吉林省吉林市蛟河市朝鲜族中学校2024届数学高一上期末综合测试模拟试题含解析

吉林省吉林市蛟河市朝鲜族中学校2024届数学高一上期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．已知函数，则的图像大致是（）A. B.C. D.3．已知与分别是函数与的零点，则的值为A. B.C.4 D.54．设向量,,,则A. B.C. D.5．不等式成立x的取值集合为（）A. B.C. D.6．设集合，则A. B.C. D.7．函数，其部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.8．已知则当最小时的值时A.﹣3 B.3C.﹣1 D.19．如图，已知，，共线，且向量，则（）A. B.C. D.10．已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂足．若，则到平面的距离等于A. B.C. D.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为_______；的取值范围是________.12．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤（1）当满足条件_________时，有；（2）当满足条件________时，有．（填所选条件的序号）13．A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.14．已知幂函数的图象过点，则_____________15．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________16．函数的部分图象如图所示，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知如图，在直三棱柱中，，且，是的中点，是的中点，点在直线上.（1）若为中点，求证：平面；（2）证明：18．已知集合，，.若，求实数a的取值范围.19．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？20．（1）求值：；（2）已知，化简求值：21．（1）计算：；（2）已知，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】先判断“”成立时，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.【题目详解】“”成立时，，故“”成立，即“”是“”的充分条件；“”成立时，或，此时推不出“”成立，故“”不是“”的必要条件，故选：A.2、C【解题分析】判断函数的奇偶性，再利用时，函数值的符号即可求解.【题目详解】由，则，所以函数为奇函数，排除B、D.当，则，所以，，所以，排除A.故选：C3、D【解题分析】设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，联立方程得，由中点坐标公式得：，又，故得解【题目详解】解：由，化简得，设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，联立得；，由中点坐标公式得：，所以，故选D【题目点拨】本题考查了反函数、中点坐标公式及函数的零点等知识，属于难题.4、A【解题分析】，由此可推出【题目详解】解：∵，，，∴，，，，故选：A【题目点拨】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查平面向量的模，属于基础题5、B【解题分析】先求出时，不等式的解集，然后根据周期性即可得答案.【题目详解】解：不等式，当时，由可得，又最小正周期为，所以不等式成立的x的取值集合为.故选：B.6、B【解题分析】,选B.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7、C【解题分析】利用图象求出函数的解析式，即可求得的值.【题目详解】由图可知，，函数的最小正周期为，则，所以，，由图可得，因为函数在附近单调递增，故，则，，故，所以，，因此，.故选：C.8、B【解题分析】由题目已知可得：当时，的值最小故选9、D【解题分析】由已知得，再利用向量的线性可得选项.【题目详解】因为，，，三点共线，所以，所以.故选：D.10、C【解题分析】如图，在平面内过点作于点因为为直二面角，，所以，从而可得．又因为，所以面，故的长度就是点到平面的距离在中，因为，所以因为，所以．则在中，因为，所以．因为，所以，故选C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.②.【解题分析】根据题意，直接列式，根据题意求的最小值和最大值，得到的取值范围.【题目详解】由题意可知函数关系式是，由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.故答案为：；12、(1).③⑤；(2).②⑤【解题分析】若m⊂α，α∥β，则m∥β；若m⊥α，α∥β，则m⊥β故答案为（1）③⑤（2）②⑤考点：本题主要考查直线与平面垂直的位置关系点评：熟练掌握直线与平面平行、垂直的判定与性质，基础题13、【解题分析】如图，过点B作与，连，则有平面，从而得，所以即为二面角的平面角在中，，所以,所以锐角即二面角的平面角的大小为答案：点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，然后通过解三角形的方法求得角，解题时要注意所求角的范围14、##【解题分析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解【题目详解】设，由已知得，所以，故答案为：15、4050【解题分析】设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益：当时，最大，最大值为，即当每车辆的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是，故答案为.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是：将租赁公司的月收益表示为关于每辆车的月租金的函数，然后利用二次函数的性质解答.16、##【解题分析】函数的图象与性质，求出、与的值，再利用函数的周期性即可求出答案.【题目详解】解：由图象知，，∴，又由图象可得：，可求得，∴，∴，∴故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】（1）取中点为，连接，，首先说明四边形是平行四边形，即可得，根据线面平行判定定理即可得结果；（2）连接，利用得到，再通过平面得到，进而平面，即可得最后结果.【题目详解】（1）证明：取中点为，连接，，在中，，又所以，，即四边形是平行四边形.故，又平面，平面，所以，平面.（2）证明：连接，在正方形中，，所以，与互余，故，又，，，所以，平面，又平面，故又,所以平面又平面，所以【题目点拨】本题主要考查了线面平行的判定，通过线线垂直线面垂直线面垂直的过程，属于中档题.在证明线面平行中，常见的方法有以下几种：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形得到线线平行；3、构造面面平行等.18、【解题分析】求函数定义域得，解不等式得，进而得，再结合题意，分和两种情况求解即可.【题目详解】解：由，解得，所以，因为，解得，所以所以因为，所以，当时，，解得时，可得，解得：综上可得：实数a的取值范围是19、（1）（2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少【解题分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解【小问1详解】宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，则梯形长的底边，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，，，故海报面积为【小问2详解】直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，海报宽，海报长，故，当且仅当，即，故当海报纸宽为，长为，可