2022-2023学年湖北省宜昌市三峡大学附属中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年湖北省宜昌市三峡大学附属中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i为虚数单位，a为实数，复数=在复平面上对应的点在y轴上，则a为（）A．﹣3 B． C． D．3参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：，又复数=在复平面上对应的点在y轴上，∴解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知曲线C1：，曲线C2：，则下面结论正确的是（

）A．将曲线C1向右平移个单位，可得C2B．将曲线C1向左平移个单位，可得C2C．将曲线C1向右平移个单位，可得C2D．将曲线C1向左平移个单位，可得C2参考答案：B将曲线向左平移个单位，可得

3.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为．则直线l和曲线C的公共点有(

)

A．0个

B．l个

C．2个

D．无数个参考答案：B4.A．2

B．

C．

D．参考答案：A5.执行如右图所示的程序框图，若输出的值为-105，则输入的n值可能为A．5

B．7

C．8

D．10参考答案：C略6.极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（）A．1 B． C． D．2参考答案：A【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】画出极坐标方程对应的图形，判断选项即可．【解答】解：极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1．故选：A．【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．7.过抛物线焦点作直线交抛物线于A,B两点，O为坐标原点，则为A．锐角三角形 B．直角三角形 C．不确定

D．钝角三角形

【解析】,设过A,B的坐标为，则，所以当，即，，此时，三角形为直角三角形，当时，，三角形为钝角三角形，当时，，三角形为锐角三角形，所以三角形的形状不确定，选C.参考答案：,设过A,B的坐标为，则，所以当，即，，此时，三角形为直角三角形，当时，，三角形为钝角三角形，当时，，三角形为锐角三角形，所以三角形的形状不确定，选C.【答案】C8.如果{an}不是等差数列，但若，使得，那么称{an}为“局部等差”数列.已知数列{xn}的项数为4，记事件A：集合，事件B：{xn}为“局部等差”数列，则条件概率（

）A. B. C. D.参考答案：C由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，=.故选C.

9.已知两个单位向量的夹角为，且满足，则实数的值为（

）A．-2

B．2

C．

D．1参考答案：B考点：向量的数量积及运用.10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】将将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数又由函数为偶函数，所以，解得，因为，当时，，故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的表面积_______参考答案：4π【分析】根据题中所给的条件，取中点O，可以得到，从而确定出球半径为1，利用球的表面积公式求得结果.【详解】取中点，由，知，∴球半径为1，表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有球的表面积公式，确定出球心位置是解题的关键.

12.的二项展开式中的常数项是

(用数值作答)．参考答案：略13.某商场在节日期间举行促销活动，规定：（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为

．参考答案：

略14.计算=．参考答案：2【考点】二阶矩阵．【分析】利用行列式的运算得，=2×3﹣1×4=2．【解答】解：=2×3﹣1×4=2，故答案为：2．15.若执行图中的框图，输入N=13，则输出的数等于．（注：“S=0”，即为“S←0”或为“S：=0”．）参考答案：考点：程序框图．.专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+=1﹣=．故答案为：．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．16.有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n=．参考答案：4或5【考点】数列与向量的综合．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】求出等差向量列的差向量，得出得通项公式，代入模长公式求解最小值．【解答】解：∵{}是等差向量列，∴{xn}，{yn}是等差数列，设{xn}，{yn}的公差分别是d1，d2，∴，解得d1=1，d2=1，∴xn=﹣20+n﹣1=n﹣21，yn=13+n﹣1=n+12，∴=（n﹣21，n+12）．∴||2=（n﹣21）2+（n+12）2=2n2﹣18n+585=2（n﹣）2﹣+585．∴当n=4或n=5时，||2取得最小值．故答案为4或5．【点评】本题考查了数列与向量的综合应用，求出{}的通项公式是关键．17.如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则

参考答案：1：24三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=时，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f（x）≤x﹣1对?x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间；（Ⅱ）先求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出；（Ⅲ）构造函数，转化为设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根据导数和函数最值的关系分类讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增；②当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．…（Ⅱ）当a=时，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…当x∈[1，]时，h′（x）＜0，当x∈[，e）时，h′（x）＞0，故x=是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…

（Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，…设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②当时，，g（x）在[1，+∞）单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；…③当时，x=＞1，则f（x）在[1，]上单调递减，[，+∞）单调递增，则存在∈[，+∞），有g（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）综上得a≤0．…（14分）【点评】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．19.已知甲箱装有个白球2个黑球，乙箱装有2个白球1个黑球，这些球除颜色外完全相同.现从甲箱中随机摸两球，乙箱中随机模一球，若恰好摸出三个黑球的概率为.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)记甲箱摸出个黑球,乙箱摸出个黑球,.求的分布列及的值.参考答案：解:（Ⅰ）

5分（Ⅱ） 7分

9分

11分

14分

略20.在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.参考答案：（Ⅰ）由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为。（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3.由（Ⅰ）知，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为1－=，则观众丙选中3号歌手的概率也为1－=，则（1－）（1－）=（1－）+（1－）（1－）=（1－）+（1－）()=()=则的分布列如下：

21.已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣3|，?x∈R，f（x）+g（x）≥5，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=3时，由已知得|2x﹣3|+3≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，根据绝对值的性质通过讨论a的范围，去掉绝对值，由此能求出a的取值范围【解答】解：（1）a=3时，f（x）≤6等价于|2x﹣3|+3≤6，即|2x﹣3|≤3，解得：0≤x≤3，故不等式的解集是{x|0≤x≤3}；（2）x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，故2|x﹣|+2|x﹣|+a≥5，故|﹣|+≥，故|a﹣3|+a≥5①，a≤3时，3﹣a+a≥5，无解，a＞3时，a﹣3+a≥5，解得：a≥4，故a的范围是[4，+∞）．22.已知椭圆的左