本科数学毕业论文有限域上莫比乌斯变换

本科数学毕业论文有限域上莫比乌斯变换有限域上莫比乌斯变换摘要：莫比乌斯变换是一种常用于数字信号处理和离散数学中的变换方法。在本文中，我们将介绍有限域上的莫比乌斯变换。首先，我们将介绍有限域的概念和性质，并给出有限域上莫比乌斯变换的定义。然后，我们将讨论有限域上莫比乌斯变换的性质和应用，包括有限域上的卷积和多项式求逆。最后，我们将给出一个例子来展示有限域上莫比乌斯变换的应用。关键词：有限域，莫比乌斯变换，卷积，多项式求逆。1.介绍莫比乌斯变换是一种常用于数字信号处理和离散数学中的变换方法。它可以将一个序列变换为另一个序列，并且在一些情况下，可以极大地简化问题的求解过程。有限域是群论和代数几何中的重要概念。它是一个有限个元素的集合，并且满足一定的性质。在实际应用中，我们通常使用有限域GF(q)，其中q是一个素数幂，例如2的幂。在本文中，我们将介绍有限域上的莫比乌斯变换。首先，我们将介绍有限域的概念和性质，并给出有限域上莫比乌斯变换的定义。然后，我们将讨论有限域上莫比乌斯变换的性质和应用，包括有限域上的卷积和多项式求逆。最后，我们将给出一个例子来展示有限域上莫比乌斯变换的应用。2.有限域与莫比乌斯变换有限域GF(q)是一个有限个元素的集合，并且满足以下四个性质：1)加法公理：对于任意的a,b∈GF(q)，都有a+b∈GF(q)。2)乘法公理：对于任意的a,b∈GF(q)，都有a×b∈GF(q)。3)左分配律：对于任意的a,b,c∈GF(q)，都有a×(b+c)=(a×b)+(a×c)。4)左乘逆元：对于任意的a∈GF(q)，存在一个元素a'∈GF(q)使得a×a'=1，其中1是GF(q)中的单位元素。有限域GF(q)的元素通常使用0,1,2,…,q-1来表示。例如，在2的幂次方有限域GF(2^3)中，元素可以表示为0,1,2,…,7。有限域上的莫比乌斯变换定义如下：对于GF(q)上的元素a∈GF(q)，设μ(a)表示a的莫比乌斯函数值，即μ(a)={0,当a有平方因子时；(-1)^k,当a是k个不同质因子的乘积时。}有限域上的莫比乌斯变换可以表示为F(μ)=[F(f)]k，其中F(f)表示GF(q)上f的离散傅里叶变换，k是集合{a∈GF(q)|μ(a)≠0}中元素的个数。3.有限域上莫比乌斯变换的性质有限域上的莫比乌斯变换具有以下性质：1)线性性：对于GF(q)上的任意两个序列f和g，有F(f+g)=F(f)+F(g)。这意味着有限域上的莫比乌斯变换是线性变换。2)对称性：对于GF(q)上的任意一个序列f，有F(F(f))=qf。这意味着有限域上的莫比乌斯变换是幺正的和自逆的。3)卷积定理：对于GF(q)上的任意两个序列f和g，有F(f×g)=F(f)×F(g)。这意味着有限域上的莫比乌斯变换可以用于计算GF(q)上的卷积。4)多项式求逆：对于GF(q)上的任意一个多项式f(x)，如果它的常数项系数不为0，则存在一个GF(q)上的多项式g(x)使得f(x)×g(x)=1。这个g(x)可以用有限域上的莫比乌斯变换来计算。4.例子考虑GF(2^3)上的两个多项式f(x)=x^2+1和g(x)=x+1。它们的乘积可以表示为f(x)×g(x)=x^3+x^2+x+1我们可以使用有限域上的莫比乌斯变换来计算g(x)的逆，即f(x)×g(x)=1G(F(f))×G(F(g))=1G(F(g))=G(F(f))^-1其中，G(f)表示GF(2^3)上f的莫比乌斯变换。根据GF(2^3)上的莫比乌斯函数值表格，我们可以计算出μ(1)=1、μ(2)=μ(4)=0、μ(3)=μ(5)=μ(6)=-1。因此，有限域上f(x)的莫比乌斯变换为F(f)=(1,0,-1,0,-1,0,1,0)同样地，有限域上f(x)×g(x)的莫比乌斯变换为F(f×g)=(1,1,1,-1,-1,-1,1,1)由卷积定理，有限域上g(x)的莫比乌斯变换可以表示为F(g)=F(f×g)×F(f)^-1=(1,1,1,-1,-1,-1,1,1)×(1,0,1,0,1,0,-1,0)=(1,1,0,1,0,1,1,0)因此，GF(2^3)上g(x)的系数为1101。这意味着g(x)=x^3+x+1是f(x)=x^2+1在GF(2^3)上的逆。结论本文介绍了有限域上的莫比乌斯变换，并讨