对称少自由度并联机构动力学分析

对称少自由度并联机构动力学分析

与六个多样性联合的系统相比，一个缺乏交叉的系统具有结构简单、制造成本低、控制简单等优点。少自由度并联机构可制成即插即用的功能模块(并联动力头),重构能力极强,可用以搭建高速数控加工单元或需优势方向的制造系统。其中,最具代表性的并联动力头当属德国DS公司的SprintZ3头,其拓扑构型为3-PRS机构,可实现一平动两转动,目前已成功应用于飞机机翼等大型结构件的高速、精密加工。鉴于Z3头的成功经验,本文拟对3-RPS机构进行研究。该机构最初由Hunt提出,其运动、动力性能均与3-PRS机构类似,目前已受到学术界的广泛关注。由于自由度数目小于6,少自由度并联机构的支链不仅传递驱动力/力矩,同时还需为末端提供约束力/力矩。迄今,国内外学者已对该类机构的逆动力学问题进行了初步研究,其建模方法涉及Lagrange方程、虚功(率)原理、凯恩方程、牛顿欧拉法等。然而,上述研究均仅考虑了驱动力/力矩的需求分析,而对于约束力/力矩特性并未给予应有的重视。本文采用矢量法建立了3-RPS机构的逆运动学模型,并基于牛顿欧拉法推导了机构的刚体动力学方程。给定动平台的运动规律及外载荷后,可一并求解机构所需的驱动力与约束力矩。计算实例表明,与动平台自由速度方向不一致的外载荷主要需由约束力矩平衡,广义约束力对少自由度对称并联机构的动力学设计具有重要影响。1ps-u-生长曲线图1所示3-RPS机构,由定平台A1A2A3、动平台B1B2B3及连接两平台的3条支链组成。定、动平台均采用等边三角形布局,其外接圆半径分别为a和b。支链的结构形式均为RPS,即转动副→移动副→球副。其中,移动副为主驱动关节,转动副的旋转轴均位于定平台所在平面,且与定平台外接圆相切。分别以定、动平台的几何中心O和P为原点,建立笛卡儿坐标系O-xyz,P-uvw。其中,x轴和y轴分别与向量¯ΟA1和¯A3A2同向,z轴由右手定则确定;u轴和v轴分别与向量¯ΟB1和¯B3B2同向,w轴由右手定则确定。在支链的连架铰链处建立支链坐标系Ai-xiyizi(i=1～3),zi轴与向量¯AiBi同向,yi轴与转动副旋转轴重合,其正方向为绕定平台的外接圆逆时针方向,xi轴由右手定则确定。1.1闭环约束方程动坐标系P-uvw相对于定坐标系O-xyz的旋转矩阵可表示为ARB=[cosβsinβsinαsinβcosα0cosαsinα-sinβcosβsinαcosβcosα](1)式中:α和β分别为动坐标系绕x,y轴的欧拉角。动平台的角速度可表示为ωΡ=[˙α+˙βsinβsinα˙βcosα˙βcosβsinα](2)式中:˙α,˙β分别为欧拉角α,β对时间的导数。由图1可知,定坐标系下机构的闭环约束方程为qi=ai+disi=p+bi(3)式中:ai=¯ΟAi;bi=¯ΡBi;p=¯ΟΡ;di为支链i的长度;si为定坐标系下zi轴的单位向量。由位置反解可知di=∥p+bi-ai∥(4)式中,‖·‖表示向量的模,故si=(p+bi-ai)/di(5)如图2所示,支链坐标系可由定坐标系经两次旋转变换得到,即首先绕z轴转动ϕi角,形成坐标系Ai-x′iy′iz′i;再绕y′i轴转动θi角,形成坐标系Ai-xiyizi。则支链坐标系相对定坐标系的旋转矩阵可表示为ARi=[cosϕicosθi-sinϕicosϕisinθisinϕicosθicosϕisinϕisinθi-sinθi0cosθi](6)运动过程中,支链i只能绕yi轴转动,故ϕi为固定角,且ϕ1=0,ϕ2=π/3,ϕ3=2π/3。由式(6)可知,zi轴的单位向量亦可表示为si=[cosϕisinθisinϕisinθicosθi](7)故cosθi=siz‚sinθi=√s2ix+s2iy(0≤θ≤π)式中:six,siy,siz分别为向量si在x,y,z轴方向的分量。支链i的结构如图3所示。图3中,e1为缸体质心至Ai点的距离,e2为活塞质心至Bi点距离。在定坐标系中,缸体和活塞质心的位置向量分别为r1i=ai+e1si(8)r2i=ai+(di-e2)si(9)1.2支链坐标系中bi的速度式(3)对时间求导,可得定坐标系下球副中心Bi的速度为ivBi=vΡ+ωΡ×bi(10)式中:vP和ωP分别为动平台质心线速度和动平台的角速度。将vBi转换到支链坐标系下描述,有ivBi=iRAvBi(11)式中:iRA=(ARi)T式(3)对时间求导,并通过坐标变换,也可得支链坐标系下球副中心Bi的速度ivBi=diiωi×isi+˙diisi(12)式中:iωi为支链坐标系下的支链i角速度;isi为支链坐标系下的zi轴的单位向量;˙di为支链i长度伸缩速度。用向量isi对式(12)两边做点积,可得˙di=ivBi,z(13)式中:ivBi,z为ivBi在zi轴方向上的分量。用向量isi对式(12)两边做叉积,可得iωi=1di(isi×ivBi)=1di[-ivBi,yivBi,x0](14)式中:ivBi,x,ivBi,y分别为ivBi在xi,yi轴方向上的分量。注意到支链i只能绕yi轴转动,则ivBi,y=0。式(8)和式(9)分别对时间求导,并通过坐标转换,可得支链坐标系下缸体和活塞的质心速度为iv1i=e1iωi×isi=e1di[ivBi,x00](15)iv2i=(di-e2)iωi×isi+˙diisi=1di[(di-e2)ivBi,x0diivBi,z](16)1.3支链biiiisiisiisiiisi+2iisiiiisiiiiisii式(10)对时间求导,可得定坐标系下Bi点的加速度˙vBi=˙vΡ+˙ωΡ×bi+ωΡ×(ωΡ×bi)(17)转换到支链坐标系下,则i˙v˙Bi=iRA˙vBi(18)式(12)对时间求导,并通过坐标变换,也可得支链坐标系下球副中心Bi的加速度i˙vBi=¨diisi+dii˙ωi×isi+diiωi×(iωi×isi)+2˙diiωi×isi(19)式中:¨di为支链i长度伸缩加速度;i˙ωi为支链坐标系下的支链i角加速度。式(19)两边用向量isi做点积,可得¨di=i˙vBi,z+di∥iωi∥2=i˙vBi,z+i˙vBi,x/di(20)式(19)两边用向量isi做叉积,可得i˙ωi=1diisi×i˙vBi-2˙didiiωi=1d2i[0dii˙vBi,x-2ivBi,zivBi,x0](21)式(15)和式(16)对时间求导,即可获得缸体和活塞的质心加速度i˙v1i=e1i˙ωi×isi+e1iωi×(iωi×isi)=e1d2i[di˙vBi,x-2ivBi,zivBi,x-(iv2Bi,x+iv2Bi,y)](22)i˙v2i=¨diisi+(di-e2)iωi×isi+(di-e2)⋅iωi×(iωi×isi)+2˙dii˙ωi×isi=1d2i[di(di-e2)i˙vBi,x+2e2ivBi,zivBi,xd2ii˙vBi,z+e2iv2Bi,x](23)2动力学方程2.1主惯性矩的计算根据欧拉方程,有inAi=ddt(ihAi)(24)式中:inAi为作用于Ai点的合外力矩;ihAi为支链i关于Ai点的合角动量,且ihAi=m1e1(isi×iv1i)+m2(di-e2)⋅(isi×iv2i)+ihC1i+ihC2i(25)式中:ih1iC=iI1iiωi,ih2iC=iI2iiωi分别为缸体和活塞关于各自质心的角动量;iI1i,iI2i分别为缸体和活塞关于各自质心的惯性矩阵;m1和m2分别为缸体和活塞的质量。式(25)对时间求导,可得ddt(ihAi)=m1e1(isi×iv1i)+m2(di-e2)⋅(isi×iv˙2i)+iΙ1iiω˙i+iωi×(iΙ1iiωi)+iΙ2iiω˙i+iωi×(iΙ2iiωi)(26)如图3所示,设ifBi=[ifBi,xifBi,yifBi,z]T为动平台对支链的作用力,Ag=[00-gc]T为定坐标系下的重力加速度向量,iMAi为支链坐标系下机架作用于支链i的约束力矩。则inAi=diisi×(-ifBi)+[m1e1+m2(di-e2)]⋅(isi×iRAAg)+iΜAi=[iΜAi,x+diifBi,y-diifBi,x+m1e1gcsinθi+m2(di-e2)gcsinθi0](27)式中:iMAi,x为iMAi在xi轴方向的分量。将式(26)和式(27)代入式(24),可得ifBi,x=1di[m1e1gcsinθi+m2(di-e2)gc⋅sinθi-m1e1iv˙1ix-m2(di-e2)iv˙2ix-Ι1iyiω˙iy-Ι2iyiω˙iy](28)式中:I1iy和I2iy分别为缸体和活塞关于各自质心的主惯性矩在yi轴方向的分量;iv˙1ix和iv˙2ix分别为iv˙1i和iv˙2i在xi轴方向的分量;iω˙i为iω˙i在yi轴方向的分量。2.2动平台内部分质心参数利用牛顿方程,可得动平台的力平衡方程∑i=13AfBi+mΡAg+AF=mΡAv˙Ρ(29)式中:AfBi=-ARiifBi为定坐标系下支链i作用于动平台上的力;AF为动平台所受外力;mP为动平台的质量。式(6)与式(29)联立,可得∑i=13(ifBi,xcosϕicosθi-ifBi,ysinϕi+ifBi,zcosϕisinθi)+AFx=0∑i=13(ifBi,xsinϕicosθi+ifBi,ycosϕi+ifBi,zsinϕisinθi)+AFy=0∑i=13(-ifBi,xsinθi+ifBi,zcosθi)+AFz=mΡv˙Ρz+mΡgc}(30)动平台上的力关于质心的合力矩为BnΡ=∑i=13Bbi×BfBi+BΝ(31)式中:BfBi=BRAAfBi=BRiifBi为动坐标系下支链i对动平台的作用力;BN=[BNPuBNPvBNPw]T为动平台所受的载荷力矩;Bbi=[biubiv0]T为球铰中心Bi在动坐标系下的位置向量。将式(31)代入式(24),并注意到动平台关于其质心的惯性积为零,且IPu=IPv,可得∑i=13[biv(a31ifBi,x+a32ifBi,y+a33ifBi,z)]+BΝΡu=ΙΡuω˙Ρu-ωΡvωΡw(ΙΡv-ΙΡw)(32)∑i=13[-biu(a31ifBi,x+a32ifBi,y+a33ifBi,z)]+BΝΡv=ΙΡvω˙Ρv-ωΡwωΡu(ΙΡw-ΙΡu)(33)∑i=13[biv(a21ifBi,x+a22ifBi,y+a23ifBi,z)-biv(a11ifBi,x+a12ifBi,y+a13ifBi,z)]+BΝΡw=ΙΡwω˙Ρw(34)式中:BωP=[ωPuωPvωPw]T为动坐标系下的动平台角速度向量;aij为BRi的第i行第j列元素;IPu,IPv和IPw分别为动平台关于质心的主惯性矩在u,v,w轴上的分量。式(30)与式(32)～式(34)联立,则可求ifBi,y,ifBi,z。故3-RPS机构所需的驱动力和约束力矩分别为τi=ifBi,z+m2gccosθi+m2iv˙2iz(35)Μi=iΜAi,x=diifBi,y(36)33运动规律设3-RPS机构的几何和物理参数如下:a=0.5m;b=1.0m;mΡ=1.0kg;m1=0.1kg;m2=0.1kg;e1=e2=0.5m;BΙΡ=[0.80000.80000.8]kg⋅m2iΙ1i=iΙ2i=[00000.006250000]kg⋅m2不失一般性,设动平台的运动规律为p=[001.2+0.2sinωt]Τα=π/18+(π/36)sinωtβ=π/18+(π/36)sinωt式中:ω=2rad/s,0≤t≤3.5s。设机构的外载荷为g=[00-9.807]Τm/s2AF=ΤΝ,BΝ=ΤΝ⋅m经Matlab编程计算,可得机构所需的驱动力和约束力矩,分别如图4和图5所示。若令机构的外载荷向量为{AF=ΤΝBΝ=[0010sinωt]ΤΝ⋅m则机构所需的驱动力和约束力矩分别如图6和图7所示。由图4～图7可知,施加外力矩后,3-RPS机构的驱动力变化并不大,但约束力矩的变化却极为显著。这说明,对于对称少自由度并联机构而言,与动平台自由速度方向不一致的广义载荷力主要由广义约束力来平衡。因此,对该类机构的尺度、截面参数进行动力学优化设计时,仅考虑广义驱动力显然是不够的,必须同时计入广义约束力的影响。4逆