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文档简介

(陕西省西安市第一中学题 设abc是正实数.证明 (2b+c+a)2(2a+b+c)2a2+(b+c)

+(2b+c+a) 22b+(c+ 2

同理,2b2+(c+a) 34 (2c+a+b) (2c+a+b)

2

+(a+b)

4+ 2c2+(a+b (2003美国数学奥林匹克题2abc是正实数,a+b

≤112+12(a+b+

=8=4c3.证明a2+ b2+

a=b=c,上式等号成立,当有四个字母时呢?我们有2a2+b+c22b2+c+a2 abcd都是正实数,c2+ (3a+b+c+d) (3b+c+d+a)2c2+(a+b) 3a2+(b+c+d)2+3b2+(c+d+a)2(2届中国北方数学邀请赛21的改编a+b+c=s

(3c+d+a+b) (3d+a+b+c)3c2+(d+a+b)2+3d2+(a+b+c) :s=a+b+c+d(2a+b+c)2a2+(b+c)

(a+s)=2a2+(s-

(3a+b+c+d)3a2+(b+c+d)a2+2as+=3a2-2as+

(2a+s)= 3a2+(s-a)= = a2+2as+=2

4a2+4as+ a2-2as+

4a2-2as+ =1=31 a-4

3+ ≤1+3

=1+8a 131

3 (3b+c+d+a) 8 4

)2≤1+s 3b

c+d+收稿日期:2007-07- 3c+d+a3c2+(d+a+b)

8cs(3d+a+b+c)2≤8

3d2+(a+b+c)

1+s a2+ i(n-1)a2+(s-a)i

a2+-i2sa+≤4+8(a+b+c+

=12=4

= a2+ n i 当且仅当a=b=c=d上式等号

ai2

n+2 2 n-12a+(s-2a+(s- n-1

= ai n·n·ia2i

+n n2 n+a2+2a2+(b+

2=a2+2(a+b+c2) 2+a2+=3a2-2as+≤112≤11

2

2

=11n

ai

ns (n-1)n2n2 n-1(n-1)3=13

a2

3+ +3+ 2 a-3+=11

2sa3

23

= n+1

2 s 2

(n-1)a2

+2

n+1n

2(n-1)s≤311≤3

3+2

故 a2+∑(n-1)a2i+(s-a)∑2 i=9

2=14+3

≤n+1+

i=

(n-1)n同理

b2+

≤14

=n+1+(n-1)si1)2b+c+ )c2+ 3 =n+1 =n+12c2+(a+b) 34+ n- n-≤14 +14+3b+14+

,得到命 设a1,a2,⋯,an∈R+,n≥3,n=4+a+b+c=s

N,s

aii=a=b=c,上式等号成立一般地,我们提出

(1n3,4,∑k [s+(n-2)a∑k 2≤4(n-1)a1,a2,⋯,an∈R+,n≥3n∈N

k=

(n-1)ak+(s-ak s=∑ak,

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