中考数学复习满分突破（全国通用）：专题22 认识多边形（解析版）

专题22认识多边形【考查题型】【知识要点】多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。多边形内角的概念：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。多边形外角的概念：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

多边形对角线条数：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。

正多边形的概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（扩展：正n边形每个内角的度数是（n−【推论】1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°。2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍。多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。考查题型一多边形内角和问题典例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）一个正六边形的内角和的度数为（）A．1080° B．720° C．540° D．360°【答案】B【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．【详解】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键．变式1-1．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（

）A．900° B．720° C．540° D．360°【答案】C【分析】n边形的内角和公式为：，再根据内角和公式计算即可．【详解】解：（5-2）×180°=180°×3=540°因此五边形的内角和是540°．故选：C【点睛】本题考查了多边形的内角和公式（n-2）×180°的灵活运用．熟悉多边形的内角和公式是解本题的关键．变式1-2．（2022·湖南怀化·统考中考真题）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形【答案】A【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解．【详解】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180°=900°，解得n=7，∴这个多边形的边数是7，故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．变式1-3．（2021·北京·统考中考真题）下列多边形中，内角和最大的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；B、是一个四边形，其内角和为360°；C、是一个五边形，其内角和为540°；D、是一个六边形，其内角和为720°；∴内角和最大的是六边形；故选D．【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．变式1-4．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．变式1-5．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°．【答案】答案见解析【分析】如下图，连接，，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：连接，，五边形的内角和等于，，的内角和的和，五边形的内角和．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键．考查题型二正多边形内角和问题典例2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：∵多边形是正五边形，∴该多边形内角和为：，，∴，故D选项正确；∵是正三角形，∴，，∴，，∴，故B选项正确；∵，，∴，故A选项正确；∵，，∴，故C选项错误，故选：C．【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．变式2-1．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是(

)A．4 B． C．2 D．0【答案】B【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，∴，∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示：在正六边形中，，∴，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．变式2-2．（2022·上海·统考中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意．【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．变式2-3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．【详解】解：设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：，解得x=，则BD=，∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，，则∠BFD=22.5°，∴外接圆直径d=BF=，根据题意知周长÷d==，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键．变式2-4．（2021·福建·统考中考真题）如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．【详解】∵是正五边形，∴∠ABC==108°，AB=BC，∵为等边三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，∴∠BFC==66°，∴=∠AFB+∠BFC=126°，故选：C．【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．变式2-5．（2022·江苏徐州·统考中考真题）正十二边形每个内角的度数为．【答案】【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．【详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：=30°，则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．故答案为150°．变式2-6．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是__．【答案】120°【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，则6x＝(6﹣2)•180°，解得x＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．变式2-7．（2021·四川雅安·统考中考真题）如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．【答案】【分析】分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．【详解】解：∵ABDEF是正六边形，∴∵ABGH是正方形，∴∵∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公式是解题的关键．变式2-8．（2021·浙江·统考中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．【答案】36【分析】根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】∵正五角星（是正五边形的五个顶点）∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且∴正五边形内角和为：∴∴∵∴∴故答案为：36．【点睛】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．考查题型三正多边形外角问题典例3．（2021·辽宁营口·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光线是平行的，∴=∠ABD=，故选A【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键．变式3-1．（2022·青海西宁·统考中考真题）一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝________．【答案】10【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．【详解】解：n=360°÷36°=10．故答案为10．【点睛】本题主要考查了正n边形的外角特点．因为外角和是360度，所以当多边形是正多边形时，每个外角都相等．直接利用外角求多边形的边数是常用的方法．变式3-2．（2022·江苏泰州·统考中考真题）正八边形一个外角的大小为________度．【答案】【分析】根据正八边形得出八个内角都相等，再因为每个内角与它相应的外角互补，且多边形外角和为，算出正八边形一个外角的大小．【详解】解：∵正八边形，∴正八边形八个内角都相等，∵正八边形的每个内角和它对应的外角互补，且外角和，∴正八边形有八个相等的外角，∴正八边形一个外角为，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，正确理解以上图形性质是解题的关键．变式3-3．（2022·江西·统考中考真题）正五边形的外角和等于_______◦．【答案】360【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度∴正五边形的外解和也为360°故答案为360考查题型四多边形外角和的应用典例4．（2022·河北·统考中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（

）A． B．C． D．无法比较与的大小【答案】A【分析】多边形的外角和为，△ABC与四边形BCDE的外角和均为，作出选择即可．【详解】解：∵多边形的外角和为，∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为，∴，故选：A．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键．变式4-1．（2021·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正n边形的外角和定理计算即可【详解】如图，延长BA到点O，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAO==60°，∵五边形ABGHI是正五边形，∴∠IAO==72°，∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，故选B．【点睛】本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正ｎ边形的外角和定理是解题的关键．变式4-2．（2020·山东德州·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（

）A．80米 B．96米 C．64米 D．48米【答案】C【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．故选：C．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．考查题型五多边形内角和与外角和的综合典例5．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）正多边形的每个内角为，则它的边数是（

）A．4 B．6 C．7 D．5【答案】D【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．【详解】解：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°-108°=72°，∴边数=360°÷72°=5，故选D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．变式5-1．（2021·四川眉山·统考中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（

）A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1【答案】D【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，故选D．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键．变式5-2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则_______．【答案】5【分析】设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，求得外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，进而求出n的值．【详解】解：∵正边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2，∴设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，∴3x+2x＝180°，解得x＝36°，∴一个外角为2x＝72°，360°÷72°＝5，∴n＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了多边形的内角、外角的知识和外角和定理，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键．变式5-3．（2022·四川眉山·中考真题）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为________．【答案】11【分析】多边形的内角和定理为，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．【详解】解：根据题意可得：，解得：，故答案为：11．【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．变式5-4．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．【答案】48【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角∴在中：故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°变式5-5．（2021·四川广安·统考中考真题）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．【答案】8【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．【详解】解：设边数为n，由题意得，180（n－2）=3603，解得n=8．所以这个多边形的边数是8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．变式5-6．（2020·四川遂宁·统考中考真题）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为_____度．【答案】36【分析】首先设此正多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】设此多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，解得：n=10，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．故答案为：36．【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键.考查题型六平面镶嵌典例6．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（

）A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形【答案】C【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.【详解】设这个多边形的边数为n，则（n－2）×180°＝4×360°，解得：n＝10，故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2)×180°，n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．变式6-1．（2021·贵州铜仁·统考中考真题）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大