2022年福建省莆田市涵江区第三中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022年福建省莆田市涵江区第三中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图:直三棱柱的体积为V，点P、Q分别在侧棱和上，AP=，则四棱锥B—APQC的体积为A、

B、

C、

D、参考答案：C略2.在等差数列{an}中，，则（

）A.45 B.75 C.180 D.360参考答案：C【分析】由，利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由，得到，则．故选C.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题.解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若，则.3.下面几种推理过程是演绎推理的是

(

)A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D．在数列中，由此归纳出的通项公式．参考答案：A略4.椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A.

B.

C.

D.

参考答案：A略5.如下图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是（

）

A.在区间(－2,1)内f(x)是增函数

B.在(1,3)内f(x)是减函数C.在(4,5)内f(x)是增函数

D.在x=2时,f(x)取到极小值参考答案：C略6.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（） A．48 B． 36 C． 28 D． 12参考答案：C略7.如图，四边形ABCD的四个顶点在半径为2的圆O上，若∠BAD=，CD=2，则BC=（）A．2 B．4 C． D．参考答案：A【考点】圆周角定理．【分析】利用正弦定理求出BD，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：由题意，，∴BD=2，∵∠BAD=，∴∠BCD=，∵CD=2，∴12=BC2+4﹣2BC，∴BC2+2BC﹣8=0，∴BC=2．故选：A．8.给出下列四个命题：①若，则；②已知，则是且的必要不充分条件③若，则；④若，则的最小值为8；真命题的个数为（

）A.

1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B9.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4

B．

C．

D．8参考答案：B10.在平面直角坐标系中，曲线C：经过伸缩变换后，所得曲线的焦点坐标为（

）．A.

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离为________________.

参考答案：14

略12.已知，且，则______．参考答案：试题分析：：∵∴∵∴∵，∴，故答案为．考点：两角和与差的余弦函数．13.在等差数列{an}中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则a7+a8等于.参考答案：914.“”是“”的

▲

条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）参考答案：充分不必要略15.设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有，则的值为________．参考答案：16.已知集合，,则

．参考答案：17.三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法种数为

．参考答案：288三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且AA'=2．（1）试在棱CC'上确定一点M，使A'M⊥平面AB'D'；（2）当点M在棱CC'中点时，求直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AC边中点为O，则OB⊥AC，连接OD'，建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出当CM=时，A'M⊥平面AB'D'．（2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1，），求出平面A′BM的一个法向量，利用向量法能求出直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC边中点为O，∵底面ABC是边长为2的正三角形，∴OB⊥AC，连接OD'，∵D'是边A'C'的中点，∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴如图所示的空间直角坐标系…则有O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），B'（，0，2），A'（0，﹣1，2），D'（0，0，2），C'（0，1，2），设M（0，1，t），则=（0，2，t﹣2），=（0，1，2），=（，1，2）…若A'M⊥平面AB'D'，则有A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，∴，解得t=，即当CM=时，A'M⊥平面AB'D'．…（2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1，），∴=（﹣），=（0，2，﹣），设平面A′BM的一个法向量=（x，y，z），∴，令z=，得=（），…设直线AB'与平面A'BM所成角为θ，则sinθ==．∴直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值为．…19.已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：，此圆的标准方程.参考答案：解：因为A（2，－3），B（－2，－5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，－4），……………1分

又，所以线段AB的垂直平分线的方程是．

……5分

联立方程组，解得．……7分

所以，圆心坐标为C（－1，－2），半径，

所以，此圆的标准方程是．……………10分20.(本小题满分14分)

如图8所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求二面角P－AC－D的大小；（Ⅲ）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．参考答案：（Ⅰ）连结BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图．设底面边长为，则高，于是，，，，，∵，故OC⊥SD，从而AC⊥SD．················4分（Ⅱ），则，，设平面PAC的一个法向量，则取，可得面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量，设所求二面角为，则，即所求二面角的大小为．

9分（Ⅲ）在棱BC上存在一点E，使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知，平面PAC的一个法向量，又．设，则，而，解得．即当时，，而BE?面PAC，故BE∥平面PAC．·········14分

21.（本题满分10分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3