形四边长的平方和为定值，则椭圆的离心率为．【解答】解：设，，则直线的方程为，直线方程为，联立方程组，解得，联立方程组，解得，则，又点在椭圆上，则有，又为定值，则，即，得．故答案为：．40．（2021•岳麓区校级模拟）已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为．【解答】解：设，，则直线的方程为，直线的方程为．联立方程组，解得，，联立方程组，解得，，，，在椭圆上，，为定值，，．．故答案为：．41．（2021•道里区校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上的一点，射线平分交轴于点，过原点的直线平行于直线交于点，若，则双曲线的离心率为．【解答】解：设双曲线的右顶点为