二次函数的图像和性质

30.2二次函数的图像和性质第1课时c是常数,a≠0)1．一般地,形如2．我们学习过哪些函数？y

=ax²+bx+c

(a、b、的函数叫做x

的二次函数.温故知新y=ax²+

bx+c

(a≠0)二次函数y=

k

x+

b

(k≠0)y=

k

x(k≠0)一次函数变量之间的关系函数反比例函数正比例函数y=(k≠0)3.一次函数的图像是．4.反比例函数的图像是.双曲线5.二次函数的图像是什么形状呢？一条直线（3）连线.（1）列表；用描点法画函数图像的主要步骤是：（2）描点；6.通常怎样画一个函数的图像？答：通常用描点法画一个函数的图像.(1)观察

y=x2

的表达式，选择适当的

x

值，并计算相应的

y

值，完成下表：请作出二次函数

y=x2

的图像．x……y……9490141-3-2-10123探索新知(2)在直角坐标系中描点.

(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数y=x2的图像.

xy-1-2-3O123321654987y=x2xy-1-2-3O123321654987y=x2(1)你能描述图像的形状吗？议一议二次函数y=x2的图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线y=x2.xy-1-2-3O123321654987y=x2(2)图像与

x

轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有，（0，0）xy-1-2-3O123321654987y=x2(3)当x<0时，随着x值的增大，

y的值如何变化？当x>0时呢？当

x<0

时，y随着x的增大而减小．当

x>0

时，y随着x的增大而增大．(4)当x取什么值时,y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？当

x=0

时，函数

y

的值最小，最小值是0．可以观察图像，也可以分析表达式．xy-1-2-3O123321654987y=x2是，对称轴是y轴．（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）等等．（-1，1）和（1，1）；(5)图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．对称点有很多，如：xy-1-2-3O123321654987y=x2二次函数y=x2的图像的顶点是原点，它是图像的最低点．xy-1-2-3O123321654987y=x2(6)图像与对称轴有交点吗？抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

二次函数y=x2的图像是一条抛物线，它的特点是：xy-1-2-3O123321654987y=x21.开口向上；2.对称轴是y轴；3.顶点是原点，它是图像的最低点．作出二次函数

y=-x2的图像．(1)

列表:x…-3-2-10123…y……-9-4-1-1-4-90(2)在直角坐标系中描点.

(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数y=-x2的图像.

yx-1-2-3O123-6-7-8-3-4-5-9-1-2y=-

x2(1)二次函数y=-x2

的图像是一条抛物线．(2)图像与x轴交于原点(0，0)．yx-1-2-3O123-6-7-8-3-4-5-9-1-2y=-

x2(3)当x

<0时，y

随

x的增大而增大；当x

>0时，y

随

x

的增大而减小．(4)当

x=0时，y最大值

=0(5)图像关于

y

轴对称．yx-1-2-3O123-6-7-8-3-4-5-9-1-2y=-

x2(6)图像的顶点是原点，它是图像的最高点．

二次函数y=-x2

的图像是一条抛物线，它的特点是：yx-1-2-3O123-6-7-8-3-4-5-9-1-2y=-

x21.开口向下；2.对称轴是y轴；3.顶点是原点，它是图像的最高点．2．顶点坐标；1．对称轴；

3．开口方向；二次函数

y=±x2

的图像和性质：4．增减性；5．最值.yxoy=x2y=－x2抛物线y=x2y=-x2图像对称轴顶点开口方向增减性最值yxoyxo在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随着x的增大而减小y轴开口向上开口向下y轴原点（最低点）原点（最高点）当x=0时,最大值为0在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大当x=0时,最小值为0相同点：归纳yxoy=x2y=－x23.形状完全相同．1.顶点都是原点；2.对称轴都是y轴；二次函数

y=±x2

的图像和性质：不同点:1．开口方向不同；2．y随x值的变化趋势不同；3．最值不同．yxoy=x2y=－x2函数y=-x2

的图像与函数y=x2

的图像关于

x轴对称．联系：做一做1.

在y=x2的图像所在坐标系内作二次函数y=2x2的图像．xy-1-2-3O123321654987y=x2y=2x2(1)二次函数y=2x2的图像是什么形状?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?它与二次函数y=x2的图像有什么相同和不同?二次函数

y=2x2的图像是抛物线，它的开口向上，对称轴是y

轴，顶点坐标是(0，0)．

二次函数y=2x2

的图像在

y=x2

的图像的相同点：对称轴是y轴；开口向上；顶点坐标是原点．xy-1-2-3O123321654987y=x2y=2x2

二次函数y=2x2的图像在

y=x2

的图像的内侧，说明函数值的增长速度较快，即开口程度不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小．

不同点：yx-1-2-3O123-6-7-8-3-4-5-9-1-2y=-

x2

2.在右图中作出二次函数y=-2x2的图像，它与y=-x2的图像有什么相同和不同？y=-2x2

不同点是开口程度不同，x2的系数越大，抛物线的开口越大．

二次函数y=-2x2与y=-x2的图像的相同点是开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是原点；总结：

二次函数y=ax2（a≠0）的图像是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫抛物线．曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．一般地，抛物线y=ax2（a≠0）具有以下性质：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y随x的变化情况最值y=ax2

（a>0）y=ax2（a<0）y轴（x=0）y轴（x=0）（0，0）（0，0）向上向下x<0时,y随x的增大而减小；x>0时,y随x的增大而增大x<0时,y随x的增大而增大；x>0时,y随x的增大而减小当x=0时,最大值为0当x=0时,最小值为01、不画出函数的图像，请指出它的对称轴、顶点坐标和开口方向．对称轴是x=0，顶点坐标是（0，0），开口向下．随堂练习2、先指出抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向，然后再画出它的图像．对称轴是x=0，顶点坐标是（0，0），开口向下．x-303y-30-312-1-2012-1-2-33-33、已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图像上，则（