2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（三）数学（解析版）

2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(三)数学(解析版)

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合92y41,则ACB=()

A.[-2,2]B.(1,+~)

C.(-1,2]D.(-8,-1]U(2,+8)

2.设i是虚数单位，若复数。+言j(adR)是纯虚数，则。的值为()

A.—3B.3

C.1D.-1

3.“a<2”是Vx>0,的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.函数於)」#二不邙的图象可能是()

ARCD

5.已知函数«r）=3x+2cosx,若a=J（3巾）,。=犬2）,c=y（log27）,则a,b,c,的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.h<a<cD.b<c<a

6.已知等边△ABC内接于圆△f+)，2=l,且尸是圆工上一点，则丽•(西+向的最大值是()

A.72B.1

C.V3D.2

7.已知函数/U)=sin2x+sin2(x+§,则/(x)的最小值为()

A-2B-4

C坐D坐

8.已知点P在椭圆工：，+£=l(a»>0)上，点尸在第一象限，点P关于原点O的对称点为A,点P

关于x轴的对称点为。，设丽=总丽，直线4。与椭圆T的另一个交点为B,若以J_PB,则椭圆工的离心

率e—()

A.|B坐

C.fD当

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.某位教师2018年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图1折线图所示；2019年收入的

各种用途占比统计如图2条形图所示，已知2019年的就医费用比2018年增加了4750元，则下列关于该

教师家庭收支的说法正确的是()

图1图2

A.该教师2018年的家庭就医支出显著减少

B.该教师2019年的家庭就医总支出为12750元

C.该教师2019年的家庭旅行支出占比显著增加

D.该教师2019年的家庭总收入为85000元

10.已知（加+区）"3>0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为

1024,则下列说法正确的是（）

A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含x6项的系数为45

11.在棱长为1的正方体ABC。-481GA中，点M在棱CG上，则下列结论正确的是（）

A.直线与平面平行

B.平面截正方体所得的截面为三角形

C.异面直线AOi与AiG所成的角喏

D.|M8|+|MQ|的最小值为小

12.已知双曲线|一］=1（4>0）的左、右焦点分别为尸2,O为坐标原点，P是双曲线上一点，且满

足|FiF2l=2|OP|,tan/PF2尸1=2,则下列结论正确的是（）

A.点P在双曲线的右支上

B.点（一|,3）在双曲线的渐近线上

C.双曲线的离心率为小

D.双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=（2,m）,6=（1,-2）,且。_16,则实数，"的值是.

14.若sin（a+£）=g,tana=3tan则sin（a一4）=.

j^2a

（f/>o）,若函数ga）=/u）-3iM有三个零点，则实数。的取值范围

{8—x,x>a

是•

16.正方体A5CQ-48iG。的棱长为2,M,ME,尸分别是43,AD,BC，CQi的中点，则过

EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为,CE和该截面所成角的正弦值为.（本

题第一空2分，第二空3分.）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知在△ABC中，角4,B,C所对的边分别是a,h,c,从以下三个条件中选取一个解答

该题.

2b—cccqC

①~--=c；②4cos（3+O+2cos2A=-3；

ClCObA

«—=―2—

小cosAsin（A+Cy

（1）求角A的大小；

（2）若a=遮,b+c=4p,求△ABC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.(12分)已知｛如｝是各项都为正数的数列，其前"项和为S”S”为〃“与;的等差中项.

(1)求证：数列｛SN｝为等差数列；

(—1)"

(2)设b,尸T~,求｛儿｝的前100项和Tioo.

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCQ是边长为2的菱形，ND4B=60。，NAOP=90。,

平面AOP_L平面ABC。，点尸为棱PD的中点.

⑴在棱AB上是否存在一点E,使得AF〃平面PCE,并说明理由；

(2)当二面角。-FC-8的余弦值为当时，求直线PB与平面ABCD所成的角.

20.(12分)已知抛物线工：)2=2px3>0)的焦点为RP是抛物线T上一点，且在第一象限，满足/=

(2,2版

(1)求抛物线「的方程；

(2)已知经过点A(3,-2)的直线交抛物线T于M,N两点，经过定点8(3,-6)和例的直线与抛物线工

交于另一点，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由.

21.(12分)山东省2020年高考实施新的高考改革方案，考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和

自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、

数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理

6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数

不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改

革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、8+、B、C+、C、0+、D、E共8个

等级.

参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.

等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换

到91—100、81-90.71—80、61—70、51-60,41-50,31—40、21—30八个分数区间，得到考生的等

级成绩.

举例说明：

某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58〜69,则该同学化学学科的

原始成绩属C+等级.而C+等级的转换分区间为61〜70,那么该同学化学学科的转换分为：

设该同学化学学科的转换等级分为x,瑞二普=也会，求得x^66.73,

65—58%—61

四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.

(1)某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理

考试原始成绩基本服从正态分布。〜M60J22).

①若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+,其所在原始分分布区间为82〜93,求

小明转换后的物理成绩；

②求物理原始分在区间(72,84)的人数.

(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间［61,80］的人数,

求X的分布列和数学期望.

附：若随机变量。/)，则

〜P(/z—<7<<f<〃+a)=0.682,P(//-2CT<^<//+2a)=0.954,P(Ju~3a<^<iu+

3。)=0.997.

22.(12分)已知函数式x)=(x~-l)2+ax—alnx

(1)若。》一2讨论人》)的单调性；

(2)若a>0,且对于函数加)的图象上两点P1Q1，危|)),尸2-2,危2))(*02)，存在XoGgX2)，使得函

数犬X)的图象在X=xo处的切线/〃PR.求证：xo<W

1.答案：c

解析：•・・集合)

={x|—2WxW2},

8='y=lgx,%>]^|={x|x>-1},

.•.ACB={x|-l<xW2}=(-1,2].

故选C.

2.答案：D

解析：：“+言j=a+旨踪=a+l+2i为纯虚数,

/.«+1=0,即〃=—1.

故选D.

3.答案：A

解析：Vx>0,

由y=x+：22,(x>0),

故aW2,所以。<2是的充分不必要条件.

故选A.

4.答案：A

|n(r-2)2

解析：由-x)=可知函数的图象关于点(2,0)对称,故排除B,C,当x<0时，ln(x-2)2>0,

-2)3<0,函数的图象在x轴下方，故排除D,故选A.

5.答案：D

解析：(x)=3-2sinx>0在R上恒成立,

；.兀0在R上为增函数，

又由2=Iog24<log27<3<3^2,则b<c<a.

故选D.

6.答案：D

解析：建立如图所示平面直角坐标系,

则41,0),8(一；,里《一：,一坐)

设尸(cos。，sin0),

则役.(而+陌

=(1—cos。,—sin0)-(—1—2cos9,—2sin0)

=(1—cos0)(—1—2cose)+2sir)20

=2cos20—cos0—1+2sin20=1—cos8W2,

当且仅当。=兀，即p(—i,o)时，取等号.

故选D.

7.答案：A

兀

解析:

=sin2x+(；sinx+坐cos尤)

2

=1sin2x+|cos2x+坐isnxcosx

1—COS2+%2x

~4,4

一1.

=1+gsin>1一.故选A.

8.答案：C

解析：设尸(xi,yi),则4(—xi,—yi),Q(xi,-yi),£)lxi,

斗+》=1.

设8(X2,力)，由,两式相减,

=1

(X1+》2)(xi-X2)G，1+}'2)。1一3'2)

cr?——b12

1

)“一)'2bXi+犯

为一X2a'yi+)2’

)”+'2

X\+X2

又加=但_4(yi+y2)

X\+X2

则由MJLPB今kpA-kpB=-1,

可得一4・萨=-1=>a2=4/>2=4(a2—c2)

=3。2=4/=>6=坐.故选C.

9.答案：ABD

解析：设该教师家庭2019年收入为尤元，则15%-x=80000X10%+4750,解得x=85()00.可得：该

教师2018年的家庭就医支出显著减少，该教师2019年的家庭就医总支出为8000+4750=12750元，该

教师2019年的家庭旅行支出占比没有变化，该教师2019年的家庭总收入为85000元.故选ABD.

10.答案：BCD

解析：因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，

/.Cj=CS=>n=10,

•.•展开式的各项系数之和为1024,

.".(«+1)'°=1024,

e.*6z>0,/.«=!.

原二项式为：卜+右)°，

其展开式的通项公式为：

。+1=Ch(fcfox2，，-t；

展开式中奇数项的二项式系数和为：1024=512,故A错；

因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对；

令20—浜=00r=8,即展开式中存在常数项，C对；

令20一|厂=15*=2,C%=45,D对;

故选BCD.

11.答案：ACD

解析：如图所不：易知平面8CC|8|〃平面ADDiAi,

8MU平面BCGBi,故直线与平面ADDA平行，A正确；

平面截正方体所得的截面为为四边形，故B错误；

连接BG,A\B,易知AA〃BG,

故异面直线A9与4G所成的角为NA1G8,

A\B=A\C\—BC\,故NACiB=1,故C正确；

延长。C到B'使CB'=1,易知BM=B'M,

故。山'=小，

当M为CG中点时等号成立，故D正确.

故选ACD.

12.答案：ABC

解析：连接PB,由题意知|QB|=2|OP|=2c,

则PFyLPFi,因为tanNPF2Fi=2,

所以除［=2,因此1PBi>|PF2|,

故点P在双曲线的右支上，A项正确；

由于|P/i|一|P尸2|=2a,

所以|PQ|=4“，\PF2\=2a,

所以（44）2+3）2=（2C）2,

整理得d=5〃2,则6=小,C正确；

又e=；小，所以色2,

所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,

易知点（一方，3）在双曲线的渐近线上，故B项正确；

由于〃=5,所以。2=总，

所以双曲线的方程为与一日=1,

设M（xo,州）为双曲线上任意一点，

则点M到渐近线），=2x的距离"=2'0"'@,

点、M到渐近线y——2x的距离〃212^喳）”,

因此"&=出要，

又曾一日=1,于是4d2=1,

因此由基本不等式得di+d2N24j%=2,

当且仅当时取等号，

故双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于2,故D项错误.

故选ABC.

13.答案：1

解析：Va±ft,；.a8=2—2〃z=0,/./??=1.

14.答案：!

解析：根据sin(a+Q)=g可得sinacos^+cosasin①，

根据tana=3tan4可得sinotcosy?=3cosasin4②，

由①②得sin«cos4=；,cosasin夕=今，

所以sin(a一夕)=sinacos夕一cosa-sin4=&.

15.答案：(0,2)U[5,+8)

解析：g(x)=4r)—3仅|有三个零点0y=大幻与y=3|x|的图象有三个交点.因为。>0,所以当xWO时，%2

-2x=-3x,得x=-1或x=0,所以y=/A)与y=3㈤的图象有两个交点，则当x>0时，y=/U)与y=3|x|

的图象有1个交点.当Q0时，令3x=8一心得x=2,所以0<〃<2符合题意；令3x=f-2认得x=5,

所以。25符合题意.综上，实数〃的取值范围是(0,2)U[5,+oo).

16.答案：2节嚅

解析：如图，分别取CO,BC的中点”，G,

连接HE,HG,GE,HF,ME,NH.

易证ME^NH,所以四边形是平行四边形,

所以MN//HE,

又MNQ平面EFHG,HEU平面EFHG,

所以MN〃平面EFHG,

所以过EF且与MN平行的平面为平面EFHG,

平面EF//G截正方体所得截面为矩形EFHG,

EF=y{2,FH=2,

所以所得截面的面积为2X@=2市.

连接AC,交HG于I,则CIYHG,

又平面E"/G_L平面ABCD,

平面EFHG0平面ABCD=HG,

所以C/L平面EFHG,连接E1,

则C/LE/,/CE/为直线CE和截面所成的角.

在RtAC/£中，

CE=yjI+22=A/5,C/=；AC=^^=坐.

所以sin/CE/=%=嚅.

17.解析：若选①，（1）根据正弦定理知，

2b~~c2sinB—sinCcosC

asinA-cosA*

即2sinBcosA=cosC・sinA+sinCeosA,

即2sinB-cosA=sin（A+Q,

因为A+C=TI—B,所以2sinB-cosA=sinB,

又sinBWO,解得cosA=^.

又A£（0,兀），所以A=全

⑵因为a2=b2+c2-2hccosA=（h+c）2—2hc—2feccosA,

a=y/Ti,b+c=4y/2,A=?

所以(四)2=(4圾2一2儿一2儿*3，得儿=6,

所以SZSA6c=2〃c、sinA=]X6Xsin§=1.

若选②，(1)由题意可得4cos(8+O+2(2COS2A—1)=-3,

又cos(8+0=—cosA,

所以一4cosA+2(2COS2A-1)=-3,

所以4cos2A—4cos/1+1=0,

1TT

解得COSA=5，又A£(o,兀)，所以A=1.

(2)因为a2=h2+c2—2hccosA

=(b+c)z—2bc—2bccosA,

b+c=4yf2,A=^,

所以(皿)2=(4戏)2—2历一26cX；,得从'=6,

所以SzMBC=，usinA=：X6Xsin2^,

若选③,⑴由正弦定理及右

—sin(4+C)'

，三sinA______sinB

空小cosA=sin(A+C)'

又sin(A+C)=sin(7r—B)=sinB,

m…sinAsinB/mr-

所以而7=而©付tan4A="i

又AG(0,7t),所以4=?

(2)因为a2=h2+c2-2Z?ccosA

=S+c)2—2bc~2Z?ccos4,

(7=^14,b+c=4yf2,A=1,

所以(5)2=(46)2—2岳一2AxM得从＞=6,

所以SAABC='c・sinA=Wx6Xsin3—^2^*

18.解析：(1)证明：由题意知2s“=〃〃+；,

a”

即2SQ“一届=1,①

当"=1时，由①式可得Si=l,

又时，有=

“N2anSn—Sn-],

代入①式得2s“(S,-S"-1)—⑸—Si)2=1,

整理得禺一SQ1=1,(心2).

｛能｝是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)由(1)可得&=1+〃-1=",

•••｛斯｝是各项都为正数，.•.5"=3，

an-Sn—Sn-i-y[n—\ln—1("22),

又“i=S?=l,也适合上式.,.〃"=5一1.

anyjn-yjn—1

Tioo=—1+C\/5+1)—N§+*\/^)+…—N100—1+6100—2)+(,100+M100-1)=7100=10.

・•・｛儿｝的前100项和7100=10.

19.解析：(1)在棱AB上存在点E,使得AF〃平面PCE,点E为棱AB的中点.

理由如下：

取PC的中点Q,连接EQ、FQ,

由题意，尸。〃OC且FQ=；C£>,

AE//CD且AE^CD,故AE//FQ且AE=FQ.

所以，四边形AEQF为平行四边形.

所以，AF//EQ,

又EQU平面PCE,ARI平面PCE,

所以AF〃平面PCE.

(2)由题意知为正三角形，

所以£»_LAB,亦即ED_LCD,

又NA。尸=90°,所以PO_LA。，

且平面4OP_L平面ABCD,

平面AOPC平面ABCD=AD,

所以POJ_平面ABC。，故以。为坐标原点建立如图空间直角坐标系，

设尸£)=“3>0),则由题意知

£)(0,0,0),/(0,0,a),C(0,2,0),B(巾，1,0),FC=(0,2,-a),CB=(y[3,-1,0),

设平面尸8C的一个法向量为机=(x,y,z),

\mFC=Q[2y—az=0

则由得厂,

鼠为=0(y[3x-y=0

令x=l,则丫=小，z=^^,

所以取帆=(1,小,耳3，

显然可取平面OFC的一个法向量71=(1,0,0),

…工»也.，、，]

由题意：4=Icos〈机，加I=/,

F+3+浮

所以a=y[3.

由于PZ)_L平面ABCO,

所以PB在平面ABCD内的射影为BD,

所以N尸8。为直线PB与平面ABCD所成的角，

pr\

易知在中，tan/P8£>=布=〃=小，

DUv

从而NPBD=60°,

所以直线PB与平面ABCD所成的角为60。.

20.解析：(1旷=20x3>0)的焦点为壅，0),

而译=(2,2小)，所以点嗯+2,25)，

又点P在抛物线)2=2px上，

所以(2小)2=2p@+2),

即p2+4p—12=0,(p+6)(p—2)=0,

而p>0,故p=2,则抛物厘的方程为产=4工

(2)由题意知，直线AM,BM,NZ,的斜率均存在.

设M(xo,yo),N(xi,%),L(xi,”)，

则q=4必，yr=4xi,於=4x2,

直线MN的斜率为

y\—yo.ri~vo4

kMN=

X\—xo)彳—)Wyi+yo'

4

则痴:丫-泗=^(》司,

4x+}'(>>'|

即尸①;

yo+yi

同理丘尸嗡菅

②;

将A(3,—2),B(3,—6)分别代入①，②两式,

12+)必

yo+yi

得4,消去加得12,

12+)，o)，2

yo+j2

4x+)，i.y24X+124(X+3)

易知直线INL-y=

y\+yiy\+yi%+”'

因此直线NL恒过定点(一3,0).

93-8490-x

21.解析：(1)①设小明转换后的物理等级分为羽84—82=工一81'

求得x^82.64,小明转换后的物理成绩为83分；

②因为物理考试原始分基本服从正态分布M60,122),

所以P(72<<f<84)=P(60<4<84)-P(60<^<72)

=；尸(36<。<84)-1p(48<<;<72)

=1(0.954-0.682)=0.136.

所以物理原始分在区间(72,84)的人数为2000X0.136=272(人)；

⑵由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间［61,80］内的概率为东

随机抽取4人，则X〜B(4,|),

P(X=0)=(|〉=81

625,

216

P(X=

625,

P(X=2)=C畸.3=216

625,

P(X=3)=0(|>.图=96

625'

尸(X=4)=6}=患.

X的分布列为

X01234

8121621696