2021年中考数学专题突破30 尺规作图问题

专题30尺规作图问题命唤概述尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。尺规作图的五种基本情况（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。对尺规作图题解法写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。中考要求（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.例题解析与对点拣习【例题1】（2020•台州）如图，已知线段AB,分别以A,B为圆心，大于AB同样长为半2径画弧，两弧交于点C,D,连接AC,AD,BC,BD,CD,则下列说法错误的是（）A.AB平分ZCADB.CD平分ZACBC.AB丄CDD.AB=CD【对点练习】（2019•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A,B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C,D,则直线CD即为所求.连结AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形【例题2】（2020•辽阳）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2BC，分别以点A和B为圆心，以大于1AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于2点E,连接BE,若CE=3，则BE的长为【对点练习1（2019武汉）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE,BF,使BE=BF；分别以E,F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在ZABD内交于点G,作射线BG交AD于点P,若AP=3,则点P到BD的距离为【例题3】（2020•武威）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=BA.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作ZABC的角平分线交AD于点E；作线段DC的垂直平分线交DC于点F.（2）连接EF,直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.【对点练习】（2019•广东模拟题）如图，点D在厶ABC的AB边上，且ZACD=ZA.（1）作ZBDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.专题点对点强化训拣一、选择题（2020•河北）如图1,已知ZABC，用尺规作它的角平分线.如图2，步骤如下，

第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ZABC内部交于点P；第三步：画射线BP.射线BP即为所求.A•ADPBBCCc第列正确的是（）第二步mia，b均无限制a>0.A•ADPBBCCc第列正确的是（）第二步mia，b均无限制a>0.b＞』DE的长2a有最小限制，b无限制D.b<XDE的长2（2020•襄阳）如图，Rt^ABC中，ZABC=90。，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）误的是（）A.DB=DEB.AB=AEC.ZEDC=ZBACD.ZDAC=ZC（2020•贵阳）如图，RtAABC中，ZC=90。，利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD；分别以D,E为圆心、以大于1DE的长为半径作弧，两弧在ZCBA内交2于点F；作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为（）

A.无法确定B.1C.1D.22（2019•河北模拟题）如图，已知△ABC（ACVBC）,用尺规在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是（）（2019•湖南益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC,BC,则厶ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形（2019•湖南长沙）如图，Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,分别以点A和点B为圆心，大于殳AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN,交BC于点D,连接AD,贝9ZCAD的度数是（）

A．20A．20B．30°C．45°D．60（2019年贵州安顺模拟题）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出ZA‘O'B‘=ZAOB的依据是（）A．（SAS）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）二、填空题（2020•苏州）如图，已知ZMON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B,再分别以点A、B为圆心，大于UB长为半径画弧，两弧交于点2C,画射线OC.过点A作AD〃ON，交射线OC于点D,过点D作DE丄OC，交ON于点E.设OA=10,DE=12，则sinZMON=.（2019济南）如图，在RtAABC中，ZC=90。，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N,再分别以点M，N为圆心，大于|"MN的长为半径画弧，

两弧交于点P,作射线BP交AC于点D.若ZA=30°，贝『^AAED（2019甘肃省兰州市）如图，矩形ABCD,ZBAC=600.以点A为圆心，以任意长1为半径作弧分别交AB.AC于点M、N两点，再分别以点M、N为圆心，以大于2MN的长为半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形ABCD的面积等于三、解答题（一）（2020•陕西）如图，已知△ABC，AC>AB，ZC=45°.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P,使ZPBC=45°.（保留作图痕迹.不写作法）（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：ZAOB.求作：ZAOB的平分线.作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N.分别以点M，N为圆心，大于=MN的长为半径画弧，两弧在ZAOB的内部相交于点2C.画射线OC,射线OC即为所求(如图).请你根据提供的材料完成下面问题．这种作已知角的平分线的方法的依据是．(填序号)SSS②SAS③AAS④ASA请你证明OC为ZAOB的平分线.(2020•福建)如图，C为线段AB外一点.求作四边形ABCD，使得CD〃AB,且CD=2AB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N,求证：M，P，N三点在同一条直线上．—(2020•北京)已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC,CD〃AB.求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且ZABP=1ZBAC.2作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；连接BP.线段BP就是所求作的线段.使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；完成下面的证明.证明：•.•CD〃AB,.\ZABP=.VAB=AC，・•.点B在OA上.又•・•点C，P都在0A上,•ZBPC=2ZBAC()(填推理的依据).2/.ZABP=1ZBAC.2（2020•达州）如图，点O在ZABC的边BC上，以OB为半径作OO,ZABC的平分线BM交0O于点D,过点D作DE丄BA于点E.（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断0O与DE交点的个数，并说明理由.（2019•六盘水模拟题）如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个.不写作法，必须保留作图痕迹）（2020大连模拟）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，ZB=ZD，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD#BC，ZA=ZD，画出BC边的垂直平分线n.（2019•四川省达州市）如图，在RtAABC中，ZACB=90°，AC=2，BC=3.（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹.作ZACB的平分线，交斜边AB于点D；过点D作BC的垂线，垂足为点E.（2）在（1）作出的图形中，求DE的长.（2019•广东）如图，在AABC中，点D是AB边上的一点.（1）请用尺规作图法，在AABC内，求作ZADE.使ZADE=ZB,DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）ADAE（2）在（1）的条件下，若DB=2,求EC的值.（2019•广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出厶DEF，使厶DEF9AABC.（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，ZCBD=75°,（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E,交AD于F；（不要求写作法,保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求ZDBF的度数.(2019•湖北孝感)如图，RtAABC中，ZACB=90°,—同学利用直尺和圆规完成如下操作：以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于殳GB的长为半径画弧，两弧交点K,作射线CK；以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M,交AB的延长线于点N；分别以X点M、N为圆心，以大于殳MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作直线BP交AC的延长线于点D,交射线CK于点E.请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；线段CD与CE的大小关系是；过点D作DF丄AB交AB的延长线于点F,若AC=12,BC=5，求tanZDBF的值.(2019平谷二模)下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：如图1,直线1和1外一点P.求作：直线1的垂线，使它经过点P.作法：如图2,在直线1上任取一点A；连接AP,以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线1于点B(点A，B不重合);连接BP，作ZAPB的角平分线，交AB于点H；作直线PH,交直线1于点H.所以直线PH就是所求作的垂线.根据小元设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；完成下面的证明.证明：TPH平分ZAPB，.•・ZAPH=•.•PA=，••・PH丄直线1于H.()(填推理的依据)(2019•甘肃庆阳)已知：在△ABC中，AB=AC.(1)求作：AABC的外接圆.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

（2）若厶ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4,BC=6,贝VSOO=（2019•广东广州）如图，0O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC.（1）尺规作图：作弦CD,使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长.四、解答题（二）26•已知线段a、b,画一条线段，使其等于a2b27•如下图，已知线段a和b,求作一条线段AD使它的长度等于2a—b.28•求作一个角等于已知角ZMON（如图1）.

图（1）图（2）30•如图（1）,已知直线AB及直线AB外一点C,过点C作CD〃AB（写出作法，画出图形）图（1）图（2）正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化.拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．

已知ZAOB，求作ZAOB的平分线OC.ftB0DftB0D图（1）图（2）如图（1）所示，已知线段a、b、h（hVb）.求作△ABC,使BC=a,AB=b,BC边上的高AD=h.图（1）34•如图，已知线段a,b,求作Rt^ABC，使ZACB=90°,BC=a,AC=b（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．35.如图，已知钝角△ABC,ZB是钝角.求作：（1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）.专题30尺规作图问题命唤概述尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。尺规作图的五种基本情况（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。对尺规作图题解法写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。中考要求（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.例題解析与对点辣习【例题1】（2020•台州）如图，已知线段AB,分别以A,B为圆心，大于』AB同样长为半2径画弧，两弧交于点C，D,连接AC，AD，BC，BD，CD,则下列说法错误的是（）A.AB平分ZCADB.CD平分ZACBC.AB丄CDD.AB=CD【答案】D【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案.【解析】由作图知AC=AD=BC=BD，・•・四边形ACBD是菱形，.•.AB平分ZCAD、CD平分ZACB、AB丄CD，不能判断AB=CD【对点练习】（2019•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D,则直线CD即为所求.连结AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形【答案】B【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形。•・•分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D,.•・AC=AD=BD=BC,・•・四边形ADBC一定是菱形。【例题2】(2020•辽阳)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2BC，分别以点A和B为圆心，以大于1AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于2点E,连接BE,若CE=3，则BE的长为【答案】5．【分析】设BE=AE=x,在RtABEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.【解析】由作图可知，MN垂直平分线段AB,.•・AE=EB,设AE=EB=x,•EC=3,AC=2BC,/.BC=1(x+3),2在RtABCE中，TBE2=BC2+EC2,Ax2=32+[1(x+3)]2,2解得，x=5或-3(舍弃),.•・BE=5【对点练习1（2019武汉）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE,BF，使BE=BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在ZABD内交于点G,作射线BG交AD于点P,若AP=3，则点P到BD的距离为【答案】3【解析】结合作图的过程知：BP平分ZABD,VZA=90°,AP=3,・•.点P到BD的距离等于AP的长，为3。【例题31（2020•武威）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=BA.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作ZABC的角平分线交AD于点E；作线段DC的垂直平分线交DC于点F.（2）连接EF,直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.【答案】见解析。【分析】(1)根据尺规作基本图形的方法：作ZABC的角平分线交AD于点E即可；作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可.(2)连接EF,根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【解析】(1)如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F.VBD=BA,BE平分ZABD,・••点E是AD的中点，•・•点F是CD的中点，•EF是厶ADC的中位线，・•・线段EF和AC的数量关系为：EF=1AC，2位置关系为：EF〃AC.【对点练习】(2019•广东模拟题)如图，点D在厶ABC的AB边上，且ZACD=ZA.(1)作ZBDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).答案】见解析。解析】(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可11(2)根据角平分线的性质可得ZBDE=2ZBDC，根据三角形内角与外角的性质可得ZA=£ZBDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论.DE〃ACTDE平分ZBDC，.•・ZBDE=£ZBDC，•.•ZACD=ZA,ZACD+ZA=ZBDC,JZBDC，.ZA=ZBDE，ADE#AC.专题点对点强化训练一、选择题(2020•河北)如图1,已知ZABC，用尺规作它的角平分线.如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA,BC于点D,E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ZABC内部交于点P；第三步：画射线BP.射线BP即为所求.列正确的是()A.a，b均无限制B.a>0,b>1DE的长2C.a有最小限制，b无限制D.a±0,bV1DE的长2【答案】B【分析】根据角平分线的画法判断即可.【解析】以B为圆心画弧时，半径a必须大于0,分别以D,E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于1DE，否则没有交点.2(2020•襄阳)如图，Rt^ABC中，ZABC=90。，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()A.DB=DEB.AB=AEC.ZEDC=ZBACD.ZDAC=ZC【答案】D【分析】证明△ADE^^ADB即可判断A,B正确，再根据同角的补角相等，证明ZEDC=ZBAC即可.【解析】由作图可知，ZDAE=ZDAB,ZDEA=ZB=90°,VAD=AD,.•.△ADE^AADB（AAS）,.•・DB=DE,AB=AE,VZAEB+ZB=180°AZBAC+ZBDE=180°,VZEDC+ZBDE=180°,AZEDC=ZBAC,故A,B,C正确.（2020•贵阳）如图，RtAABC中，ZC=90。，利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD；分别以D,E为圆心、以大于1DE的长为半径作弧，两弧在ZCBA内交2于点F；作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A.无法确定B.1C.1D.22【答案】C【分析】如图，过点G作GH丄AB于H.根据角平分线的性质定理证明GH=GC=1,利用垂线段最短即可解决问题.【解析】如图，过点G作GH丄AB于H.由作图可知，GB平分ZABC,•.•GH丄BA,GC丄BC,.•・GH=GC=1,根据垂线段最短可知，GP的最小值为1（2019•河北模拟题）如图，已知△ABC（ACVBC）,用尺规在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是（）ABCBCABCBCABCDABCD【答案】D【解析】要使PA+PC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确D选项中作的是AB的中垂线，.•・PA=PB,•.•PB+PC=BC,.•・PA+PC=BC（2019•湖南益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC,BC,则厶ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】依据作图即可得到AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,进而得到AC2+BC2=AB2,即可得出厶ABC是直角三角形.如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,.AC2+BC2=AB2,.△ABC是直角三角形，且ZACB=90°，故选B.（2019•湖南长沙）如图，RtAABC中，ZC=90°,ZB=30°,分别以点A和点B为圆心，大于戈AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN,交BC于点D,连接AD,贝9ZCAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】根据内角和定理求得ZBAC=60°，由中垂线性质知DA=DB,即ZDAB=ZB=30°，从而得出答案．在厶ABC中，TZB=30°,ZC=90°,AZBAC=180°-ZB-ZC=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，.•・DA=DB,AZDAB=ZB=30°,AZCAD=ZBAC-ZDAB=30°O

（2019年贵州安顺模拟题）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出ZA‘O'B‘=ZAOB的依据是（）A．（SAS）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）【答案】B【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS,答案可得.作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O',作射线O'A',以O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C；以C'为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D'；过点D'作射线O'B'.所以ZA'O'B'就是与ZAOB相等的角；作图完毕.在厶OCD与AO'C'D'，◎『=oc“yDy=0DC二CD..•.△OCD^AO'C'D'(SSS)，:、乙AO'B‘=ZAOB,显然运用的判定方法是SSS.、填空题（2020•苏州）如图，已知ZMON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B,再分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点2C,画射线OC.过点A作AD〃ON，交射线OC于点D,过点D作DE丄OC，交ON于点E.设OA=10,DE=12，则sinZMON=.【答案】24.25【分析】如图，连接DB,过点D作DH丄ON于H.首先证明四边形AOBD是菱形，解直角三角形求出DH即可解决问题.【解析】如图，连接DB,过点D作DH丄ON于H.由作图可知，ZAOD=ZDOE,OA=OB,•.•AD〃EO,:.ZADO=ZDOE,

AZAOD=ZADO,AO=AD,.•・AD=OB,AD〃OB,・•・四边形AOBD是平行四边形，•.•OA=OB,・•・四边形AOBD是菱形，.•・OB=BD=OA=10,BD〃OA,.•・ZMON=ZDBE,ZBOD=ZBDO,•.•DE丄OD,.•・ZBOD+ZDEO=90°,ZODB+ZBDE=90°,?.ZBDE=ZBED,.BD=BE=10,.OE=2OB=20,OD=V0E2—DE2=V2O2—122=16,•DHIOE,OD・OD・DE16x12EO20_48—,5.•・sinZMON=sinZDBH_皿_亍_24DB1025'■'ABCD（2019济南）如图，在RtAABC中,ZC=90°,以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大转MN的长为半径画弧，'■'ABCD两弧交于点P,作射线BP交AC于点D.若ZA=30°，则,【答案】号.【解析】由作法得BD平分ZABC,VZC=90°,ZA=30°,AZABC=60°,.•・ZABD=ZCBD=30°,.°.DA=DB,在RtABCD中，BD=2CD,.AD=2CD,**^AABD.=1/2（2019甘肃省兰州市）如图，矩形ABCD,ZBAC=600.以点A为圆心，以任意长1为半径作弧分别交AB.AC于点M、N两点，再分别以点M、N为圆心，以大于2MN的长为半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E,若BE=1，则矩形ABCD的面积等于【答案】3、月.【解析】由题可知AP是ZBAC的角平分线•.•ZBAC=600AZBAE=ZEAC=300:.AE=2BE=2..•・ZAEB=600又\,ZAEB=ZEAC+ZECAAZEAC=ZECA=300AAE=EC=2ABC=3AS矩形ABCD=3「3.三、解答题（一）（2020•陕西）如图，已知△ABC,AC>AB,ZC=45°.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P,使ZPBC=45°.（保留作图痕迹.不写作法）【答案】见解析。【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P,使ZPBC=45即可．【解析】如图，点P即为所求.（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：ZAOB.求作：ZAOB的平分线.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N.（2）分别以点M，N为圆心，大于=MN的长为半径画弧，两弧在ZAOB的内部相交于点2C.（3）画射线OC,射线OC即为所求（如图）.请你根据提供的材料完成下面问题．1）这种作已知角的平分线的方法的依据是．（填序号）SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为ZAOB的平分线.【答案】见解析。【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出基本依据；（2）直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案.【解析】（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS.故答案为：①（2）由基本作图方法可得：OM=ON,OC=OC,MC=NC,则在AOMC和AONC中，OMON{OCOC，MC=NC.•.△OMC^AONC（SSS）,AZAOC=ZBOC,即OC为ZAOB的平分线.（2020•福建）如图，C为线段AB外一点.（1）求作四边形ABCD,使得CD〃AB,且CD=2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M,N,求证：M，P，N三点在同一条直线上.【答案】见解析。【分析】（1）利用尺规作图作CD〃AB,且CD=2AB，即可作出四边形ABCD；（2）在（1）的四边形ABCD中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M,P,N三点在同一条直线上.【解析】（1）如图，四边形ABCD即为所求；2）如图，VCD#AB,.•・ZABP=ZCDP,ZBAP=ZDCP,.•.△ABPs^CDP,.AB=AP••—CDPCVAB，CD的中点分别为M，N，.•・AB=2AM,CD=2CN,•AM=AP…CNPC’连接MPNPVZBAP=ZDCP,.•.△APMs^CPN,/.ZAPM=ZCPN,V•点P在AC上,ZAPM+ZCPM=180°,ZCPN+ZCPM=180°,M,P,N三点在同一条直线上.（2020•北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC,CD〃AB.求作：线段BP,使得点P在直线CD上，且ZABP=』ZBAC.2作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C,P两点;连接BP.线段BP就是所求作的线段.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：•.•CD〃AB,.\ZABP=.VAB=AC,・•.点B在OA上.又•・•点C,P都在0A上,•ZBPC=iZBAC（）（填推理的依据）.2.•・ZABP=2ZBAC.2答案】见解析。分析】（1）根据作法即可补全图形；2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明解析】（1）如图,即为补全的图形；证明：•.•CD〃AB,••・ZABP=ZBPC.VAB=AC,:.点B在OA上.又•・•点C,P都在0A上，,\ZBPC=1ZBAC(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，2.•・ZABP=1ZBAC.2故答案为：ZBPC,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.(2020•达州)如图，点O在ZABC的边BC上，以OB为半径作OO,ZABC的平分线BM交0O于点D,过点D作DE丄BA于点E.尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形；判断0O与DE交点的个数，并说明理由.答案】见解析。分析】（1）根据要求，利用尺规作出图形即可．（2）证明直线AE是0O的切线即可解决问题.【解析】（1）如图，0O，射线BM,直线DE即为所求.（2）直线DE与0O相切，交点只有一个.理由：•.•OB=OD,.•・ZODB=ZOBD,VBD平分ZABC,.•・ZABM=ZCBM,AZODB=ZABD,.•・OD〃AB,•.•DE丄AB,.AE丄OD,・•・直线AE是0O的切线，AOO与直线AE只有一个交点.（2019•六盘水模拟题）如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法,必须保留作图痕迹）

答案】见解析。解析】分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可。如图所示：(2020大连模拟)请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．如图①，四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD，画出四边形ABCD的对称轴m；如图②，四边形ABCD中，AD〃BC,ZA=ZD，画出BC边的垂直平分线n.【答案】见解析。【解析】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线.(1)连接AC,AC所在直线即为对称轴m.如图①，直线m即为所求(2)(2)延长BA,CD交于一点，连接AC,BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n.如图②，直线n即为所求(2019•四川省达州市)如图，在RtAABC中，ZACB=90°，AC=2，BC=3.(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹.作ZACB的平分线，交斜边AB于点D；过点D作BC的垂线，垂足为点E.(2)在(1)作出的图形中，求DE的长.【答案】见解析。【解析】(1)利用基本作图，先画出CD平分ZACB，然后作DE丄BC于E。如图，DE为所作；(2)利用CD平分ZACB得到ZBCD=45°，再判断厶CDE为等腰直角三角形，所以DE=CE,然后证明厶BDEs^BAC，从而利用相似比计算出DE.TCD平分ZACB,AZBCdJzACB=45°,TDE丄BC,•••△CDE为等腰直角三角形，・・・DE=CE,•.•DE〃AC,MBDEsABAC,DEBEDE3-皿・AC=BC，即2=3,.•・DE=5.(2019•广东)如图，在AABC中，点D是AB边上的一点.请用尺规作图法，在△ABC内，求作ZADE.使ZADE=ZB,DE交AC于E；(不要求写作法，保留作图痕迹)ADAE在(1)的条件下，若DB=2,求EC的值.答案】见解析。【解析】（【解析】（1）如图所示，ZADE为所求.VZADE=ZB.•・DE〃BCAEADEC=DB•AD••DBAD••DB=2AE・•・EC=2（2019•广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出厶DEF，使厶DEF9AABC.【答案】见解析。【解析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．先作一个ZD=ZA，然后在ZD的两边分别截取ED=BA,DF=AC，连接EF即可得到厶

DEF。如图,△DEF即为所求．（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，ZCBD=75°,（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F；（不要求写作法,保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF,求ZDBF的度数.答案】见解析。1_【解析】（1）分别以A.B为圆心，大于少AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。如图所示，直线EF即为所求；(2)根据ZDBF=ZABD-ZABF计算即可。•・•四边形ABCD是菱形，.•・ZABD=ZDBC=^ZABC=75°,DC#AB,ZA=ZC..•・ZABC=150°,ZABC+ZC=180°,.°.ZC=ZA=30°,TEF垂直平分线段AB,.AF=FB,.•・ZA=ZFBA=30°,.•・ZDBF=ZABD-ZFBE=45°.（2019•湖北孝感）如图，RtAABC中，ZACB=90°,—同学利用直尺和圆规完成如下操作：以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于殳GB的长为半径画弧，两弧交点K,作射线CK；以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M,交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作直线BP交AC的延长线于点D,交射线CK于点E.请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；（1）线段CD与CE的大小关系是；（2）过点D作DF丄AB交AB的延长线于点F,若AC=12,BC=5，求tanZDBF的值.【答案】见解析。【解析】（1）由作图知CE丄AB,BD平分ZCBF,据此得Z1=Z2=Z3，结合ZCEB+Z3=Z2+ZCDE=90。知ZCEB=ZCDE，从而得出答案;CD=CE,由作图知CE丄AB,BD平分ZCBF,.*.Z1=Z2=Z3,VZCEB+Z3=Z2+ZCDE=90°,AZCEB=ZCDE,••・CD=CE,故答案为：CD=CE；(2)证厶BCD9ABFD得CD=DF,从而设CD=DF=x,求出AB=；'収"+吕严=13,知DPBC$515sinZDAF=^=址，即，解之求得x=殳，结合BC=BF=5可得答案.VBD平分ZCBF,BC丄CD,BF丄DF,•BC=BF,ZCBD=ZFBD,在厶BCD和厶BFD中，'ZDCB=ZDFB<ZCBD=ZFBD：BD二BD,.•.△BCD^ABFD(AAS),.•・CD=DF,设CD=DF=x,在RtAACB中，AB=+BC，=i3,DFBCk5.°.sinZDAF=也=址，即1龙+工=13,解得x=2,•.•BC=BF=5,DF1_3.*.tanZDBF==X'='（20i9平谷二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．冋1已知：如图1,直线1和1外一点P.求作：直线1的垂线，使它经过点P.作法：如图2,在直线1上任取一点A；连接AP,以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线1于点B(点A,B不重合);连接BP，作ZAPB的角平分线，交AB于点H；作直线PH,交直线1于点H.所以直线PH就是所求作的垂线.根据小元设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；完成下面的证明.证明：TPH平分ZAPB，.•・ZAPH=•.•PA=，••・PH丄直线1于H.()(填推理的依据)【答案】见解析。【解析】(1)如图所示。(2)证明：TPH平分ZAPB，/.ZAPH=ZBPH.•.•PA=PB,••・PH丄直线1于H.(等腰三角形三线合一)(2019•甘肃庆阳)已知：在△ABC中，AB=AC.求作：AABC的外接圆.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)若厶ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6,贝VSOO=【答案】见解析。【解析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.(1)作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O,以O为圆心，OB为半径作OO，OO即为所求.如图0O即为所求.(2)在RtAOBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题.设线段BC的垂直平分线交BC于点E.由题意OE=4,BE=EC=3,在Rt^OBE中，OB=+

••・S圆O=n・52=25n.（2019•广东广州）如图，0O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC.（1）尺规作图：作弦CD,使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长.【答案】见解析。【解析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交0O于D,线段CD即为所求.如图，线段CD即为所求.（2）连接BD，OC交于点E,设OE=x,构建方程求出x即可解决问题.连接BD，OC交于点E,设OE=x.TAB是直径,•ZACB=90°,TBC=CD,CD•,.•・OC丄BD于E..•・BE=DE,VBE2=BC2-EC2=OB2-OE2,.°.62-(5-x)2=52-x2,解得x=5,VBE=DE,BO=OA,21•・AD=2OE=5,21124・•・四边形ABCD的周长=6+6+10+=.四、解答题(二)26•已知线段a、b,画一条线段，使其等于a+2b.【解析】所要画的线段等于a+2b，实质上就是a+b+b.画法：画线段AB=a.在AB的延长线上截取BC=2b•线段AC就是所画的线段.【点拨】尺规作图要保留画图痕迹,画图时画出的所有点和线不可随意擦去．其它作图都可以通过画基本作图来完成,写画法时,只需用一句话来概括叙述基本作图．27•如下图，已知线段a和b,求作一条线段AD使它的长度等于2a—b.解析】如图，4BDhCM(1)作射线AM；在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；在线段CA上截取CD=b，贝9线段AD就是所求作的线段.28•求作一个角等于已知角ZMON(如图1).图(1)图(2)解析】(1)作射线11；(2)在图(1)上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A,交ON于点B；以°i为圆心，OA的长为半径作弧，交°iMi于点C；以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；(5)过点D作射线°1D.则ZC°1D就是所要求作的角