基于概率母函数的排队机模型研究

基于概率母函数的排队机模型研究

目前，“团队机”已经成为一种新的服务理念，适用于全国各地的银行、医院和其他服务大厅。例如，在银行大厅中设置一个数字门票机。当客人进入银行时，他可以根据自己的需要从数字票中提取编号，并进入休息区域，等待语音建议，以便能够接受服务。对于银行的管理者来说，我们不仅要创造一个简单、个性化的窗口环境，还要考虑如何最大限度地实现机构的利益。在这项工作中，我们建立了一个模型，并在银行上的服务窗口中进行了注册。1模型1:排首先,在银行柜面服务中,由于服务类型不同,可以将服务分为两类:一类为针对一般储户,业务内容包括存款、取款及转账业务;另外就是针对其他顾客,包括各种交费业务等等.在实际业务工作中,后者窗口空闲时,也可对一般储户进行服务.现设前者为顾客type2,而后者为type1.由于在实际服务中,所有的窗口都有能力对一般储户进行服务;而type1的顾客的服务却是受限制的,只能在指定的窗口接受服务.因此,假设银行中有一半的窗口可以对type1进行服务,type2的顾客可以在所有窗口进行服务.那么可以认为:在系统中有两个服务台并联,分别为A台与B台.两类顾客流type1与type2到达率分别为λ1与λ2,其中,type1受限制,只能在台A接受服务,台A对其的服务率为μ1,而type2不受限制,两台对其的服务率均为μ2,且满足条件ρi≡λiμi<1,(i=1,2)(1-1)那么根据实际背景,为了实现两类顾客被充分服务,可以设定该系统中只有一个队列,到达的顾客依次进入排队列,顾客无绝对优先权,因此,当台A在进行服务时,type1的顾客只能等待其前面的顾客服务进行完才能进入台A,但当台B空闲时,队列中如果有type2的顾客,那么排在最前面的type2顾客可以越过前面的type1顾客直接进入台B接受服务.设系统状态为(x1,x2,x3),其中xi为typei的顾客数量(i=1,2),那么,px3(x1,x2)表示系统状态为(x1,x2,x3)时的概率.定理1.1M/M/2并联排队系统,单一顾客流,设有台1与台2,对顾客服务率分别是¯μ1和¯μ2,那么系统的服务率μi有如下情况:当系统中只有一个顾客时,μ1={¯μ1‚顾客在台1¯μ2‚顾客在台2当系统中有多于一个顾客时,μi=¯μ1+¯μ2(i≥2)定理1.2对于M/M/1系统,两类顾客流,单一排队列,顾客无优先权,系统状态为(x1,x2),其中xi表示系统中第i类顾客数(i=1,2),那么,在对第i类信元结束服务之后,进入服务台的是第j类信元的强度系数是根据上面的两个定理,可以给出系统的状态转移图.需要说明的是,这里只考虑当系统中只有一个第2类顾客时只能是该第2类顾客在台B接受服务的情况,若此顾客在台A未被服务完,系统中就只剩此顾客,那么该顾客应立刻转到台B继续接受服务,且服务无损失.因此设Ιj(x)=∑n≥0xnp0(n,j),Fj(x)=∑n≥1xnp1(n,j)(2-1)Ι(x,ω)=∑j≥0Ιj(x)ωj,F(x,ω)=∑j≥0Fj(x)ωj(2-2)并设Q(x,ω)=I(x,ω)+F(x,ω)(2-3)事实上,I0(x)=p0(0,0),所以记I0=I0(x)那么,整理可以得到I(1,1)=1-ρ1,F(1,1)=ρ1(2-4)这里ρ1=λ1μ1.因此,所建立系统中的有第一类顾客在被服务的概率只与此类顾客本身的到达率与服务率有关,此时不受另一类顾客的影响,实现模型中的排队规则有可行性.用一半的窗口对第二类顾客(除一般存取款顾客)进行服务,不会影响大多数只进行存取款业务的服务.在很多银行,存取款顾客的人数是占大多数的,而窗口服务有唯一性,即不会有两类顾客在同一窗口进行服务,此模型提供了一个更利于解决一般性存取款顾客服务的更为实际的决策.而本文模型的实现则有赖于票号机在银行大厅的使用.3系统总费用的计算一般地,可以根据实际情况对排队模型给定费用结构,要求在总费用最小的情况下给出最优设计.例如,对于一般的等待制的M/M/n排队系统,输入与服务参数λ,μ假定均为已知,假定系统有两种费用,一种是等待费,每个顾客在系统中逗留单位时间的等待费是c,另一种是服务费,每个服务台在单位时间内所花的费用是a,于是系统在单位时间内的平均总费用M是Μ=cQ¯+an(3-1)其中Q¯是系统中顾客的平均数量,有了这个平均总费用的表达式,就能确定使平均总费用极小化的最优值n,或是根据n的值确定出单位时间内的平均总费用M.3.1顾客离子型经济评估下面用一次运行法就对本文所建立的模型进行数值模拟.(1)由于模型中顾客到达间隔时间服从参数为λ的负指数分布,而顾客被服务的时间服从参数为μ的指数分布,由程序首先产生两个均服从指数分布的序列,分别设为λn与μn,并且满足条件λn<μn,(n=1,2,…10)(见表1)(2)在以模型为背景的前提下,对表1得到的λn与μn只考虑n=2的情况,设第一类顾客的到达率与服务率分别为λ1与μ1,而第二类顾客对应的到达率与服务率分别为λ2与μ2,从而由公式(2-4)得到I(1,1)=0.970,F(1,1)=0.030(3-2)即在此参数对应的模型中有第一类顾客被服务的概率为0.970,因此被服务的机会是非常大的.(3)对系统中的顾客的到达间隔与服务时间进行模拟,同时对系统中顾客的类别进行区分.这里设第n个被服务完的第一类顾客离开时系统中第一类顾客的等待人数有Ln(1)个,第n个被服务完的第二类顾客离开时系统中第二类顾客的等待人数有Ln(2)个,第n个被服务完的顾客离开时系统中顾客总的等待人数有Ln个,而后统计系统中的等待队长.记Ln(1)的期望值是L1,Ln(2)的期望值是L2,Ln的期望值是L,即系统中第1类顾客的平均等待队长为L1,第二类顾客的平均等待队长为L2,系统总体的平均等待队长为L,可以根据模拟数据统计出L1=7.6,L2=9.76,L=17.53(3-3)那么,由Little公式可以得到两类顾客的平均等待时间W1与W2,以及总体上顾客的平均等待时间W:W1=37.48,W2=49.05,W=43.61(3-4)由计算可见,W是介于W1与W2之间的,符合实际情况.事实上,虽然此种排队模型增加了系统中第一类顾客的等待时间,但同时又在一定程度上提高了第二类顾客的被服务的机会.因此,此时就有必要对系统进行一定的经济评估.(4)针对本模型的特点,对所得结果进行一定的经济评估,设第一类顾客在系统中单位时间的等待费是c1,第二类顾客在系统中单位时间的等待费是c2,每个服务台在单位时间内所花的费用仍记为a,则根据上面结果,可以得到系统在单位时间内的总费用公式:M费用=7.6c1+9.76c2+2a(3-5)公式(3-5)是c1,c2与a的线性函数即M费用的值随着三个变量的改变而变化.3.2新的排污系统,开发人性化的窗口通过以上的分析,可知在使用了排队机的银行柜面服务中,如果容许进行一般性业务的顾客可以在所有窗口接受服务,那么用半数的