2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高一下学期期末数学试题一、单选题1．的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的诱导公式与特殊角的三角函数值求解即可.【详解】.故选：B.2．已知i为虚数单位，复数，则它的共轭复数为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用复数的四则运算与共轭复数的概念即可得解.【详解】因为，所以.故选：A.3．如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，，即可得到平面图形中，的值，即可求出四边形的面积.【详解】在直观图中为等腰直角三角形，所以，所以，又是的中点，所以，所以在平面图形中，，所以.

故选：A4．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数的基本关系式与诱导公式即可得解.【详解】因为，所以，则，所以，所以.故选：C.5．已知的外接圆半径为1，，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，则.故选：D.6．已知向量、满足，，，设与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件，求出及，然后利用向量的夹角公式即可求解.【详解】解：因为，，，所以，，所以，故选：C.7．函数在一个周期内的图像是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用正切函数的周期及单调区间排除错误选项，即可得到正确结果.【详解】函数的最小正周期，∵选项D的最小正周期，D错误；令，解得，故的单调递增区间为，取，则的单调递增区间为，故A正确，B、C错误；故选：A.8．龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm，盆口直径为40cm，盆底直径为20cm．往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】结合题意，利用平行线分线段成比例求得，从而利用圆台的体积公式即可得解.【详解】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长与交于点.

根据题意，得.设，有，即，解得，所以盆内水的体积为.故选：B.二、多选题9．已知为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则的虚部为4D．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合是以为圆心、以为半径的圆【答案】AD【分析】根据复数的乘方判断A，根据复数的模判断B，根据复数的乘法化简，再由复数的概念判断C，根据复数的几何意义判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，所以的虚部为，故C错误；对于D：令，，因为，所以，则，所以复数在复平面内对应点的集合是以为圆心、以为半径的圆，故D正确；故选：AD10．已知为点，为直线，为平面，则下列命题成立的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，且，，则D．若，，，则【答案】BC【分析】对于AD，利用线面的位置关系直观想象即可判断；对于B，利用线面与面面平行与垂直的性质与判定定理判断即可；对于C，利用平面的性质即可判断.【详解】对于A，若，则直线可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，因为，所以.又因为，所以内存在一条直线，所以.

由，从而得到，故B正确；对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.因为，，且，则，故C正确；对于D，由，如下图示，此时，故D错误.

故选：BC.11．在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，符合条件的只有一个，则【答案】ABC【分析】根据正弦定理判断A、D，利用正弦定理将边化角，再结合诱导公式及两角和的正弦公式即可判断B，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断C.【详解】对于A：在三角形中，由可得，根据正弦定理可得，故A正确；对于B：因为，由正弦定理可得，所以，由在三角形中，所以，又，所以，故B正确；对于C：由、分别为向量、方向上的单位向量，根据平行四边形法则向量平分角，又，所以，所以，故C正确；对于D：若，即，此时符合条件的有两个，故D错误．故选：ABC．12．如图，正方体的棱长为1，是正方形的中心，是的中点，则以下结论正确的是（

）

A．平面 B．平面平面C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为【答案】ABC【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理即可得解；对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理即可得解；对于C，利用三棱锥的体积公式即可得解；对于D，利用异面直线的定义与余弦定理即可得解.【详解】对于，设与交于点，连接，如图，

则平面，又平面，所以，又平面，所以平面，故A正确；对于，连接，因为分别是的中点，则，又平面，平面，故平面，易得，又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面，故B正确；对于C，因为是的中点，所以到底面的距离为，则，故C正确；对于D，因为，所以异面直线与所成的角为或其补角，连接，则，在中，所以异面直线与所成的角不等于，故错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题C选项解决的关键是利用中点的性质得到到底面的距离，从而利用等体积法即可得解.三、填空题13．若，则．【答案】【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系运算求解即可．【详解】∵，∴，∴，故答案为：．14．已知复数，（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为，，则．【答案】【分析】利用复数的几何意义得到的坐标，从而得到，由此利用向量的数量积运算即可得解.【详解】因为复数在复平面上对应的点分别为，所以，则，所以.故答案为：.15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为.【答案】【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，由正弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得.故答案为：16．已知四棱锥的底面四边形是边长为的正方形，且平面，，点M为线段上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的体积最小时，的长为．【答案】2【分析】连接MA，由题意知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，然后设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点，利用几何体的结构特征分析出当O与重合时，三棱锥的外接球的体积最小，然后设CM的中点为N，连接，利用三角形相似求得，即可求得CM的长【详解】因为平面，平面，所以，连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的体积最小时，四棱锥外接球的半径最小，设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点，当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，连接OC，在中，，

当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的体积最小时，O与重合，.设CM的中点为N，连接，易知，则，所以，解得，所以，

故答案为：2四、解答题17．已知复数，．(1)若复数为纯虚数，求实数的值；(2)当时，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可；（2）首先求出，再根据复数代数形式的运算法则计算可得.【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以，解得（2）当时，所以.18．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.(1)用向量的方法证明；(2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证；（2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得.【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.（方法一）由题意可知，设，则，，，，得，，所以，故，即.（方法二）由题意可知，，，设，则，得，得，，所以，故，即.（2）由题意得，则，设，则，，由（1）得，，所以，由，得，当，即时，.故的最大值为.19．如图，在正六棱锥中，为底面中心，，．

(1)若，分别是棱，的中点，证明：平面；(2)若该正六棱锥的顶点都在球的表面上，求球的表面积和体积．【答案】(1)证明见解析(2)，【分析】（1）依题意可得，再由正六边形的性质得到，即可得证；（2）依题意可知球心一定在直线上，设球的半径为，利用勾股定理求出，在根据球的表面积与体积公式计算可得.【详解】（1）因为，分别是棱，的中点，所以，在正六边形中，，所以，所以，又平面，平面，所以平面（2）依题意可知球心一定在直线上，设球的半径为，则，又，所以，解得，所以球的表面积，体积.

20．已知的内角，，所对的边分别是，，，且．(1)求角；(2)若，求周长的最小值，并求出此时的面积．【答案】(1)(2)的周长的最小值为，【分析】（1）将切化弦，再由正弦定理将边化角，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，即可求出周长的最小值，与此时三角形的面积.【详解】（1）因为，即，由正弦定理可得，因为，，所以，所以，因为，所以.（2）由余弦定理，即，所以，所以，解得或（舍去），当且仅当时取等号，所以，即的周长的最小值为，此时21．已知向量，，函数，．(1)求函数的最小正周期、值域；(2)对任意实数，，定义，设，，a为大于0的常数，若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用向量的数量积运算与辅助角公式化简，从而利用三角函数的性质即可得解；（2）将问题转化为，从而结合的定义，分类讨论求得的值域，由此利用数轴法即可得解.【详解】（1）因为，，函数，所以，所以函数的最小正周期为，因为，所以，所以，故函数的值域为.（2）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，因为，当时，则，即，因为，则，即，解得，则；同理当时，则，，综上：的值域为，又的值域为，所以，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题解决的关键有二，一是将问题转化为与的值域之间的关系，二是理解新定义的含义，结合三角函数的性质，分类讨论求得的值域，从而得解.22．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且．

(1)已知点在上，且，证明：平面平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取的中点，连接，取的中点，连接，分析可知点到平面的距离等于点到平面的距离，证明出平面，求出的长，即为所求.【详解】（1）由且，可知是等腰直角三角形，且，又因为四边形为直角梯形，