2024届福建省莆田市第七中学高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2024届福建省莆田市第七中学高一数学第一学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在棱长为1的正方体中，三棱锥的体积为（）A. B.C. D.2．已知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（）A. B.3C. D.43．已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A. B.C. D.4．A. B.C.1 D.5．的图像是端点为且分别过和两点的两条射线，如图所示，则的解集为A.B.C.D.6．函数的最大值为（）A. B.C.2 D.37．已知集合，，，则A. B.C. D.8．若m，n表示两条不同直线，α表示平面，则下列命题中真命题是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则9．方程的实数根大约所在的区间是A. B.C. D.10．简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．当时，使成立的x的取值范围为______12．在正方体中，则异面直线与的夹角为_________13．=______14．据资料统计，通过环境整治.某湖泊污染区域的面积与时间t（年）之间存在近似的指数函数关系，若近两年污染区域的面积由降至．则使污染区域的面积继续降至还需要_______年15．已知函数，，则函数的最大值为______.16．函数的零点个数为_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数是定义在R上的奇函数，（1）求实数的值；（2）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围18．已知.（1）若为锐角，求的值.（2）求的值.19．已知函数（，，），其部分图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值.20．（1）已知，求；（2）已知，，，是第三象限角，求的值.21．已知且是上的奇函数，且（1）求的解析式；（2）若不等式对恒成立，求取值范围；（3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】用正方体的体积减去四个三棱锥的体积【题目详解】由，故选：A2、B【解题分析】根据，得到，从而得到，进而得到，再利用“1”的代换以及基本不等式求解.【题目详解】解：因为，所以，又第二象限角的终边上有异于原点的两点，，所以，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B3、A【解题分析】，故选A.4、A【解题分析】由题意可得：本题选择A选项.5、D【解题分析】作出g(x)=图象，它与f(x)的图象交点为和，由图象可得6、B【解题分析】先利用，得；再用换元法结合二次函数求函数最值.【题目详解】，，当时取最大值，.故选:B【题目点拨】易错点点睛：注意的限制条件.7、D【解题分析】本题选择D选项.8、A【解题分析】对于A，因为垂直于同一平面的两条直线相互平行，故A正确；对于B，如果一条直线平行于一个平面，那么平行于已知直线的直线与该平面的位置关系有平行或在平面内，故B错；对于C，因同平行于一个平面的两条直线异面、相交或平行，故C错；对于D，与一个平面的平行直线垂直的直线与已知平面是平行、相交或在面内，故D错，选A.9、C【解题分析】方程的根转化为函数的零点，判断函数的连续性以及单调性，然后利用零点存在性定理推出结果即可【题目详解】方程的根就是的零点，函数是连续函数，是增函数，又，，所以，方程根属于故选C【题目点拨】本题考查函数零点存在性定理的应用，考查计算能力10、B【解题分析】根据初相定义直接可得.【题目详解】由初相定义可知，当时的相位称为初相，所以，函数的初相为.故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据正切函数的图象，进行求解即可【题目详解】由正切函数的图象知，当时，若，则，即实数x的取值范围是，故答案为【题目点拨】本题主要考查正切函数的应用，利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键12、【解题分析】先证明，可得或其补角即为异面直线与所成的角，连接，在中求即可.【题目详解】在正方体中，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成的角，连接，由为正方体可得是等边三角形，所以.故答案为：【题目点拨】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角13、【解题分析】由题意结合指数的运算法则和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【题目详解】原式=3+-2=.故答案为点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14、2【解题分析】根据已知条件，利用近两年污染区域的面积由降至，求出指数函数关系的底数，再代入求得污染区域将至还需要的年数.【题目详解】设相隔为t年的两个年份湖泊污染区域的面积为和，则可设由题设知，，，，即，解得，假设需要x年能将至，即，，，解得所以使污染区域的面积继续降至还需要2年.故答案为：215、##【解题分析】根据分段函数的定义，化简后分别求每段上函数的最值，比较即可得出函数最大值.【题目详解】当时，即或，解得或，此时，当时，即时，，综上，当时，，故答案为：16、3【解题分析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.【题目详解】作出函数图象，如下，由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1（2）【解题分析】(1)利用函数为奇函数的定义即可得到m值；（2）先判断出函数f(x)在R上单调递增，利用奇偶性和单调性将不等式转为恒成立，然后变量分离，转为求函数最值问题，最后解不等式即可得a的范围.【题目详解】解：（1）方法1：因为是定义在R上的奇函数，所以，即，即，即方法2：因为是定义在R上的奇函数，所以，即，即，检验符合要求（2），任取，则，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数注：此处交代单调性即可，可不证明因为，且是奇函数所以，因为在R上单调递增，所以，即对任意都成立，由于=，其中，所以，即最小值3所以，即，解得，故，即.【题目点拨】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式恒成立问题，常用方法为利用变量分离转为函数最值问题，考查学生的计算能力和转化能力,属于中档题.18、（1）（2）【解题分析】(1)根据题意和求得，结合两角和的余弦公式计算即可；(2)根据题意和可得，利用二倍角的正切公式求出，结合两角和的正切公式计算即可.【小问1详解】由，为锐角，，得，∴；【小问2详解】由得，则，∴19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解题分析】【试题分析】（1）根据图像的最高点求得,根据函数图像的零点和最小值位置可知函数的四分之一周期为，由此求得，代入函数上一个点，可求得的值.（2）利用同角三角函数关系和二倍角公式，求得的值，代入所求并计算得结果.【试题解析】(Ⅰ)由图可知，图像过点(Ⅱ)，且20、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据诱导公式化简函数后代入求解即可；（2）根据同角三角函数的基本关系求出，利用两角差的余弦公式求解即可.【题目详解】（1）（2）由，，得又由，，得所以.21、（1）；（2）；（3）存在，正整数或2.【解题分析】（1）根据，，即可求出的值，从而可求函数的解析式；（2）根据函数的奇偶性和单调性由题意可得到恒成立，然后通过分类讨论，根据二次不等式恒成立问题的解决方法即可求出答案；（3）设等分点的横坐标为，.首先根据，可得到函数的图象关于点对称，从而可得到，；进而可求出；再根据，从而只需求即可.【小问1详解】∵是上的奇函