两角和与差的正弦余弦正切公式（第1课时）（教学课件）高一数学

第6

章三角6.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1课时）我们在学习对数时知道，对于正实数a、b，一般ｌｇ（a＋b）≠ｌｇa＋ｌｇb，但可以用a、b的对数来表示ab或（b≠０）的对数，并可由此化简很多涉及对数的表达式．类似地，一般ｓｉｎ（α＋β）≠ｓｉｎα＋ｓｉｎβ及ｃｏｓ（α－β）≠ｃｏｓα－ｃｏｓβ．本节中，我们要学习两个角的和与差的三角公式，即学习如何用α、β的正弦、余弦及正切来表示α±β的正弦、余弦及正切，并在此基础上学习如何运用这组公式及其推论来化简有关的三角表达式，为后面用三角知识解决各种具体问题做好准备我们先推导两角差（α－β）的余弦公式．设α、β为任意给定的两个角，把它们的顶点置于平面直角坐标系的原点O，始边都与x轴的正半轴重合，而它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点（图６-２-１）．点A、B的坐标分别为A（ｃｏｓα，ｓｉｎα）、B（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ）下面考虑角（α－β）的余弦．为此把角α、β的终边OA及OB都绕原点O旋转－β角，它们分别交单位圆于点A′及B′（图６-２-２）．由于都转动了－β角，因此α－β也可以是一个以射线OB′为始边、以射线OA′为终边的角，而点A′的坐标是（ｃｏｓ（α－β），ｓｉｎ（α－β）），点B′的坐标是（１，０）．根据两点间的距离公式，在图６-２-１中，有而在图６-２-２中，有因为将射线OA、OB同时绕原点O旋转－β角，就分别得到射线

OA′、OB′，所以｜AB｜＝｜A′B′｜，从而得到２－２ｃｏｓαｃｏｓβ－２ｓｉｎαｓｉｎβ＝２－２ｃｏｓ（α－β），即ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ这个式子对任意给定的角α及β都成立，称为两角差的余弦公式．在两角差的余弦公式中，用－β代换β，就可得到两角和的余弦公式：ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓ（－β）＋ｓｉｎαｓｉｎ（－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ．这样，我们就得到两角和与差的余弦公式ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ，ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ简记作例１利用两角和与差的余弦公式，求ｃｏｓ７５°和ｃｏｓ１５°的值．解ｃｏｓ７５°＝ｃｏｓ（４５°＋３０°）＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°－ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°＝ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（４５°－３０°）＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°ｓｉｎ３０°＝于是ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ例３若α、β为锐角，求角β课本练习练习６．２（１)

１．化简：（１）ｃｏｓ（２２°－x）ｃｏｓ（２３°＋x）－ｓｉｎ（２２°－x）ｓｉｎ（２３°＋x）；３．证明：随堂检测1、cos56°cos26°＋sin56°cos64°的值为（

）【答案】C；【解析】原式＝cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝2、计算：

【答案】3、cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝_______【解析】原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos60°＝4、求值：（1）sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝________；【解析】sin20°cos