2022-2023学年北京延庆县四海中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年北京延庆县四海中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}（a1≠a2）的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q=（）A．1或 B． C．1或 D．1参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得a7+a4=2a1，即，求解该方程得答案．【解答】解：在等比数列{an}中，由a1≠a2，得q≠1，∵a7，a1，a4成等差数列，∴a7+a4=2a1，即，∴q6+q3﹣2=0，解得q3=1（舍）或q3=﹣2．∴．故选：B．2.已知是的重心，点是内一点，若，则的取值范围是(

)

A、

B、

C、

D、参考答案：C略3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当时,,则的值为

（

）A．-3

B.

C.

D.3参考答案：B：因为时,,所以时，，即，所以，故选B。4.若非零向量，则△ABC的形状是A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形参考答案：C5.已知集合则A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为

参考答案：略7.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前n项和为，则的值为（

）A、 B、 C、 D、参考答案：A8.一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：组距(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数234542则样本在(10,50]上的频率为(

)

(A).

(B).

(C).

(D).

参考答案：答案：D9.已知函数的图像向右平移个单位，得到的图像恰好关于直线对称，则的最小值为

（

）A.

B.

C.

D.以上都不对参考答案：A10.函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】利用诱导公式将y=f（x）=cos（2x+φ）转化为f（x）=sin[+（2x+φ）]，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得φ的值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+φ）=sin[+（2x+φ）]=sin（2x++φ），∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）++φ）]=sin（2x﹣+φ），又f（x﹣）=sin（2x+），∴sin（2x﹣+φ）=sin（2x+），∴φ﹣=2kπ+，∴φ=2kπ+，又﹣π≤φ＜π，∴φ=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，且，则实数

．参考答案：解：．由12.已知△ABC的外接圆半径为8，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】sinA：sinB：sinC=2：3：4，利用正弦定理可得a：b：c=2：3：4，利用余弦定理可得cosA，sinA=．再利用正弦定理可得=2×8，解得a，即可得出三角形面积． 【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴a：b：c=2：3：4， cosA==，sinA==． ∴=2×8，解得a=16×=2． ∴b=3，c=4． ∴S=bcsinA=3×4×=． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.函数处有极值10，则的值为

.参考答案：略14.函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是

．参考答案：y=x﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先x=1代入解析式求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出f′（1），即为所求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可．【解答】解：把x=1代入f（x）=lnx得，f（1）=ln1=0，∴切点的坐标为：（1，0），由f′（x）=（lnx）′=，得在点x=1处的切线斜率k=f′（1）=1，∴在点x=1处的切线方程为：y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1．15.从等腰直角的底边上任取一点，则为锐角三角形的概率为

；参考答案：

16.若展开式的常数项是60，则常数a的值为

．参考答案：17.已知直线,,则的值为▲,直线间的距离为▲.参考答案：；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：

一次购物款（单位：元）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,+∞)顾客人数20a3020b

统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品.（Ⅰ）试确定a，b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；（Ⅱ）为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：一次购物款（单位：元）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)返利百分比06%8%10%

请问该商场日均大约让利多少元？参考答案：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有，；.该商场每日应准备纪念品的数量大约为.（Ⅱ）设顾客一次购物款为元.当时，顾客约有人；当时，顾客约有人；当时，顾客约有人；当时，顾客约有人.该商场日均大约让利为：（元）.

19.已知函数f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）ex，（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（，+∞）上的极值点的个数；（Ⅲ）是否存在a，使得f（x）在区间（，+∞）上与x轴相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）若a=0，求函数的导数，利用导数求f（x）的单调区间；（II）利用导数分别讨论a的取值，进而讨论函数f（x）在区间（，+∞）上的极值点个数；（III）假设存在a，使得f（x）在区间（，+∞）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点处，利用导数与极值之间的关系进行讨论．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=（xlnx﹣1）ex，（x＞0）导数f′（x）=（x+1）exlnx，所以x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0．可得f（x）的减区间为（0，1），f（x）的增区间为（1，+∞）；（Ⅱ）f′（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）ex，令m（x）=lnx+xlnx+ax+a2m′（x）=+lnx+1+a，又令φ（x）=+lnx+1+aφ′（x）=﹣+．x∈（0，1）时，φ（x）＜0，φ（x）递减；x∈（1，+∞），φ（x）＞0，φ（x）递增．m（x）min=m′（1）=2+a≥0，所以m（x）在区间（，+∞）单调递增，m（）=（a﹣1）（a+1+），①m（）≥0，即：﹣2≤a≤﹣1﹣或a≥1时m（x）在区间（，+∞）上无零点，f（x）无极值点②m（）＜0，即：﹣1﹣＜a＜1，m（x）在区间（，+∞）上有唯一零点，f（x）有唯一极值点．（Ⅲ）假设存在a，使得f（x）在区间（，+∞）上与x轴相切，则f（x）必与x轴相切于极值点．由（2）可知﹣1﹣＜a＜1，设极值点为x0，联立得x0=e﹣（a+1）代入上式得e﹣（a+1）+（a+1）﹣a2=0令t=﹣（a+1），t∈（﹣2，），h（t）=et﹣t﹣（t+1）2h′（t）=et﹣2t﹣3，h″（t）=et﹣2＜0h′（t）在t∈（﹣2，）上单调递减，h′（﹣2）=e﹣2+1＞0，＜0∴h′（t）在t∈（﹣2，）上存在唯一零点t0即当t∈（﹣2，t0）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，当t∈（t0，）时，h（t）＜0，h（t）单调递减h（﹣2）＞0，h（）＜0，所以h（t）在t∈（﹣2，t0）上无零点，在t∈（t0，）上有唯一零点h（0）=0，a+1=0，a=﹣1所以存在a=﹣1，使得f（x）在区间（，+∞）上与x轴相切．20.如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）．（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．参考答案：解法1：在如图1所示的△中，设，则．由，知，△为等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如图2），，，且，所以平面．又，所以．于是

，当且仅当，即时，等号成立，故当，即时,三棱锥的体积最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．当时，；当时，．所以当时，取得最大值．故当时,三棱锥的体积最大．

（Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．于是可得，，，，，，且．设，则.因为等价于，即，故，.所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．

设平面的一个法向量为，由及，得可取．设与平面所成角的大小为，则由，，可得，即．略21.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知，不等式的解集是

(1)求a的值;

(2)若存在实数解，求实数的取值范围。参考答案：由得：即当时，原不等式的解集是，无解；当时，原不等式的解集是，得……………（5分）（2）由题：因为存在实数解，只需大于的最小值由绝对值的几何意义，，所以解得：…………………（10分）22.设是定义