二次函数及面积专题

市巴川中学初2019级九上数学专题训练三——二次函数与面积问题班级_____________等级________题型一：在抛物线上求一点，与三角形的面积相等〔或成倍数〕．例1、定义：如图1，抛物线y=a*2+b*+c(a≠0)与轴交于A，B两点，点P在抛物线上〔点P与A，B两点不重合〕，如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=a*2+b*+c(a≠0)的勾股点．〔1〕直接写出抛物线y=-*2+1的勾股点的坐标；〔2〕如图2，抛物线C：y=a*2+b*(a≠0)与轴交于A，B两点，点P(1,)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；〔3〕在〔2〕的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q〔异于点P〕的坐标．图图1图2练习1.如图，抛物线与轴交于点A和点B，与轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点．〔1〕直接写出点A、B、C、D的坐标，并求出S△ABD；〔2〕求出直线BC的解析式；〔3〕假设点P在第一象限的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．题型二：二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大如图，抛物线y=a*2+b*-3与*轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(-1,0)，C点坐标是(-4,-3)．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设点E是位于直线AC的上方抛物线上的一动点，试求△ACE的最大面积及E点的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，在抛物线上是否存在异于点E的P点，使S△PAC＝S△EAC，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．ABC*yO变式：在抛物线上是否存在点P，使S△PAC＝SABC*yOAABC*yO[练习]1.如图,抛物线y=*2+b*+c与y轴相交于C，与*轴相交于A、B，点A的坐标为〔2，0〕，点C的坐标为〔0，-1〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥*轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；〔3〕在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，假设存在，求点P的坐标，假设不存在，说明理由.2．在平面直角坐标系*oy中，规定：抛物线y=a(*-h)2+k的伴随直线为y=a(*-h)+k.例如：抛物线y=2(*+1)2-3的伴随直线为y=2(*+1)-3，即y=2*-1〔1〕在上面规定下，抛物线y=(*+1)2-4的顶点为.伴随直线为；抛物线y=(*+1)2-4与其伴随直线的交点坐标为和；〔2〕如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(*-1)2-4m与其伴随直线相交于点A,B(点A在点B的右侧)与轴交于点C，D．①假设∠CAB＝90°求的值；②如果点P(*,y)是直线BC上方抛物线的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值.3.抛物线y=a*2+b*+3经过点A(1,0)和点B(5,0)．〔1〕求该抛物线所对应的函数解析式；〔2〕该抛物线与直线y=0.6*2+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于*轴下方，直线PM∥y轴，分别与*轴和直线CD交于点M、N,连结PC、PD，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？假设存在，求出这个最大值及P的坐标；假设不存在，说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使S△QCD=S△PCD，假设存在，求出点Q的坐标，假设不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a*2+b*﹣5交y轴于点A，交*轴于点B〔﹣5，0〕和点C〔1，0〕，过点A作AD∥*轴交抛物线于点D．〔1〕求此抛物线的表达式；〔2〕点E是抛物线上一点，且点E关于*轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；〔3〕假设点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到*一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．题型三：抛物线中，以面积为条件的几何问题例3.如图，抛物线y=a*2+b*〔a＜0〕过点E〔10，0〕，矩形ABCD的边AB在线段OE上〔点A在点B的左边〕，点C，D在抛物线上．设A〔t，0〕，当t=2时，AD=4．〔1〕求抛物线的函数表达式．〔2〕当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？〔3〕保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．练习3:1.如图，二次函数y=﹣*2+b*+c的图象与*轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC=3，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．〔1〕求b，c的值；〔2〕如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；〔3〕如图2，动点P在线段OB上，过点P作*轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，说明理由．2.如图，二次函数y=a*2+b*+c的图象的顶点坐标为〔2，﹣9〕，该函数的图象与y轴交于点A〔0，﹣5〕，与*轴交于点B，C〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕求点B的坐标；〔3〕过点A作AD∥*轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M作MN∥y轴，交AD于点N，连接AM，MD，设△AMD的面积为s．①求s关于m的函数解析式；②判断出当点M在何位置时，△AMD的面积最大，并求出最大面积．3.二次函数y=a*2+b*+6〔a≠0〕的图象交y轴于C点，交*轴于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，点A、点B的横坐标是一元二次方程*2﹣4*﹣12=0的两个根．〔1〕求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式．〔2〕如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点〔点Q不与点O、B重合〕，过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标〔m，0〕，当△CDQ面积S最大时，求m的值．〔3〕如图3，线段MN是直线y=*上的动线段〔点M在点N左侧〕，且MN=，假设M点的横坐标为n，过点M作*轴的垂线与*轴交于点P，过点N作*轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？假设能，请求出n的值；假设不能，请说明理由．4.如图，点C〔0，3〕，抛物线的顶点为A〔2，0〕，与y轴交于点B〔0，1〕，F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥*轴于点M，交直线CF于点H，设点P的横坐标为m．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设点P在直线CF下方的抛物