2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数z满足，则（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【分析】根据共轭复数将复数z表示出来，再通过复数平面与复数的模的关系即可求出答案.【详解】由题意，复数z满足，则故选:B．2．已知角的终边经过点，则下列各式一定为正的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得在第四象限，根据各象限三角函数值的正负情况判断即可.【详解】因为角终边经过点，所以在第四象限，所以，，，，故C正确．故选：C．3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理结合特殊角的三角函数值求解.【详解】在中，，即，由余弦定理可得，由于，故．故选：A．4．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由，然后结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为，则．故选：D．5．已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．（【答案】C【分析】由向量垂直的坐标表示求解，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】由，，，得，解得．所以，，所以，，所以在上的投影向量为故选：C．6．已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若m，n是异面直线，且，，，则【答案】A【分析】由线面平行，线面垂直，面面垂直的性质和判定分析判断即可【详解】对于A，因为，，所以，所以A正确，对于B，当，时，与可能平行，可能相交不垂直，也可能垂直，所以B错误，对于C，当，时，与可能垂直，可能平行，可能在平面内，所以C错误，对于D，当m，n是异面直线，且，，时，与平面可能平行，可能相交，所以D错误，故选：A7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】由题设作示意图，应用正弦定理求B，C两点间的距离即可.【详解】由题设可得如下示意图，且，即，由图知：，则，又，所以，则海里.故选：A8．已知函数，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用辅助角公式化简函数解析式，再由函数的图像关于轴对称求出的值，最后判断的最小值.【详解】，则，的图像关于轴对称，，，则，，当时，取得最小值.故选：C．二、多选题9．下列关于复数的说法正确的是（

）A．任意两个虚数都不能比较大小 B．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数C．已知，，则 D．【答案】AC【分析】根据复数的概念可判断A正确；根据复平面的概念可判断B不正确；根据复数的乘法运算和复数的模长公式计算可判断C正确；根据虚数单位的概念计算可判断D不正确．【详解】对于A，任意两个虚数都不能比较大小，A正确；对于B，在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数，不正确，因为原点在虚轴上，原点表示实数0，B不正确；对于C，设，，则，，，C正确；对于D，，D不正确．故选：AC．10．在中，，，，则（

）A． B．C．的面积为 D．外接圆的直径是【答案】AB【分析】利用余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系，结合余弦定理及三角形的面积公式，再利用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知，，故A正确；在中，，由余弦定理得，解得，故B正确；，故C错误；设外接圆半径为R，由正弦定理得，故D错误．故选：AB．11．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，该图象关于原点对称，所以，即，所以的值可以是，．故选：AD．12．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥．设CD＝2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点．下列说法正确的是（

）A．存在某个位置，使B．存在某个位置，使C．当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为D．当AB＝AD时，CM+FM的最小值为【答案】ACD【分析】利用面面垂直的性质定理即可判断A；先假设存在，利用线面垂直的判定定理可得平面ABD，可得，即△ACD是以CD为斜边的直角三角形，通过计算发现，互相矛盾，即可判断B；由三棱锥体积取得最大值时知面面垂直，得出线面垂直，即可求出线面角，即可判断C；由侧面展开图及余弦定理可判断D【详解】解：对于A：存在平面平面，使得，证明如下：因为平面平面，平面平面，，平面，则平面，因为平面，所以，故存在平面平面，使，故A正确，对于B：若，又平面，则平面ABD，因为平面ABD，则，则是以CD为斜边的直角三角形，因为，所以，，又由题意知，故不存在某个位置，使，故B错误；对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面BCD，即AE是三棱锥的高，又，平面平面BCD＝BC，平面BCD，所以平面ABC，所以∠DAC是直线AD与平面ABC所成的角，所以，故C正确；对于D：当时,因为为的中点，所以，则，又因为的中点，所以，又，所以，所以，如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，则当三点共线时，最小，即的最小值为，在中，，则，所以在中，由余弦定理得，所以的最小值为，故D正确，故选：ACD．三、填空题13．已知向量，满足，，，则与的夹角为．【答案】【分析】先设与的夹角为，再根据由向量夹角公式即可求解．【详解】设与的夹角为，则，又，所以与的夹角为．故答案为：．14．已知，则．【答案】【分析】利用二倍角公式结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为，则，.故答案为：.15．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，某数学兴趣小组探究该类三角形时，得出以下四个结论，甲：；乙：；丙：；丁：．则上述四个论断中恒成立的是．【答案】丙【分析】由a，b，c的大小和B，C的大小不确定，判断甲乙；根据正弦函数的单调性判断丙；由差角公式结合B，C的大小判断丁.【详解】因为是锐角三角形，但不确定a，b，c的大小，也不确定B，C的大小，故甲，乙均错误；由题意得且B，，所以，因为在上单调递增，所以，丙正确；可能大于0，也可能等于0，可能小于0，即与的大小关系不确定，丁错误．故答案为：丙16．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为．【答案】【分析】求出球心到两截面圆的距离，再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况，得出半径，进而得出球的体积.【详解】设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4，可得球心到两截面圆的距离分别为，．当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，所以，解得或（舍）；当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解．综上，，故该球的体积为．故答案为：四、解答题17．已知向量，的夹角为，且，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)3(2)【分析】（1）由向量数量积的运算律及定义计算；（2）把模平方转化为数量积计算．【详解】（1）因为向量，的夹角为，且，，所以．所以．（2）．18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，交于点．

(1)求证：平面平面；(2)设是棱上一点，过作，垂足为，若平面平面，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证得结果；（2）由面面平行的性质定理得及平行线对应线段成比例得出结果.【详解】（1）证明：因为底面，平面，故，又，，，平面，故平面

又平面，故平面平面．（2）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，

因为，且，所以

在中，由，，得，

即．19．已知角，，角和的终边分别与单位圆交于，两点．

(1)若，求的值；(2)若，点的横坐标为，求的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由，得，再结合的范围可得，然后代入式子利用诱导公式化简即可；（2）对化简可得，由点的横坐标为，结合任意角的三角函灵敏的定义可求出的值，再利用两角和与差的正余弦公式可求出，从而可求出的值．【详解】（1）由，得，又，，所以，所以，（2）由，得，，又，所以，则

因为点的横坐标为，所以，，

所以20．已知的内角，，的对边分别为，，，．(1)求角；(2)若，，求的周长．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由正弦定理边角互化、两角和的正弦公式以及三角形内角的关系化简计算，从而得角的值；（2）由正弦定理计算的值，根据结合两角和的正弦公式计算，再利用正弦定理计算的值，从而得的周长.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，即，因为，所以，因为，则，故．因为，所以．（2）根据正弦定理有，所以．因为，所以，所以，所以，，所以的周长为．21．已知向量，，设函数.(1)求的单调递减区间；(2)若函数在区间上的最大值为6，求实数a的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据向量的数量积运算及恒等变换可求的表达式，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由已知可求，利用换元，把问题转化为二次函数在给定区间的最值问题，通过对称轴与区间的关系分类讨论求解即可．【详解】（1）因为，，所以由得，所以的单调递减区间为（2），令，因为，所以，且，所以，当即时，当时有最大值，此时，解得不合题意；当即，当时有最大值，此时，解得符合题意；当即，当时有最大值，此时，解得符合题意；综上，的值为或．22．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝PD＝2，，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD．(1)求证：AC⊥平面POB；(2)设平面PAB与平面PCD的交线为l．①求证：；②求l与平面PAC所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②【分析】（1）由已知线面垂直得线线垂直，再在底面中证明AC⊥BO，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直；（2）①由线面平行判定定理证明线面平行，然后由性质定理得线线平行；②转化求与平面所成的角，用体积法求得B到平面PAC的距离，再根据线面角的定义得结论．【详解】（1）证明：在中，，在中，，则∠ACB＝∠ABO，于是，所以AC⊥BO．因为PO⊥平面ABCD，AC平面ABCD，则AC⊥PO．又，PO，OB平面POB，所以A