2024届一轮复习人教A版 第3章导数及其应用第2节导数的应用第2课时导数与函数的极值最值 课件（52张）

第二节导数的应用第2课时导数与函数的极值、最值第三章导数及其应用必备知识·回顾教材重“四基”01一、教材概念·结论·性质重现1．函数的极值与导数条件设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值f(x0)为_______f(x0)为______极值点x0为_________x0为_________极大值极小值极大值点极小值点1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．2．函数的极大值不一定大于极小值，函数的极小值也不一定小于极大值．2．函数的最值与导数(1)一般地，如果在闭区间[a，b]上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则_______为函数的最小值，_______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则_______为函数的最大值，_______为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)函数的极值是“局部”概念，函数的最值是“整体”概念，闭区间上函数的最值一定是极值或区间端点对应的函数值．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)函数的极大值不一定比极小值大． (

)(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． (

)(3)函数的极大值一定是函数的最大值． (

)(4)开区间上的单调连续函数无最值． (

)34512√××√

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34512关键能力·研析考点强“四翼”考点1利用导数求函数的极值——综合性02考点2利用导数求函数的最值——综合性考点3极值与最值的综合应用——综合性考向1根据函数的图象判断函数的极值例1

(1)若函数f(x)，g(x)的导函数的图象分别如图(1)、图(2)所示，则f(x)与g(x)极值点的个数分别为(

)考点1利用导数求函数的极值——综合性A．4，1 B．2，2C．4，2 D．2，1A

解析：对于可导函数，函数的极值点满足两个条件：一个是该点的导数为0，另一个是该点左右两侧的导数值异号．由图象可知f(x)的导函数有4个零点，且4个零点的左右两侧的导数值异号，故f(x)有4个极值点；由图象可知g(x)的导函数有两个零点，但只有一个零点的左右两侧的导数值异号，故g(x)有1个极值点．(2)(2022·西安模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(

)A．函数f(x)的极大值是

f(2)，极小值是f(1)B．函数f(x)的极大值是

f(－2)，极小值是

f(1)C．函数f(x)的极大值是

f(2)，极小值是

f(－2)D．函数f(x)的极大值是f(－2)，极小值是

f(2)D

解析：由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，故函数f(x)有极大值f(－2)．又当1＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，故函数f(x)有极小值f(2)．由图象判断函数y＝f(x)的极值的两个关注点(1)由导函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，进而可得函数y＝f(x)的单调性．

求函数f(x)极值的一般解题步骤(1)确定函数的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(5)求出极值．

(2)(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(

)A．a<b B．a>bC．ab<a2 D．ab>a2D

解析：若a＝b，则f(x)＝a(x－a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.依题意，x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，当a<0时，由x>b时，f(x)≤0，画出f(x)的图象如图所示：由图可知b<a，a<0，故ab>a2.当a>0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如图所示：由图可知b>a，a>0，故ab>a2.综上所述，ab>a2成立．根据函数极值情况求参数的2个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：求解后验证根的合理性．

2．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则(

)A．a＝－4，b＝11B．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确

考点2利用导数求函数的最值——综合性

求最值的3种情况(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，f(a)与f(b)中有一个为最大值，另一个为最小值．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点．

列表如下：x(－∞，－1)－1(－1，4)4(4，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

例5

(1)(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(

)A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线考点3极值与最值的综合应用——综合性

令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．故选AC.

求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全．函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值，不能想当然地认为极值点就是最值点．含参数时，要讨论参数的大小．1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(

)A．－13 B．－15C．10 D．15A

解析：对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，所以a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.易知f(x)在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，所以当m∈[－1，1]