2022-2023学年福建省三明市第一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省三明市第一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于

A．-

B．1

C．-或1

D．-1或参考答案：A2.若则p是q成立的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A略3.已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|（x﹣1）（x+2）≤0，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．[0，1] D．[﹣1，1]参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的交集即可．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}=[﹣1，2]，B={x|（x﹣1）（x+2）≤0}=[﹣2，1]，则A∩B=[﹣1，1]，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.复数（i为虚数单位）的共轭复数等于

（

）

A．1+3i

B．1-3i

C．-1+3i

D．-1-3i参考答案：A5.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是(

)A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．【点评】本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．6.已知定义在R上的奇函数满足：，且，若函数有且只有唯一的零点，则（

）A.1 B.－1 C.－3 D.3参考答案：C【分析】由结合为奇函数可得为周期为4的周期函数，则，要使函数有且只有唯一的零点，即只有唯一解，结合图像可得，即可得到答案。【详解】为定义在上的奇函数，，又，，在上为周期函数，周期为4，函数有且只有唯一的零点，即只有唯一解，令，则，所以为函数减区间，为函数增区间，令，则为余弦函数，由此可得函数与函数的大致图像如下：由图分析要使函数与函数只有唯一交点，则，解得，故答案选C。【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题。7.已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的涟近线的距离是2，则抛物线的方程是A. B. C. D.参考答案：D略8.在等差数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=4，则公差d等于(

) A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：B考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：在等差数列{an}中，由条件利用等差数列的性质求得a2=5，且a5=2，设公差为d，则由a5﹣a2=3d，求得d的值．解答： 解：∵在等差数列{an}中，a1+a3=10=2a2，a4+a6=4=2a5，∴a2=5，且a5=2，设公差为d，则由a5﹣a2=3d=2﹣5=﹣3，求得d=﹣1，故选：B．点评：本题主要考查等差数列的性质应用，属于中档题．9.设在α∈R，则“cosα”是“α“的（

）条件A.充分不必要 B.必要不充分C充要 D.既不充分也不必要参考答案：B【分析】α?cosα，反之不成立，例如：α2π．即可判断出关系．【详解】α?cosα，反之不成立，例如：α2π．∴“cosα”是“α“的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.函数y=exx2﹣1的部分图象为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】求函数的导数，确定函数的极值和单调性，即可判断函数的图象．【解答】解：∵y=exx2﹣1，∴y'=f'（x）=exx2+2xex=ex（x2+2x），由f'（x）=ex（x2+2x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，此时函数单调递增，由f'（x）=ex（x2+2x）＜0，得﹣2＜x＜0，此时函数单调递减．∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，对应的图象为A．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则(▲)A.

B.C.

D.参考答案：D略12.函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围为__________.参考答案：略13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则_______；若，则_________．参考答案：,14.设

则__________；

参考答案：15.已知定义在R上的函数则=__________.参考答案：6.5略16.已知函数则______．参考答案：考点：1、分段函数的解析式；2、指数函数、对数函数的性质.17.已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2都过点P（﹣1，0），且椭圆C1的离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1，圆C2于点A，B，C，D（如图），k1=λk2，若直线BC恒过定点Q（1，0），则λ=．参考答案：2考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据k1=λk2，应该找到k1，k2的关系式，再结合直线分别与直线相交，交点为A，B，C，D，用k把相应的点的坐标表示出来（将直线代入椭圆的方程消去关于x的一元二次方程，借助于韦达定理将A，B，C，D表示出来），再想办法把Q点坐标表示出来，再利用B，C，Q三点共线构造出关于k1，k2的方程，化简即可．解答：解：设A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），由得：，∵xP=﹣1，∴，则点A的坐标为：由得：，∵xP=﹣1，∴，则点B的坐标为：同理可得：，根据B、C、Q三点共线，，结合Q（1，0）所以=λ（）化简得λ=2故答案为：2．点评：本题的计算量较大，关键是如何找到k1，k2间的关系表示出来，最终得到λ的值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，。（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值；（III）若存在，（是自然对数的底数）使，求实数的取值范围。参考答案：【知识点】导数的应用B12（I）单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+∞)；（II）；（III）（I）因为，所以函数g(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e)；单调递增区间为(e,+∞)；（II）若函数在区间上是减函数，则在区间(1,+∞)上恒成立，令，所以；（III）存在，使，等价于“当时，有”，当时，，因为，由（II）知，①当a≥时，在上恒成立，因此f(x)在上为减函数，则，所以；②当a≤0时，在上恒成立，因此f(x)在上为增函数，则不合题意；③当时，由于在上为增函数，所以的值域为，由的单调性和值域知，存在唯一的，使=0，所以，所以，与矛盾，综上得.【思路点拨】一般遇到不等式恒成立或存在性问题，通常转化为函数的最值问题进行解答.19.在平面直角坐标系中,已知圆的参数方程为,直线的参数方程为,定点.(Ⅰ)以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系,求圆的极坐标方程;(Ⅱ)已知直线与圆相交于两点,求的值.参考答案：(Ⅰ)依题意得圆的一般方程为,将==代入上式得=；所以圆的极坐标方程为=;(Ⅱ)依题意得点在直线上,所以直线的参数方程又可以表示为,代入圆的一般方程为得,设点分别对应的参数为,则,所以异号,不妨设,所以,所以=.本题考查直线、圆的参数方程,曲线的极坐标方程.(Ⅰ)圆的一般方程为,极坐标方程为=;(Ⅱ)直线的参数方程代入圆的一般方程得,则,由参数t的几何意义可得=.20. 如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．参考答案：解：

证明：（I）∵E，F分别是PC，PD的中点∴EF∥CD

又∵AB∥CD，

∴AB∥EF，又∵EF?平面PAB，AB?平面PAB；∴EF∥平面PAB；解：（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小作MH⊥AF，垂足为H，连接EH∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB又∵AB⊥AD，PA∩AD=A∴AB⊥平面PAD∴EF⊥平面PAD

∵MH?平面PAD∴EF⊥MH∴MH⊥平面ABEF∴∠MEH是ME与平面ABEF所成角在Rt△EHM中，EM=AC=，MH=∴sin∠MEH==∴AC与平面ABEF所成角的正弦为

略21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）求的最大值．参考答案：C略22.已知．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若求函数的单调区间；（Ⅲ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）∵∴∴

…………1分∴，

又，所以切点坐标为

∴所求切线方程为，即.

…………4分（Ⅱ）由得或

…………5分(1)当时，由，得．由，得或

此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.

…………7分

(2)当时，由，得．由，得或

此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.

综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和当时，的单调递减区间为单调递增区间为和.

…………9分（Ⅲ）依题意，不等式恒成立,等价于在上恒成立