图像压缩编码方法第7章

第7章基于零树的图像压缩编码7.1引言7.2树结构及其特性7.3基于小波的零树嵌入式编码算法研究7.4一种易于硬件实现的高速优质的零树嵌入式编码算法7.5基于图像压缩系统构造最优的双正交小波滤波器设计

7.1引言

自从20世纪80年代中期以来，小波变换作为一种新颖的数学分析工具，迅速地应用到信号处理等许多领域，并得到广泛深入的发展。在图像编码领域里，迄今为止，许多学者已经提出了大量的不同量化方法和措施。基于小波的图像压缩算法和图像编码按照量化形式可以分为三大类：标量量化技术、矢量量化技术、零树量化技术。前两类存在着明显的缺陷：标量量化技术计算复杂，压缩效率非常低，往往不采用此方法。矢量量化技术编码时要预先训练，寻找过程比较复杂，难以寻找到最佳的量化，计算量大，适应范围比较狭窄，应用有一定的局限性。即使结合小波变换提高压缩效率，也没有充分地挖掘出小波分解所具有高压缩比的潜力，因此，编码效率不高，恢复图像效果不佳。零树量化技术是目前一类较好的图像压缩方法，典型代表有Shapiro的零树嵌入式编码、Said和Pearlman的分层树集合分割排序编码和ZixiangXiong等人的空间-频率量化的图像编码。这些方法不仅实现起来较为简单，而且能取得比较令人满意的图像压缩率和解码质量，从而成为大多数图像压缩编码系统的首选方案。图像的零树方式编码实质上与一个实数的二进制表示类似，它是一个二进制的判断，以零或全灰区分出一个图像。嵌入式编码把一幅变成多幅比特平面，按其重要性大小进行排序。零树方式编码可以在任何时刻结束，并提供图像的最好表示。分形图像压缩是近十年来新兴的一种图像压缩方法，其压缩率可以达到成千上万倍，但是对给定图像编码，如何找到一个IFS系统，使IFS系统的吸引子完全逼近原始图像，至今没有解答，究其原因有二：一是其他图像的分割仍然是基于图像的灰度信息的，而不是直接考虑图像景物的分形特点；二是分形仿射变换的寻找仍是基于最小均方误差意义上的图像块的匹配，而不是由分形图案反向寻找分形过程。因此，分形图像压缩难以实现高压缩比、高质量的图像编码，甚至更是无法实现图像的无损压缩。零树技术，是指在小波变换中利用其多分辨率分析和不同分解级间系数之间的自相似度，形成一个塔形结构。因此，最直接和有效的方法是就是采用树结构编码各级小波系数。零树技术是通过引入零树的概念而有效地对为数众多的零系数和量化幅度值为零的系数实现编码。零树编码的高效性就是建立在小波变换的系数自相似性基础上的，是对自相似性的巧妙利用。与分形编码相比，小波变换的自相似在零树技术中体现得更明确和更具体。零树编码对自相似特性的利用更合理、更有效。 7.2树结构及其特性

在Shapiro的零树嵌入式编码、Said和Pearlman的分层树集合分割排序编码和ZixiangXiong等人的空间-频率量化的图像编码中，零树定义有差异，但由于图像信号小波变换像一个塔形，正好构成一个树结构，即使小波变换系数是不相关的，小波变换后图像仍保留了图像的空间局部自相似性。随着尺度增大，能量越来越集中在低频小波系数，特别是零树的引入，使小波变换在图像压缩中编码效率得到很大的提高。在图像信号小波变换后，由不同频带、位于同一空间位置的小波系数共同构成了一种树形结构，其关系是：如果树根是在LLM层上的节点(i，j)，就拥有三个孩子，它们分别为LHM层上的节点(i，j)、HLM层上的节点(i，j)和HHM层上的节点(i，j)；否则，树中的每个节点(i，j)拥有相同方向、比它低一级尺度的频带的4个相邻孩子：节点分别为(2i，2j)、(2i+1，2j)、(2i，2j+1)和(2i+1，2j+1)，依此类推。这样除了最低尺度频带上的节点外，其他节点都有孩子。用数学语言描述树：(7-1)式(7-1)中，Tree()表示树，i和j表示树根在子图像坐标，m表示子图像的尺度，n表示子图像方向(LL、HL、LH和HH)，见图7.1。图7.1树结构这种树有以下特性：

(1)若节点(i1，j1，m1，n1)是节点(i2，j2，m2，n2)的后代，则

(2)若节点(i1，j1，m1，n1)不是节点(i2，j2，m2，n2)的后代，则

(3)若任两棵树没有从属关系，则它们相交为空集。

(4)任意个节点的后代树的并集都属于这节点树。

正由于树结构这些特性，零树技术的编码小波系数的位置才不能发生混乱。(7-3)(7-2)

7.3基于小波的零树嵌入式编码算法研究

一般零树嵌入式编码大体细分为三种方式：①重要系数不细分；②重要系数细分为上、下半区；③重要系数细分区域。本章从树结构角度分析零树嵌入式编码的图像结构，应用这种结构编码，可非常有效而简单地反映量化系数的位置信息。本章还分析上述三种编码方法的优缺点，寻找最佳的编码方案。最后，通过实验验证了分析所得结论的正确性。

1.树结构的分析

如果x<T，一个小波系数x被称为相对于阈值T是不重要的。零树是基于这样的假设：如果相对于阈值T，在低分辨率层中的小波系数是不重要的，那么在同样方向上相应空间位置高分辨率层中的小波系数相对于阈值T很可能是不重要的。虽然这种假设没有经过严格的证明，但从统计角度来看，这种假设是成立的。零树根用一个符号编码，以表示在较高分辨率层中小波系数的不重要性是可以预测的。

引入零树的概念，可以将小波系数分为三类：零树根、孤立零点(小波系数是不重要的，却有重要的后代)、重要系数，如图7.2所示。图7.2小波系数零树编码流程图1)固定的树结构

每次扫描主表时，虽然主表的一些节点系数值大小发生变化，由大变小，但是主表的节点总数没有变，最大树个数也没有变，最大树结构也没有变，就是Tree(i，j，M，LL)保持不变，即扫描树。

每次扫描主表时，都是从LLM层的树根开始的，根据阈值大小与扫描树中每个节点系数的比较，将扫描树划分许多的重要系数、孤立零点和零树。假设图像分为M层，其中一棵扫描树结构如图7.3所示。如何编码呢？用一个例子来说明，图像分四层，其中一棵扫描树扫描一次，判断结果如图7.4所示。图7.3扫描树结构图7.4扫描树判断结果扫描树中有256个节点，用了24个符号就表示，分别用P表示重要系数，TR表示零树，IZ表示孤立零点。编码时，从树根开始，从上往下。先左后右，编码为：

P(1)→IZ(2)→IZ(5)→P(9)→IZ(17)→IZ(18)→IZ(19)→IZ(20)→TR(10)→TR(11)→TR(12)→TR(6)→TR(7)→IZ(8)→IZ(13)→P(21)→IZ(22)→IZ(23)→IZ(24)→TR(14)→TR(15)→TR(16)→TR(3)→TR(4)

若从根开始，从左往右，按层次编码：

P(1)→IZ(2)→TR(3)→TR(4)→IZ(5)→TR(6)→TR(7)→IZ(8)→P(9)

→TR(10)→TR(11)→TR(12)→IZ(13)→TR(14)→TR(15)→TR(16)→IZ(17)

→IZ(18)→IZ(19)→IZ(20)→P(21)→IZ(22)→IZ(23)→IZ(24)

虽然它们编码的结果各异，但是它们表示的是同一棵扫描树。由此可见，知道编码顺序，就可以推测出同样结果。依此类推，一幅重要图，不管按何顺序编码，但是表示结果一样。因此，扫描主表时可以不按树结构扫描。一般而言，根据子图的能量大小规律，按扫描必须从最低的精度级逐渐向高精度级进行，重要系数尽可能出现多，父带先于子带扫描，当前子带中的所有系数扫描完后才能进入下一子带，重要图编码的扫描顺序如图7.5所示，这样保证了编码任意时刻停止时重要系数尽可能出现多。变树结构扫描顺序也是一样。图7.5重要图编码系数扫描顺序2)变树结构

随着扫描主表次数的增加，不仅主表的一些节点系数发生很大变化，由大值变为零，而且主表的节点数减小，因此，扫描树结构发生变化，由大变小，大小不一，由一棵变多棵，树根由低频带向高频带移动。

若出现过重要系数的节点是扫描树根，则它和那些与它可以用重要系数(以前为重要系数)相联成一块的后代，从主表中消除掉，下次扫描主表不再出现。这时，一棵扫描树变多棵。这些新扫描树满足两个要求：①这些扫描树包含以前扫描树剩余节点；②这些扫描树是局部最大树组合。因此，扫描树是一个积累过程，而扫描树根是一个迭代过程。

继续用上一个例子来说明变树结构的过程，假设图7.4是一棵扫描树的一次扫描结果，3、4、5、6、7和8点没有出现重要系数，而2点以前出现重要系数。在主表中1和2点消除，新扫描树根为3、4、5、6、7和8点，由一棵树分解成六棵树，这时节点数由256个变成254个。新的重要图如图7.6所示。图7.6变数结构的重要图2.三种零树嵌入式编码算法

1)重要系数细分为上、下半区

在编码过程中，始终保持着两组码流，一组码流是对重要图编码的结果，另一组是对重要系数细分的结果。假设阈值为Ti，若重要系数位于［Ti，1.5Ti)，则用符号“0”表示，否则用“1”表示。在剩余值图中重要系数的节点值，是这个重要系数处于某区域的中值减去它的绝对值，再乘上它的符号。由于重要系数不细分和重要系数细分为上、下半区方法采用固定的树结构为扫描树，它们的差别不大，因此，它们的算法差别小。重要系数细分为上、下半区的零树嵌入式编码算法步骤如下：

(1)确定初始阈值T，使得T=2m，且m=|lb(max{|xi，j|})|。

(2)将系数节点按LLM、HLM、LHM、HHM、HLM－1、LHM－1、HHM－1、…、HL1、LH1和HH1顺序扫描进主表。

(3)将主表进行扫描，将表中节点依据阈值判定为重要系数、孤立零点、零树根和零树根的后代。

(4)将主表中重要系数的绝对值转移到辅助表中，同时按一定顺序对重要图进行编码。(i，j)(5)对辅助表进行扫描，判断重要系数为“0”还是“1”。如果重要系数的绝对值位于［T，1.5T)，则用“0”表示，否则用“1”表示。

(6)在剩余值图的零树中元素或孤立零点的系数保持主表的值；而重要系数的节点值发生很大变化。如果重要系数在辅助表中被判断为“0”，则这个节点的值为

xi，j=sign(xi，j)(|xi，j|－1.25T)

否则

xi，j=sign(xi，j)(|xi，j|－1.75T)

(7)把剩余值图扫描进主表中，将阈值降低一半，即T=T/2。若T≥1，转至步骤(3)，否则，结束。2)重要系数不细分

在编码过程中，始终只保持对重要图的一种编码；在剩余值图中，重要系数的节点值，变为阈值减去重要系数的绝对值，再添加这个重要系数的符号。

重要系数不细分的编码算法步骤，在重要系数细分为上、下半区编码算法的基础上，稍微修改就可得到：将步骤(5)取消，将步骤(4)和步骤(6)改为步骤(4)按一定顺序对重要图进行编码。步骤(6)在剩余值图的零树中元素或孤立零点的系数保持主表的值；而重要系数的节点值发生很大变化，这个节点值为xi，j=sign(xi，j)(|xi，j|－T)。这两种算法相比，主表的节点个数相同，但是主表的节点系数不同。在重要系数细分为上、下半区编码中，对重要系数量化，使剩余值的变化范围在［0，0.25T)区间；而重要系数不细分编码中，没有对重要系数量化，它的剩余值的变化范围在［0，T)区间。因此，在剩余值图的节点系数的绝对值平均下降率方面，重要系数细分为上、下半区编码比重要系数不细分编码快。这样，造成重要系数不细分编码出现的重要系数次数和零树棵数比重要系数细分为上、下半区编码多。同样，重要系数不细分编码花费字节数比重要系数细分为上、下半区编码多。系数不细分编码比较简单，但是编码效率不高。3)重要系数细分为多区域法

在编码过程中，始终保持着两组码流；一组码流是对重要图编码的结果，另一组是对重要系数细分编码，细分区间不是两个区间，而是多区间。若出现过重要系数的节点是扫描树根，则它和那些与它可以用重要系数(以前为重要系数)相联成一块的后代，从主表中消除掉，下次扫描主表不再出现。在剩余值图中，那些没有消除掉的重要系数节点值为零，这样不会影响新零树出现。重要系数细分为多区域零树嵌入式编码算法步骤如下：

(1)确定初始阈值T和初始分化区间n，使T=2m，且

，n=2m－2。(2)将系数节点按LLM、HLM、LHM、HHM、HLM－1、LHM－1、HHM－1、…HL1、LH1和HH1顺序扫描进主表。

(3)将主表进行扫描，将表中节点依据阈值判定为重要系数、孤立零点、零树根和零树根的后代。

(4)将主表中重要系数的绝对值转移到辅助表中，同时按一定顺序对重要图进行编码，这幅重要图是正、负重要系数、孤立零点和零树根构成。

(5)把区间［0，T)均匀分成n个相等距离区域，然后对辅助表进行扫描，判断重要系数的绝对值处在第k个区域范围内。(6)在剩余值图的零树中元素或孤立零点的系数保持主表的值，若出现过重要系数的节点是扫描树根，则它和那些与它可以用重要系数(以前为重要系数)相联成一块的后代，从剩余值图消除掉，下次扫描主表不再出现，否则重要系数的节点值为零。

(7)把剩余值图扫描进主表中，将阈值降低一半，即T=T/2。若区间个数n≥2，则n=n/2，否则n=1。若T≥1，转至步骤(3)，否则，结束。这种编码比较复杂，一方面，判断重要系数处在那个区域，另一方面，判断重要系数节点在下次扫描是为零还是不再出现，甚至许多重要系数(包括以前的重要系数)的节点消除。因此，重要系数的节点只会出现一次重要系数，主表的节点数随扫描次数增加会成指数减小，而在重要系数细分为上、下半区编码中，重要系数的节点有可能出现多次重要系数，主表的节点个数保持不变。重要系数细分为多区域法在这三种编码中效率最高的。

3.实验结果

我们所使用的标准图像为Lena和Barbara均为512×512×8bits的灰度图像，其中，采用双正交小波基9/7，塔式分解为6级，在图像边界处采用了“对折”式扩展。运用这三种编码，实验结果列于表7.1和表7.2。为了提高压缩比，把正、负重要系数、孤立零点和零树根等这四种类编码符在编码过程中采用算术编码。表7.1Lena图像实验结果表7.2Barbara图像实验结果由表7.1和表7.2可以看出总的趋势：这三种方法在压缩比较大时，峰值信噪比相差不大，随着压缩比减小，峰值信噪比相差越来越大；重要系数不细分编码效果最差，重要系数细分为上、下半区编码效果适中，重要系数细分为多区域编码最佳。从图7.7和图7.8的视觉上也验证此结论。

我们从树结构角度分析了零树嵌入式编码始终贯串的一种结构为扫描树，可以看出固定的树结构和变树结构的优缺点。我们阐述这常用的三种方法的利弊，得出最佳的编码方法。通过实验验证了分析所得的结论的正确性。图7.7压缩比为16的各种方法的零树嵌入式编码(Lena图)图7.8压缩比为16的各种方法的零树嵌入式编码(Barbara图)7.4一种易于硬件实现的高速优质的

零树嵌入式编码算法

1.基于提升方案构造双正交9/7小波

基于提升方案构造双正交小波基方法和基于提升方案构造双正交9/7小波，我们在这里只引用一下。双正交9/7小波滤波器组分解部分通过4个提升环节来完成，如图7.9所示。图7.9提升方案构造双正交9/7小波滤波器得到提升算法：(7-4)

2.重要图中止符

零树嵌入式编码是由两部分构成，即对许多重要图编码和对重要系数编码。重要图编码在零树嵌入式编码的总体占到绝大部分，起到主流作用。虽然图像恢复完全靠重要系数来重构，但是重要系数的量化编码只占到总体的码字很小部分，处于次席，因此，提高编码效率，首先考虑重要图编码结构，然后才考虑重要系数合适量化编码问题。优化重要图结构，是提高编码效果的最佳途径之一。一幅重要图是由根据某个阈值判断的重要系数、孤立零点和零树组成，它不仅对所有的小波系数进行量化，即为重要系数和不重要系数，而且非常巧妙地确定重要系数的位置。它是确定重要系数的位置最佳方法，这是由于通过零树结构，使描述重要系数的位置信息大大减小。重要系数反映了图像的主要信息，是主要能量、边缘和纹理等特征的体现者。如果重要系数的位置一旦确定，图像就可以恢复；而在重要图中孤立零点和零树只是用来确定重要系数的位置的依附品。优化重要图编码结构，就是减小重要图中的孤立零点和零树的数目，但是在必须保证重要系数位置确定的前提下如何减小重要图中的零树和孤立零点数目呢？先减小零树的数目，然后进行消除孤立零点。零树嵌入式编码不是编完最后一幅重要图的码才结束，而是在最后一幅重要图任何时刻结束，并且提供图像的最好表示。因此，编码的所有的重要系数位置都可以确定。以此类推，如果在一幅重要图中编完所有的重要系数时，编码就中止，而在重要系数后面的零树就不编码。这样，可以减小许多零树数目，因为每一个处在低层的重要系数至少有3个或4个零树，这些零树都没有编码。但是如果采用这种方式，就不能构成一幅完整重要图，甚至在解码时一定会造成重要图之间内容相混。为了区分每幅重要图内容，必须引入一个符号，即重要图中止符，告诉解码器这幅重要图结束，下一幅重要图开始了，相当是区分重要图之间的标志。引入一个重要图中止符，既保证重要系数没有丢失，又有许多零树消除。采用这种方式，编码和解码时间缩短，提高了编码效率，简化了重要图编码结构。进一步通过一个实例来说明，零树嵌入式编码采用重要系数分为上、下半区，实验结果如表7.3所示。

用一幅标准测试的Lena512×512×8bits的灰度图像测试，先基于提升方案进行构造小波分解，然后进行零树嵌入式编码得到前五幅重要图，表7.3给出有和没有重要图中止符对比情况。表7.3重要图的有和没有重要图中止符结构情况由表7.3可见，虽然每幅重要图的重要系数和孤立零点数目一致，它们在重要图中所处的位置一样，它们之间的零树相同，但是每幅重要图中零树的差别是在每幅重要图中最后一个重要系数后面的零树数目。随着重要图幅数增加，重要系数、孤立零点和零树都越来越大，花费编码的时间也越来越长，但是它们的大趋势是零树数目差别也越来越大，有重要图中止符编码需要时间比没有重要图中止符编码要短。从总数来说，有重要图中止符编码比没有重要图中止符编码小许多。从编码效果来看，不管用Huffman还是算术编码，不管从每幅重要图还是所有的重要图的花费的字节方面考虑，有重要图中止符编码法比没有重要图中止符法少许多bits数。同理，在解码时，有重要图中止符编码法比没有重要图中止符编码花费的时间肯定小。虽然采用重要图中止符编码法，提高了编码效果，但是这是远远不够的。零树和孤立零点在解码中没有任何作用，只起到确定重要图的方位，但它们占用编码的bits数，制约着编码效果的提高。现在考虑消除一些不必要保留的孤立零点，来实现优化重要图的编码结构。为了看清楚这种结构效果，同样用前面的图像来实验，实验结果如表7.4。用零树嵌入式编码得到前五幅重要图，这里也用了重要图中止符。表7.4给出有和没有用变树结构的对比情况。由表7.4可知，采用这种变树结构，优化了重要图结构，减小了孤立零点数目，增加了零树的数目。由此可以看出：采用变树结构的重要图中的各项之和大于没有采用变树结构的情况，特别是零树增加速度大于消除孤立零点速度，但是，从编码所花费的字节来说，不管采用Huffman编码还是采用算术编码，不管每幅重要图编码还是总和所有重要图编码，采用变树结构所需要字节比没有采用这种结构小得多；虽然采用变树结构，增加了编码和解码的复杂性，但从编码花费时间考虑，采用变树结构，减小一些编码的时间；同理，同样可以减小解码的时间。表7.4重要图有和没有用变树结构情况

3.实验结果与讨论

为了检验上述方法的效果，本文使用三种标准测试图像进行测试，图像均为512×512×8bits的灰度图像，分别为Lena、Babara。其中，每个像素为这个像素的灰度减去整幅图像的平均灰度，双正交小波变换的级数为6。在图像边界处采用了“对折”式扩展，固定压缩比，测量峰峰值信噪比。采用有重要图中止符和重要系数细分多区域法相结合方法，比较没采用有重要图中止符的重要系数细分多区域法的编码效果，如表7.5所示。表7.5有终止符和没有终止符的压缩结果

由此可以发现，有重要图中止符、变树结构和重要系数细分多区域法相结合的方法，是在这些改进方法中最佳的方法。用这种最佳的改进的零树嵌入法与原始的零树嵌入法进行比较，本书方法变换采用提升方案构造9/7小波基，而原始零树嵌入法直接用9/7小波基，压缩结果如表7.6所示。表7.6最佳的改进零树嵌入法与原始的零树嵌入法的压缩结果由此可以得出，采用本文改进的方法比Shapiro的零树嵌入法在编解码的速度和压缩效果都有提高。

改进的方法与Shapiro的零树嵌入法区别在于，改进方法采用重要图中止符，改进的方法与Shapiro的零树嵌入法编码重要图区别在于，改进方法采用重要图中止符，不仅可以减小一些无用的零树，还可以提高编码重要图的效率;改进方法采用变树结构优化了重要图结构，提高编码效率，在同样压缩比条件下也提高峰值信噪比。这样，提高压缩效果，也加快编解码速度。采用基于提升方案构造双正交9/7小波，不仅进一步提高小波变换速度，而且为硬件实现提供保障。从两种零树嵌入算法方法实验结果可以得到，在同样压缩比条件下，本节改进零树的方法在峰值信噪比和速度上比Shapiro的零法有一定的提高，如表7.6所示，从恢复图像的视觉效果来看也略好于Shapiro的零树算法，如图7.10所示。在高的压缩比如256、512的条件下，本节改进零树的方法也可以采用，峰值信噪比分别为22.5dB和20.9dB，恢复图像的视觉略差一些，出现一些斑点，有一些模糊，尤其在压缩比为512，图像清晰比较差，如图7.11所示。但是，从恢复的图像可以看出，图像还是具有Lena的最基本特征，只要使用适当的处理方法，信号就可以回复原来的图像面貌。图7.10各种零树嵌入式算法方法图7.11改进零树嵌入法 7.5基于图像压缩系统构造最优的

双正交小波滤波器设计

1.双正交小波基在图像压缩的特点

从最常见的双通道滤波器原理开始，正如图7.12所示，以小波滤波器的框图入手，来分析双正交基在图像压缩中所具有的一些特性。信号x(n)两通道分析滤波器h0(n)和h1(n)滤波产生两路信号，再隔2抽样成分析信号。重构是将抽样后的分析信号隔2加零，再经两路通道综合滤波器g0(n)和g1(n)滤波叠加恢复信号x'(n)。用z变换表示可以写成：

从式(7-5)可见，重构信号X'(z)是原信号X(z)和混迭信号X(－z)的函数，又可以表示为：

X'(z)=F0(z)X(z)+F1(z)X(－z) (7-6)

小波滤波器组要满足完全重构的充要条件：F0(z)是单位纯延迟系统，而F1(z)必须为零。这样，可以使小波滤波器重构信号消除混迭失真、幅度失真和相位失真，完全与原信号相等。(7-5)图7.12信号的小波分析-综合滤波框图小波滤波器只具有完全重构特点，对图像压缩是不够的，还必须具备线性相位特性。线性相位是图像压缩要求小波基所具备的最基本条件之一。完全重构可以避免图像重构的失真，而线性相位可以避免图像边缘在视觉上产生错位。由于有限长度的正交共轭小波滤波器同时兼备完全重构和线性相位特性，不是有限长度的正交共轭小波滤波器具有完全重构特性，没有线性相位特性(即结构对称)，就是有限长度的正交共轭小波滤波器具有结构对称，没有完全重构特性，因此，即使在图像压缩中使用了有限长度的正交共轭小波滤波器，无论用何种压缩方法，它不会产生最佳的压缩效果，由于它不是最适合的图像压缩的小波基。为了获得实的具有线性相位和完全重构的有限长度的滤波器，构造双正交的小波基。为了消除混迭现象，选择综合滤波器与分析滤波器之间有如下的关系：

对于实系数的完全重构的双正交小波滤波器组(滤波器的结构都是关于零点对称)存在如下正交关系：

〈gi(n－2k)，hj(n－2l)〉=δijδkl (7-8)(7-7)因此，具有线性相位和完全重构的双正交小波滤波器组H0(z)和H1(z)只能是以下三种结构之一：

(1)两个滤波器H0(z)和H1(z)都具有对称结构且长度均为奇数，两个滤波器长度之和为4的倍数。

(2)两个滤波器H0(z)和H1(z)都偶长度，一个滤波器对称而另一个滤波器反对称的，两个滤波器长度之和为4的倍数。

(3)一个滤波器偶长度而另一个滤波器为奇长度，这种滤波器结构没有实际使用价值。

构造小波滤波器的一个典型特征是小波的消失矩。若存在一个正整数K，使得则称函数f(x)具有K阶消失矩。于是，对于小波函数φ(x)的K阶消失矩表示为：

由此可以推导出：

若对偶小波函数 有L阶消失矩，同理可以推导出：(7-9)(7-10)(7-11)

消失矩的大小是反映小波基函数衰减到0的快慢程度，消失矩阶数很大时，精细尺度下的高频部分数据有许多是很小的，这就是说包含的信息量很小，可以忽略掉，这正是所数据压缩利用的，因此，这就要求小波函数的消失矩阶数越高越好，即要求小波滤波器长度越长越好。但是，在实际系统中要求小波滤波器越短越好，这是因为短的滤波器可以减小截断误差，另一方面滤波器长度是影响变换的计算复杂度的最重要的因素。综合上述，小波滤波器长度要适中，因而消失矩以2为最好。

2.SPIHT算法

在1996年，A.Said和W.Pearlman在零树嵌入式编码算法基础上提出了一种新的且性能更优的编码算法，即分层树集合分割排序法(SetPartitioningHierachicalTrees，SPIHT)。它是EZW算法的改进，它继承小波系数的零树结构，又采用了集合分割后的排序算法，具有很高的编码效率。具体步骤为：

(1)初始化：输出 ；设LSP的空

表，将(i，j)∈H的加到LIP中，同时那些具有后继的点也加入LIS中，并置为A类。(2)排序过程：

①对LIP中的每个元素(i，j)作：

a.输出Sn(i，j)；

b.如果Sn(i，j)=1，则将(i，j)移到LIS中并输出Ci，j的符号。

②对LIS中的每个元素(i，j)作：

a.如果该元素为A类，则：

i.输出Sn(D(i，j))；

ii.如果Sn(D(i，j))=1，则：

(a)对每个(k，l)∈O(i，j)作：

(i)输出Sn(k，l)；(ii)如果Sn(k，l)=1，则将(k，l)加到LSP中，并输出Ck，l的符号。

(iii)如果Sn(k，l)=0，则将(k，l)加到LIP中的末尾。

(b)如果L(i，j)≠Φ，则将(i，j)移到LIS的末尾，并置为B类，转至b.；否则将(i，j)从LIS中移去；

b.如果该元素为B类，则：

(i)输出Sn(L(i，j))；

(ii)如果Sn(L(i，j