2021届高考高三数学三轮复习模拟考试卷(十九)

高三模拟考试卷（十九）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知复数4=1—2，，=3-，（其中i为虚数单位），若2=有，则|z|=（）

A.5B.572C.VlOD.275

2.（5分）已知集合4={工|工<6},B={x|（x+3）（5-x）<0},则Ap|8=（）

A.{x|-3<x<6}B.{x|5<x<6}C.{x|-3<x<5}D.{x|xv-3或

5cx<6}

3.（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个

整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺

序排成一列，构成数列{4“},则此数列所有项中，中间项的值为（）

A.992B.1022C.1007D.1037

4.（5分）多项式，+l）（x+l）（x+2）（x+3）展开式中d的系数为（）

A.6B.8C.12D.13

5.（5分）若曲线y=sin（3x+e）”<2%）关于直线x=\对称，则Q的最大值为（）

A.£B.包C.至D.笆

4433

6.（5分）已知等边三角形/WC的边长为4,O为三角形内一点，且赤+而+2而=0,

则AAQB的面积是（）

A.4白B.—C.迪D.2y/3

33

7.（5分）某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形

硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为G的正六棱柱无盖包装盒，则

此包装盒的体积为（）

A.144B.72C.36D.24

8.（5分）已知/为双曲线E二-斗=l（a>0,6>0）的左焦点，过点F的直线与圆

ab

0:/+丁=3（/+廿）于A,B两点（A在F,B之间），与双曲线E在第一象限的交点为产，

O为坐标原点，若E4=8P,ZAOB=120°,则双曲线的离心率为（）

.V13n714_V13+V2「V14+V2

3333

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

fr24.1r（）

9.（5分）已知函数/（幻=,,则下列结论正确的是（）

Icosx,x<0

3

A.f（x）是偶函数B./（/（--^））=1

C./（x）是增函数D./a）的值域为［-1,+oo）

10.已知x,y是正实数，且x+y=1,则下列说法中正确的有（）

A.f+2y2有最小值|B.（x+3（y+L有最小值4

xy

c./+/+_!_有最小值2D.生上1有最小值7

xy2肛

11.已知函数/（X）=2Q"LX+f.（

A.当。=-1时，f（x）的极小值点为（1,1+6）

B.若/（x）在［1,+8）上单调递增，则+O0）

C.若/（X）在定义域内不单调，则。£（-00,0）

D.若4=且曲线y=/（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线、=-"相切，则6=-2

12.（5分）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔A8（A为塔顶，8为塔底）的高度,

选取与5在同一水平面内的两点C与。（8,C,。不在同一直线上），测得CD=s.测绘

兴趣小组利用测角仪可测得的角有：ZACB,ZACD,/BCD,ZADB,ZADC,ZJBDC,

则根据下列各组中的测量数据可计算出塔他的高度的是（）

ZBDCB.s,ZACB,NBCD,ZACD

C.s,ZACB,ZACD,ZADCD.s,ZACB,ZBCD,ZADC

三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.(5分)写出一个存在极值的奇函数/(x)=

14.(5分)已知直线/:y=fcv+b(Z>0)与圆/+/=1相切，且被圆*一4月+产=4截得的

弦长为2百，则％=,b=.

15.(5分)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定

该毕业生得到甲公司面试的概率为:，得到乙、丙两公司面试的概率均为0,且三个公司

是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X=O)=L,

36

p=—;若p=；，则随机变量X的期望E(X)=—.

22

16.(5分)已知双曲线C:工•-4=1(a>0/>0)的右焦点为F,左顶点为A,过点尸作C

arb~

的一条渐近线的垂线，垂足为M,若tanNA〃尸=1,则双曲线的离心率等于.

2---

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)为了测出图中草坪边缘A,8两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与

D(A,B,C,力四点共面)，测得AC=1.6〃z,CD=2m,BD=\.8m,已知cosN3Z)C=-立，

4

tanZACD=.

(1)求的面积；

(2)求A,8两点间的距离.

Y22-1

18.（12分）已知椭圆C：A+4V=l（“>b>0）的离心率为上，以C的长轴为直径的圆的方

a-b~2

程为d+V=4.

（1）求C的方程.

（2）直线/与），轴平行，且与C交于P,。两点，A,3分别为C的左、右顶点，直线”

与8。交于点G,证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值.

19.（12分）为了解篮球爱好者小张每天打篮球的时长与投篮的命中率之间的关系，将小张

某月1日到10日每天打篮球的时长x（单位：/?）与当天投篮的命中率y的数据记录如表：

X（时11.522.533.544.555.5

长）

y（命0.40.40.50.60.60.70.60.40.40.3

中率）

（1）当x不取整数时，从中任取两个时长，求小张的命中率之和为1的概率；

（2）从小张的命中率为0.4和0.6的几天中选出3天，用X表示所选3天中命中率为0.6

的天数，求X的数学期望E（X）；

（3）当x取整数时，设r表示变量x与y之间样本相关系数，求r（精确到0.01）,并说明

此时去求回归直线方程是否有意义？

相关性检验的临界值表

n—2小概率

0.050.01

10.9971.000

20.9500.990

30.8780.959

40.8110.917

50.7540.874

注：表中的“为数据的对数.

E(x,-x)(y;-y)

附：V10*3.16；r=],I:

V<=i/=1

20.（12分）已知数列｛《,｝满足：4=；,2a“+14-3a“+1+%=0.

（I）证明：数列｛’-1｝为等比数列，并求数列｛q｝的通项公式；

an

（II）记"=——（q+2）,求使出/+[4]+屹｝+…+也J,2020成立的最大正整数〃的值.（其

中，符号㈤表示不超过X的最大整数）

21.（15分）如图，在三棱锥尸-MC中，AB=6PA=2,PB=AC=\,f为线段3c

的中点.已知AC_LA8,且二面角P—45—C的平面角大小为60。.

（I）求证：AC±PF；

（II）求直线PF与平面WC所成角的正弦值.

22.（12分）已知函数/（x）=xe*-a/〃x-or+a-e.

（1）若/（幻为单调函数，求”的取值范围；

（2）若仅有一个零点，求。的取值范围.

高三模拟考试卷(十九)答案

1.解：Z=Z1G=(l-2i)(3+i)=5-5i,

.•闫=而2+(—5)2=5。,

故选：B.

2.解：A={x|x<6},8={x|x<-3或x>5},

A1^8={x[x<-3或5cx<6}.

故选：D.

3.解：由题意可知，q-2既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即

。“-2=15(〃-1),所以4=15"-13,

当“=135时，al35=15x135-13=2012<2021,

当，2=136时，4%=15x136-13=2027>2021,

故〃=1,2,3,…，135,数列{%}共有135项，因此数列中间项为第68项，且

a68=15x68-13=1007.

故中间项的值为1007.

故选：C.

4.解：多项式(f+l)(x+l)(x+2)(x+3)=，+1)，+6x2+15+6),

故它的展开式中d的系数为11+1=12,

故选：C.

5.解：y=sin(3x+°)图象关于直线x=W对称，

..3X---卜(P=---\-K7V,Z£Z,

122

:.(p--^k7iyk・Z,

4

,0〈2万，「.0的最大值为等.

故选：B.

6.解：根据题意，设他的中点为。，AABC是等边三角形，则CQLAB,

AB的中点为。，贝I」04+08=20。,

又由丽+丽+2历=6,则0C=-0。，则。是4)的中点，

又由AA8C的边长为4,则4)=2,CD=2x/3,则。£>=0，

贝1|5小8=4*4'6=2百，

故选：D.

ADB

7.解：由正六棱柱的每个内角为竺，

3

按虚线处折成高为G的正六棱柱，即8尸=6，

BE=-^B―F=1,可得正六边形的底面边长为43=6—2x1=4,

tan—71

3

则正六棱柱的底面积为S=6x'x4x4x虫=246，

22

则此包装盒的体积为V=24后*石=72.

故选：B.

8.解：如图,

由圆O的方程+y2=-（a2+b2）=-c2,得圆O的半径为OA=OB=—c.

222

过。作/IB的垂线O〃，则〃为/W的中点，

又E4=3P,为EP的中点，设双曲线的右焦点为巴，连接「耳，

则07/为三角形历P的中位线，可得0”//尸耳，则P[JLPF,

由ZAOB=120。，可得OH=L（）A=^C.

24

PF.=—c,贝i」PF=^c+2a,

122

在RtAP两中，由勾股定理可得：（4。+2。）2+（[。）2=4/,

整理得：3/-2缶-4=0.

解得：e=—+夜或e=土亚（舍）.

33

故选：D.

9.解：函数/（幻=卜-+1"",其图像如图，

Icosx,x<0

由图可得，/(X)不是偶函数，也不是增函数，故AC错误，

f(x)的最小值为-1,无最大值，故值域为［-1,+oo),。正确，

/»z3兀、.37t.八

/(一_~)=cos(_--)=0,

22

・・・/(/(-三))="0)=1，即8成立，

故选：BD.

10.解：因为x+y=\,所以x=l-y>0,0<y<l,

x2+2/=(1-^)2+2/=3/-2y+l=3(y-1)2+|...|

当),=」时，等号成立，所以A正确；

3

x+y..2yfxy,所以0<初，［，(x+-)(y+—)=jcy+—+—+—=Ay+—+(A+)——

4xyyxxyxyxy

=AT+2__2..1+8-2=—,当且仅当x=y=L时，等号成立，所以B错误；

孙442

x2+y2+—=l-2xy+—.A-2x-+4=-,当且仅当x=y=」时等号成立，所以C正确；

孙孙422

至上l=3k+(x+y)2=4*2+2孙+旷-二"+，+2..24+2=6,当且仅当x=±y=2时等

xyxyxyyx33

号成立，所以。错误；

故选：AC.

11.解：根据极值点定义可知，极小值是一个实数，A错误；

由/'(x)=2+2x..0得”…―f，

X

因为X・.l,所以以..一1,B正确；

2a+2x

0f\x)=—+2x=~,

XX

当a.O时，r(x)>0恒成立，当a<0时，/(幻>0不恒成立，函数不单调，。正确；

33

a=—,/'(x)=-----F2k,

2x

所以广(1)=-1,f(1)=14-/7,

所以切线方程为y-(l+Z?)=-(x-l),即y=-x+b+2,

设切点横坐标为/,则-1=-1,

故/=0,切点(0,-1),代入y=-x+b+2得力=-3,。错误.

故选：BC.

12.解：对于A,己知s,NACB,"CD,ZBDC,

在ABCD中，利用三角形内角和为180。可求得/CBD=兀一/BDC-/BCD,

CDBC

利用正弦定理,可求得3C,

sinZCBDsinZBCD

AR

在AABC中，ABA.BC,由tanNAC8=——，即可求A5;

BC

对于8,在AB8中，已知一一边Q,一角NBCD,无法求解三角形,

在AABC中，已知两角N/WC=90。，ZACB,无法求解三角形,

在AA8中，已知一边C。，一角NACD,无法求解三角形；

对于C,在AA8中，已知一边C£>,两角NACO,ZADC,

由三角形内角和可求得NC4。，由正弦定理可求得AC,

在AA8C中，已知两角NAC3,ZABC=90°,一边AC,利用sinNAC8=——，可求得

AC

对于O,在AAfiC中，已知两角NAfiC=90。，ZACB,

A«_4D

由tanNACB=—，可用4?表示5C,由sinNACB=——，可用45表示AC,

BCAC

在AAS中，已知NADC,边CD,AB表示AC,利用余弦定理可用AB表示4),

在RtAABD中，利用勾股定理可用43表示

在ABCZ)中，已知NBCE>,CD,AB表示BD,AB表示BC,

利用余弦定理可建立关于/W的方程，即可求解

故选：ACD.

13.解：根据题意，要求函数为奇函数且存在极值，则/(x)可以为正弦函数，

即/(x)=sinx，

故答案为：sinx(答案不唯一).

14.解:由直线/:y=fcc+b(A>0)与圆A+与=1相切,

得马/①

又直线/:y=-+。(后>0)被圆(x-4)2+丁=4截得的弦长为26，

k=B(k>0),b=-2k=~—

联立①②可得,

33

故答案为：日2g

13?

15.解：由尸(X=0)=衣=(l—a)x(l—P)x(l—尸)，解得P=§,

依题意可知X=0,1,2,3,

3111

P(X=0)=(1——)x(1——)x(1——)=—；

42216

~_八_31I113、_5

p(X=1)=-x—x—I-C、x—x—xn(1—)=—

422~22416

7117117

P(x=2)=-C；x-X_+(1——)x-x-=—；

4~2242216

…小3113

P(X=3)=-x—x—=一；

42216

15-7^37

・•・E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-

161616164

故答案为：2,7

34,

16.解：如图:

由题意可设直线OM方程为y=FMA.OM,

:.OM=a,MF=b,

在△3〃中，OA=a,OM=a,ZMAO=ZAMO,

;.ZMOF=2ZMAF,

”•—』…八「MFb-八，-2tanNMA尸

在fsMOF中，tanNMOF=-----=—=tan2ZMAF=---------；---------

MOa\-tarrZMAF

b4

a=3

5

3

故答案为：

3

17.解：(1)因为tanZACL>=3疗，可得sinZACQ=0^,

所以%co=-ACCDsmZACD^—m

(2)因为tanNACD=35/7,所以cosZACZ)=白，

8

所以AD?=1.62+22-2xl.6x2x』=5.76,则A£>=2.4，

8

因为c°s〃C=丝奈萨H'所以SU8邛,

又cosZBDC=,

所以乙4。3=工

2

所以A8=JAC>2+8£)2=J2-42+1・82=3m.

B

18.解：(1)因为以C的长轴为直径的圆的方程为f+y2=4,

所以/=4,

因为e=—=—,

a2

所以/=1,Z?2=a2—c2=3,

22

所以椭圆。的方程为L+E=l.

43

(2)证明：设直线/的方程为X=,P(in,ri),,-2<m<2,且他wO,

直线AP的方程为y=/一(x+2),

"7+2

直线8。的方程为丫=-——(x-2),

m-2

n

y=U+2)

rn+2

所以

y=一一J(x-2)

m-2

两式相除得-丝匚x+2.

-------=1

m+2x-2

44

解得％=即％=3,

mm

4

所以4•匕="i义—=4为定值.

m

19.解：(1)由题意可知，小张的命中率之和为1的概率为P===上；

C10

(2)由题意可得，X的可能取值是0,1,2,3,

又p(X=k)=(k=0,1,2,3),

所以X的分布列为:

X0123

P418121

35353535

所以数学期望E(X)=Ox2+X竺+2xU+3x」

3535357

(3)由题意可知，元=3,5=0.5,

555

所以2(士-君(%-刃=0.1，^(x,-x)2=10,E(X-y)2=0-04.

1=11=11=1

所以r=]_211----0.16，

V1Ox0.04

由相关性检验的临界值表可得，“心=。-878,因此|川<“心,

所以此时去求回归直线方程是毫无意义的.

20.I)证明：2%%-3。,用+《,=0,

---=——2,-----1=3(----1),

%ana"+1an

所以数列｛工一1｝是以_1_1=3为首项，3为公比的等比数列，

所以‘"—1=3",所以a"=—5—,

43"+1

〃2„217IT

(II)解：b=----(。+2)=----(------F2)=2(〃—1)H------1------------

"〃+1"〃+13〃+1〃+1伽+1)(3〃+1)

2n2

—7+—，、,m，<15..2)o/<(3"+l)(〃-l)o(3"+l)(〃一l)-/>0,

n+\("+1)(3"+1)

:3"=(1+2)”..1+2”,

(3"+l)(/i—1)—2>0,n..2.>

..也』=2(〃-1),〃..2,

，山］+电］+也｝+...+也』=1+2X1+2X2+...+2(〃-1)=〃2-W+1,,2020,

/.11n45,

即最大正整数”的值为45.

21.(1)证明：在平面ABC内，过8点作使3£>=AC,取BD中点E,

连接CD、EF、PE、PD,

因为PA、AB、PC。所以舫_LP3,

所以NPM为二面角P-AB-C的平面角，于是NPBD=60。，

又PB=BD=l,所以好比>为正三角形，

所以PE-LBD,即8£>J_PE,

因为EF"CD"AB,所以BDLEF,

又因为PE「EF=E,EFu平面PEF,PEu平面PEF,

所以如，平面PDE,

又因为PFu平面P£>£,所以3r)_LPE,

又因为A