勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习一.知识归纳1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：、、， 1 方法一：45+S正、形.=S正、形，4x§ab+(b一a)2=c2，化间可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S-4x_ab+c2=2ab+c22大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2所以a2+b2=c2、、，. 1 1 1万法三：S梯形=犬。+b)-(a+b)，S梯形=2S里施+S里曲=2-^ab+^c2，化简得证.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在AABC中，ZC=90。，则c=E2+b2，b=9-a2，a=<c2-b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过'数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方禾血2+b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2+b2<c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2+b2>c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+c2=b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代数式表示n组勾股数：n2-1,2n,n2+1（n>2,n为正整数）；2n+1,2n2+2n,2n+2n+1（n为正整数）m2-n2,2mn,m2+n2（m>n,m，n为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体

推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：题型一：直接考查勾股定理例1.在AABC中，ZC=90。.⑴已知AC=6，BC=8.求AB的长(2)已矢口AB=17，AC=15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2+b2=c2解：⑴AB=<AC2+BC2=10⑵BC=\AB2-AC2=8题型二：应用勾股定理建立方程例2.⑴在AABC中，ZACB=90。，AB=5cm，BC=3cm，CD±AB于D，CD=⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴AC=\AB2-BC2=4，CD=A°B=2.4AB

⑵设两直角边的长分别为3k,4k:.(3k)2+(4k)2=152,k=3,S=541⑶设两直角边分别为a,b，则a+b=17,a2+b=289，可得ab=60「.S=—ab=30 cm22例3.如图AABC中，ZC=90。,Z1=Z2,CD=1.5,BD=2.5，求AC的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE±AB于E,Z1=Z2,ZC=90。DE=CD=1.5在ABDE中ZBED=90°,BE=<BD2-DE2=2RtAACD=RtAAEDAC=AE在RtAABC中，ZC=90°AB2=AC2+BC2,(AE+EB)2=AC2+42AC=3例4.如图RtAABC,ZC=90°AC=3,BC=4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积A BA B答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m分析：根据题意建立数学模型，如图AB=8m,CD=2m分析：根据题意建立数学模型，如图AB=8m,CD=2m,贝AE=6m，DE=8m在Rt险DE中，由勾股定理得AD=\AE2+DE2=10答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定AABC是否为RtA①a=1.5，b=2，c=2.5 ②a=—，b=1，c=—TOC\o"1-5"\h\z4 3解：①a2+b2=1.52+22=6.25，c2=2.52=6.25AABC是直角三角形且ZC=90。_ 13 25②、b2+c2= ，a2=一，b2+c2丰a2/.AABC不是直角三角形9 16例7.三边长为a，b，c满足a+b=10，ab=18，c=8的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由:'.•a2+b2=(a+b)2一2ab=64，且c2=64•••a2+b2=c2所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知AABC中，AB=13cm，BC=