2022年湖南省怀化市实验中学高三数学理期末试题含解析

2022年湖南省怀化市实验中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若（3x﹣）n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣405 D．405参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的x为1，求出展开式的各项系数和，求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3，求出r，将r的值代入通项，求出该展开式中含x3的项的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和为2n∴2n=32解得n=5∴=展开式的通项为Tr+1=（﹣1）r35﹣rC51x5﹣2r令5﹣2r=3得r=1所以该展开式中含x3的项的系数为﹣34C51=﹣405故选C2.已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（

）A．－5

B．

C.

D．－2参考答案：B3.若关于x的不等式在(－∞,0)∪(0,+∞)上恒成立，则实数k的取值范围为（

）A.

B.C.

D.参考答案：A依题意，或，令，则，所以当时，，当时，，当时，，当时，，所以或，即或，故选A.

4.已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.即不充分也不必要条件参考答案：A若数列是等差数列，设其公差为，则，所以数列是等差数列.若数列是等差数列，设其公差为，则，不能推出数列是等差数列.所以数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A.5.若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(?UM)∪(?UN)

D．(?UM)∩(?UN)参考答案：D6.已知函数（其中），则函数f(x)零点的个数为（

）个A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】求导得到得到函数单调区间，计算，得到答案.【详解】（其中）.故或时，时，即在和单调递减，在单调递增.由于，而，所以，又，所以函数有唯一零点故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，求导得到函数的单调区间是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求做答.7.已知f′（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是(

)A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据题意构造函数g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数，由f（﹣1）=0求出g（﹣1）=0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性，再转化f（x）＞0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．【解答】解：由题意设g（x）=，则g′（x）=∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0，∴当x＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，g（x）在（﹣∞，0）上递减，由f（﹣1）=0得，g（﹣1）=0，∵不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0，∴或，即或，即有x＞1或﹣a＜x＜0，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：B．【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．8.已知集合，，则A．

B．

C． D．参考答案：【知识点】交集及其运算．A1

【答案解析】B

解析：=[﹣1，+∞），=（﹣∞，2]，则[﹣1，2]．故选：B．【思路点拨】求解函数的值域化简集合M，N，然后直接取交集得答案．9.在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为A．B．C．D．参考答案：B略10.已知全集,集合X={x|x2－x=0},Y={x|x2+x=0},则等于(

)A．

B．{0}

C．｛1｝

D．{－1,0,1}

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a11=3a6－4，则则Sn=

。参考答案：44

略12.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交

于和两点，，则的实轴长为__________．参考答案：413.函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为

.参考答案：14.已知且则的值_________参考答案：略15.已知等比数列为递增数列，且则．参考答案：16.已知，则不等式的解集是____________．参考答案：略17.函数的定义域为，若且时，总有，则称为单函数。例如，函数是单函数。下列命题：①函数是单函数；②若为单函数，且，则；③若为单函数，则其导函数无解；④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数。其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)。参考答案：②。①错误，如=1，则，，显然，因此不是单函数；②正确，利用原命题与逆否命题等价可得；③错误，如，令，得；④错误，如在（0，+）具有单调性，而不是单函数。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知递增等比数列的前n项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且的前项和．求证：参考答案：（1）．（2）见解析．试题分析：（1）设公比为q，由题意：q>1,，根据建立的方程即可．（2）由（I）得到，利用“分组求和法”，应用等差数列、等比数列的求和公式得到利用其在上是单调递增即可得证．试题解析：（1）设公比为q，由题意：q>1,，则，，∵，∴，

2分则解得：或（舍去），∴

4分（2）

6分

8分又∵在上是单调递增的∴∴

10分考点：1．数列的通项；2．“分组求和法”；3．等差数列、等比数列的求和公式．19.已知，（1）

若，求；（2）

是否存在实数a使得集合中的元素个数为4个？若存在，求出所有的实数a；若不存在，说明理由.参考答案：（1）；（2）20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=3BC，O是AD上一点．（Ⅰ）若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD．

参考答案：解：因为CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，所以BO∥CD又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．（Ⅱ）证：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，且AB⊥交线AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，所以PD⊥平面PAB，PD?平面PCD，所以：平面PAB⊥平面PCD．略21.（本题满分14分）小明早上从家里出发到学校上课，如图所示，有两条路线可走，且走哪条路线的可能性是相同的，图中A、B、C、D处都有红绿灯，小明在每个红绿灯处遇到红灯的概率都是，且各个红绿灯处遇到红灯的事件是相互独立的，每次遇到红灯都需等候10秒．（I）求小明没有遇到红灯的概率；（II）记小明等候的总时间为，求的分布列并求数学期望．

参考答案：（I）记“小明没有遇到红灯”为事件A，则

……4分（II）由题可知：0，10，20，30……………6分…………8分

……………10分……………………12分∴的分布列：0102030P∴

…………………14分22.如图，抛物线E：y2=2px（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y2=2px，解p．（Ⅱ）设，，y1≠0，y2≠0．切线l1：，代入y2=2x，求出，得到l1方程为，同理l2方程为，联立直线方程组，求出M，利用CD方程为x0x+y0y=8，联立方程利用