2021届安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）（解析版）

2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）

一、选择题（共12小题）.

1.已知集合/={*|24*<4},B=U|-a<x^a+3},若则a取值范围是（

A.(-2,+8)B.-1]C.[1,+8)D.(2,+8)

2.设复数z=l+£Q,是虚数单位），贝11|/+2|=（）

Z

A.1B.&C.73D.2

3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的

选法种数共有（)

A.8B.12C.16D.20

4.设函数f（x）=2'-2一'+9,则使得不等式f（2x-1）+/（3）<0成立的实数X的取值范围是（)

A.(-8,-1)B.(-8,2)C.(-1,+8)D.(2,+8)

5.已知实数X,y满足,x-y+l>0,贝！]z=x-2y的最大值为()

x-3y-340

A._5B.1C.2D.3

6.已知V^sin(0.=sinatan-^--1,贝(Itana=()

A.-2B.2C.二D.

2~2

7.设｛4｝是等比数列,前〃顼和为s若J?_]则=()

024524

,1n1cl1

A.—B.4c.4D.

5432

8.已知函数尸COS（3户。）的图象如图所示，其中3为正整数，1。<2,则（）

A.3=1,4>=n-2B.3=1,6=2-nC.3=2,6=n-4D.3=2,4>=4-Jt

9.设抛物线/=2px（p>0）的焦点为凡过点尸作倾斜角为60。的直线交抛物线于点45（点4

S1

位于x轴上方），0是坐标原点，记△ZW和△比户的面积分别为S,S,则()

S2

A.9B.4C.3D.2

10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的

一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组

V1

成的几何体称为“刍薨”.现记截面之间几何体体积为九“刍蔓”的体积为%,若萨2=♦，台

V13

体的体公式为（介底"+S'）,其中S、S'分别为台体的上、下底面的面积.则“方

亭”的上、下底面边长之比为（）

A.近二1B.近二C.近匚D.近匚

2424

11.已知|口=|司=2,且之，4的夹角为60。，若向量13-1这1，则工£的取值范围是（）

A.[-4,4]B.[-2愿，入何C.[0,2«]D.[0,4]

12.对任意e2],使得不等式（lox-A）成立的最大整数才为（）

e

A.-2B.-1C.0D.1

二、填空题（共4小题）.

sinx

13.已知函数f（x）=—―,则曲线尸/'（x）在（0,0）处的切线方程为.

e

14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计

时长小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该

活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市〃名学生中，累计时长超过

50小时的人数大约为.

22

15.已知R,K分别为双曲线G（a>0,6>0）的左、右焦点，过点K作C的一条渐

近线的垂线，垂足为G.连接RG,设直线EG,KG的斜率分别为A,k2,若A也=A，则双曲线

。的离心率为_______.

16.钝角△血的面积是冤运，AC=2,BC=3,角4的平分线交比于点〃则生=_____.

4

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17.已知数列｛4｝满足囱=a,n4)anan-i+(加1)区-〃a-i=0,〃22,〃£N.

(I)求证：数列｛而七一｝为等差数列；

(H)设数列｛(2加1)a/｝的前A项和S.证明：gwSVl.

4

18.如图，三棱柱板-45G中，底面△胸是正三角形，Q是其中心，侧面BCCB是正方形,Q

是其中心.

(I)判断直线Qa与直线的位置关系，并说明理由；

<n)若四面体431是正四面体，求平面比aa与平面板所成锐二面角的余弦值.

C,

19.某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由

易到难的4B、C、。四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题4、B、C、。顺序作答；每

位同学初始得分均为10分，答对问题4、B、C、。分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减

2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大

于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；

假设小强同学对问题4B、C、，回答正确的概率依次为卷、得、4■、3且各题回答正确与否相

互之间没有影响.

(I)求小强同学前三道题都答对的概率；

(n)用力表示小强同学答题结束时的得分，求才的分布列；

(in)求小强同学能通过比赛的概率.

22

20.设E,K分别为椭圆G%+4=1(a>/>>0)的左、右焦点，尸是椭圆C的短轴的一个端点，

a"

已知△阳区的面积为&,cosNA依=-《.

O

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)是否存在与咫平行的直线1,满足直线］与椭圆。交于两点MM且以线段恻为直径的

圆经过坐标原点？若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.

21.已知函数/'(x)=x+x~In(.ax+b),aGR,aWO.

(I)当a=l,b=0时，求证：f(x)>-7-；

4

(II)若f(x)2f恒成立，求aA的最大值.

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题目

计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

［x=rcns6

22.在直角坐标系x勿中，曲线G：.(。为参数，常数r>0).以坐标原点为极点，x

ly=rsiny

轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线G的极坐标方程为P

2-8psin9+15=0.

(I)若曲线G与G有公共点，求r的取值范围；

(II)若r=l,过曲线G上任意一点P作曲线G的切线，切点为0,求|/讶的最小值.

［选修4-5：不等式选讲］(本小题满分0分)

23.已知函数f(x)=|3A+1|+|X-2|.

(I)解不等式：/(X)>5；

(II)若关于x的不等式f(x)卬在［0,3］上恒成立，求实数〃的取值范围.

参考答案

一、选择题(共12小题).

1.已知集合4={32辽3<4},B=U|-a<A<a+3},若则a取值范围是()

A.(-2,+8)B.(-8,-1]C.[1,+8)D.(2,+8)

解：由知ZUH,

-a<2

解得a》l.

a+3》4

故选：C.

2.设复数z=l+1Q.是虚数单位)，则|42|=()

Z

A.1B.&C.FD.2

解：因为z2金=(l+i)2-^2i+l-i=l+i，

Z1+1

所以Iz?3|=V2»

z

故选：B.

3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的

选法种数共有()

A.8B.12C.16D.20

解：由题设知不同的选法可分两种情况：

第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C；C：=12种；

第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有Cgc：=4种，

根据分类加法计数原理知，至少有1位女生人选的不同的选法有16种，

故选：C.

4.设函数f(x)=2'-2-'+f,则使得不等式F(2x-l)+f(3)<0成立的实数x的取值范围是()

A.(-°°,-1)B.(-8,2)C.(-1,+8)D.(2,+8)

解：由函数解析式知函数f(x)是定义在R上的奇函数和单调递增函数，

原不等式可化为/1(2X-1)</-(-3),

.*.2x-l<-3,解得Z-l,

.♦.X的取值范围是(-8,-1).

故选：A.

x43

5.已知实数必y满足＜x-y+l）O,则z=x-2y的最大值为（）

x-3y-340

A.-5B.1C.2D.3

解：画出线性约束区域，

,T//

■A

所以当直线yn/x-/z经过6（3.0）点时，目标函数z=,l2y有最大值，最大值为3.

故选：D.

6.已知&sin（Q=sinatan-^--1,则tana=（）

A.-2B.2C.」D4

2

解：因为后sin（a+^丁）=sinCL

“9Q

所以sina+cosa=2sin

9a

因为cosa=l-2sin

所以sina+cosa=-cosa,即sina=-2cosa,

所以tana=-2,

故选：A.

S1

7.设｛a｝是等比数列，前A项和为S,若.2\=S，则一-^=（）

'2+b45a2+a4

A."p-B.-yC.D

5434

解：设等比数列｛4｝的公比为q,

,S2i

由cc二u可得：£=4S,整理得：为+为=3（国+为），即（ai+a2）q2=3（ai+a2），解得:

s2+s45

/=3,

a2al11

a2+a4ajq+ajq31+q24

故选：B.

8.已知函数尸cos（3户。）的图象如图所示，其中3为正整数，则（）

A.3=1,<t>=n-2B.3=1,<t>=2-nC.3=2,6=n-4D.3=2,6=4-n

解：由图象知92.吟V2〈瑞,

:3为正整数，/.<0=2,/.y=cos（2班。）,

把点（2,-1）代入尸cos（2A+4>）得，cos（4+6）=-1,

贝!]4+6=24冗+兀，所以4）=2kn+n-4,kWZ,

V|4）|<2,A4）=n-4.

故选：C.

9.设抛物线y=26（夕>0）的焦点为凡过点尸作倾斜角为60。的直线交抛物线于点儿8（点4

Si

位于x轴上方），0是坐标原点，记卯和△戚的面积分别为S,£,则不工=（）

b2

A.9B.4C.3D.2

解：由题意可知，直线四的方程为丫飞反收4），代入/=26,

整理得x2-ypx-f^-p"：=0.

设点/、6的坐标分别为（为，/1）,（生，％）,

因为点4位于X轴上方，所以乂1=|^1

所以欧;诟r河rk

故选：C.

10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的

一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组

成的几何体称为“刍薨”.现记截面之间几何体体积为匕，“刍薨”的体积为K,若皆=视，台

体的体公式为K=^-h（*屈7一+S'）,其中S、S'分别为台体的上、下底面的面积.则“方

亭”的上、下底面边长之比为（）

A.旦B.近1C.近出D.近生

2424

解：设“方亭”的上底面边长为为下底面边长为6,离为h,

贝Uv[h(a，ab+b2),

11,9

Vj=yha(a+b)=^-h(a+ab),

22222

V?=V-Vi=~-h(a+ab+b)-^-h(a+ab)=4-h(-a-ab+2b)，

乙,JNb

[2

22

.V2yh(2b-a-ab)12-管)弋归1

,.=---------------=—X----------——=——-----

233

羯1h(a+ab)管「哈b2

故选：A.

11.已知|』=0=2,且之，4的夹角为60。，若向量13二区1,则3兀的取值范围是（）

A.[-4,4]B.[-2内，2731C.[0,2731D.[0,4]

解：解法1：^QA=a,QB=b,灰=3,则点。在以4为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），

设向量％,3的夹角为。，由图

TTJT

可知，。取值范围为[―,—

b2

bc=|b||c|cos0=2|c|cos0,由于|cIcos8为向量c在向量b上的投影,且

IcIcos8<2・

故EG的取值范围是[0,4].

解法2：不妨设之二(2,0),b=(l,«)，c=(x,y).

因为|41，所以(x-2)2+/W1,设尸2+rcosa，y=rsina,OWr^l,a£R,

所以rc=x+>/^y=2"h?cosa+>/3rsinCl=2+2rsin(CL

7T—••

由于-14rsin(a"-)<r<l，故bc£[0,4].

6

故选：D.

12.对任意xW[工，e2],使得不等式Qnx-k)x>31;?才成立的最大整数A为()

e

A.-2B.-1C.0D.1

2

解：由题意知Qnx-4x>31nx9有k<,)lnx],,e],

xmine

令g(x)=Ct*"RZ,则g'(x)=31nX^X-3,令，(x)=31Mx-3,

XX

易知其单调递增，因为。(2)=32/72-1>0,。得)=3Jn---^=37/r^j^<0,

所以存在x°E既"，2),使得。(刘)=31nxo+xo-3=0,

因此g(x)=(x-?lnx在[1,X。)单调递减，在lx。，e2]单调递增，

(x-3)lnx19.11、

g(x)mq=~~0--0=2万6。工)£(c一(万，石)，

所以最大整数4为-1,

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

sinx

13.已知函数f(x)=—―,则曲线尸/'(x)在(0,0)处的切线方程为y=x.

e

解：Vf(x)=——,Afz(x)=---------------,

ee

cos0-sin0...

则f(0)=--------Q------=1,，曲线尸F(x)在(0,0)处的切线方程为尸工

e

故答案为：y=x.

14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计

时长乃(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该

活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市〃名学生中，累计时长超过

50小时的人数大约为0.35A.

解：由题意，11=40,则h〃（40,o2）,

1_no

由尸（304启50）=0.3,可得尸（尤>50）=节3=0.35,

故累计时长超过50小时的人数大约有0.35。人.

故答案为：0.35A.

22

15.已知E,K分别为双曲线C：三三=1（a>0,6>0）的左、右焦点，过点K作C的一条渐

J

近线的垂线，垂足为£连接AG,设直线AG,KG的斜率分别为左，ku若则双曲线

。的离心率为_｛汇.

解：已知焦点E,K的坐标分别为（-c,0）,（c,0）,其中cHa2+b2・

根据对称性，不妨设点G在渐近线y』x上，

a

则直线EG的方程为y=—，与yJ^x联立，

ba

得GM，也），所以ki=~^=2^2,由k[k2=4,

ccaa+cS

得2：蓼一（?）=《，化简得c2=2a?,故e=V^.

故答案为：&.

16.钝角△腕的面积是当医，AC=2,BC=3,角4的平分线交比1于点。，则仍=_伉_.

解：SAABC^7-AC-BCsinC^—得sinC=^^,

八244

若角C为锐角，贝！lcosC=］，此时初=初+"-2热BCcosC=-lQ,即研=万，

由于血>8047,则△胸为锐角三角形，不符合题意.

故。为钝角，此时cosC=-』，A^=Ad+Bd-2AC-BCbosC=16,

4

AD_________CD

故四=4.在中，由正弦定理得

sin/ACDsin/CAD

二

同理，在△板中,ADBD

sin/ABDsin/BAD

AC二AB

而在△中,

WsinZABD=sinZACD

由于故坐车=4，

BDAB2

由于6。=39

故31,

所以CDcosC=6,

所以知=巫.

故答案为：加.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.

17.已知数列｛a.｝满足&=£,n(加1)ana„-1+(z?+l)a„-na„-i=O,A'2,〃WN.

(I)求证：数列｛(n+；)a｝为等差数列;

(II)设数列｛(2加1)a/｝的前A项和S.证明：

4

na—1

【解答】证明：(I)V(n+1)an=-4,71+1)J=l,

nnan-l+lIOai

•]产一+11t

..(n+l)ajna^i一皿5，

____1_______1

>*(n+1)anna^i'

二数列*n+；)a')是首项为1'公差为1的等差数列；

(II)由(I)知：百片』_1

an-n(n+l)

(2n+l)N碧父2-胃岭一」

n2(n+l)2n2(n+l)2n2(n+1)2

、、、-

,Scn=,11/11+…+/(=11---1-2")=1-----1-TV-

l2222232n2(n+1)2(n+1)2

所以...........

18.如图，三棱柱被7-45G中，底面△胸是正三角形，Q是其中心，侧面腔15是正方形，a

是其中心.

(I)判断直线Qa与直线的位置关系，并说明理由；

(H)若四面体加郎是正四面体，求平面况乙«与平面上所成锐二面角的余弦值.

【解答】（I）证明：如图1,取犯的中点。，旦G的中点4,连接M44,阳，根据棱柱的

性质可得，DD』_BB[,AAjjB，所以AA上DD[,

所以四边形94是平行四边形，

所以QQu平面ADDiA.

因为aa与皿相交,

所以aa与川1相交...........

01配

（U）解：因为四面体4腕是正四面体，a是△胸的中心，所以4”，平面四GAa±BC.

所以以a为坐标原点，OiA,O[A[方向分别为x轴，z轴正方向，|四|为单位长度,

建立空间直角坐标系a-xyz.

易得A（e^,o,0），B（-寺，0）,C,---,0）/Ai（0,0,

5（李常）,&（考1,卷纷〃哼,。,昌

所以A[O；=（夺,0.

,BC=（0,-1,0）,BBj=0,

所以A[。？•前=0,=0,故A]O；是平面aC与的法向量.

又A[C>i是平面胸的法向量，10广（0，0,

设平面批旦与平面肺所成的锐二面角为9,

A,09-Ai0<

贝ijcos8=17”------

IA】。？IIA］。1|

19.某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由

易到难的4B、C、〃四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题4B、C、〃顺序作答；每

位同学初始得分均为10分，答对问题4、B、C、，分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减

2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大

于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；

假设小强同学对问题4B、C、。回答正确的概率依次为•1、!、《、士，且各题回答正确与否相

3234

互之间没有影响.

(I)求小强同学前三道题都答对的概率；

(n)用乃表示小强同学答题结束时的得分，求才的分布列；

(ni)求小强同学能通过比赛的概率.

解：(I)小强同学前三道题都答对的概率

3239

(II)不可能取6,7,9,10,11,14,16,17,18,19.

答题得分情况如下:

初ABCD累计能否

始得分通

分过比

赛

对错得分(1分)对错得分对错得分对错得分

10V11V13V1616能

10V11V13X11V1717能

10V11V13X11X99否

10V11X9V12V1818能

10V11X9V12X1010否

10V11X9X77否

10X8V10V13V1919能

10X8V10V13X1111否

10X8V10X8V1414能

10X8V10X8X66否

10X8X66否

...随机变量X的分布列为:

67910111416171819

P1211111111

4961224369183672

(皿)小强同学能通过比赛的概率为:

xgx—exgxgx*1乂2乂1上

x4-x^-x4-2X3X4=72

23234234234

22

20.设月，K分别为椭圆C：/工了=1(a>6>0)的左、右焦点，尸是椭圆。的短轴的一个端点,

azbZ

已知△冏用的面积为料，cosNRPB=-

0

(I)求椭圆C的标准方程；

(D)是否存在与阳平行的直线1,满足直线】与椭圆。交于两点弘N,且以线段腑为直径的

圆经过坐标原点？若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.

解：（I）设川=2c,则△掰K的面积等于/恒/21|OP|=cb，所以cb=&.①

191

由COS2NC!/^=COSNF]PF2==，即2cosNOPF2-1="'

OO

得cos/OPF2当.

46

2222

因为在直角△糜中，|阳=6,|曲|=c,|PF2I=A/|OPI+|0F2I=Vb+c=a,

所以COS/OPF?所以」②

“aa3

由①0及得a=V3，b=l,c=\历，

26

所以椭圆。的标准方程为三—+y2=]..........

3y

(H)因为直线期的斜率为平，所以可设直线]的方程为等/1p代入?+y2=],

整理得-亚mx+m2-1=0・

b

由△=(V^m)2-4xt(m'l)>。，得△<〈.

bN

设M(X]，xt+m)»N(X2>'^X2+m)，

则*_6V2m6(m2-l)

则X1+X2—-—，X[X2=­g-------

若以线段仞V为直径的圆经过坐标原点。则方而=0，

+

Xjx2+(-^-xj+m)(--^-X2m)=0»

is3&rs2n

x2-j+x2J+m=Q，

所以3丫6(m2-l)V2v6>/2m2n得

勿以RX-----------------+m=0»付m--

N5N3Qo

因为所以m=土乎.

oZ4

所以存在满足条件的直线1,方程为y=qX邛好qX邛.………

21.已知函数F(x)=^+x-In(a^+A),a£R,aW0.

(I)当a=l,b=0时，求证：f(x)>-y；

4

(BD若f(x)，/恒成立，求ab的最大值.

解：(I)证明：当a=l,6=0时，f(x)=x+x-Inx,

所以f，(x)=2x+l—='；2X"1：'(X+1)»x>。，

XX

所以当时,f(x)>0；当0Vx