势能的变化与机械功

4.1势能的变化与机械功1.理解重力势能及其表达式。2.知道重力做功与物体重力势能改变的关系。3.知道弹性势能的概念及影响弹性势能大小的因素。4.联系生活和生产实践中势能与其他形式能转化的例子,了解能量转化,培养学生学习物理的兴趣和理论联系实际的能力。重点：1.重力势能的概念及重力势能改变与重力做功的关系。

2.弹性势能与哪些因素有关。难点：1.重力势能的相对性，重力势能变化的绝对性。

2.对弹性势能的理解。一、重力势能1.定义：物体由于被举高而具有的_____。2.大小:物体的重力势能等于它所受_____和它的高度的_____，重力势能是物体与地球共有的。3.表达式：Ep=____，单位为焦耳，符号是J。4.相对性：物体的重力势能是相对的，它是相对于_________而言的。能量重力乘积mgh参考平面5.标矢性：重力势能是标量(1)Ep>0，说明物体在参考面__(A.上方B.下方)，重力势能较大。(2)Ep<0，说明物体在参考面__(A.上方B.下方)，重力势能较小。AB【想一想】如图是一幅跳高运动员跳高的图片，若运动员的质量为60kg，跳过的高度为2.3m，那么跨过横杆时的重力势能是定值吗？提示：不是定值，运动员的高度与所选取的参考平面有关，是一个相对量，取不同的参考平面时，高度不同，其重力势能的值不同。二、重力做功与重力势能的改变1.重力做功的特点重力做功与_____无关，只与初、末位置的高度差有关；重力做功总是对应于物体重力势能的变化，两者的大小_____，并且与是否存在其他作用力及其他力是否做功_____。路径相等无关2.两者间的关系3.两者的关系式：W=Ep1-Ep2=_____，其中ΔEp为物体重力势能的增量，ΔEp=Ep2-Ep1。4.物体重力势能的变化可以用_____做功的多少来量度。重力减少增加

-ΔEp重力【想一想】如图所示的滑雪运动员从雪山高处高速滑下，运动员的重力做了正功还是负功？其重力势能增大了还是减小了？当冲上另一个高坡时会怎样？提示：运动员从高处滑下，位移向下，重力做了正功，由于高度降低，其重力势能减小；当运动员冲上另一个高坡时，重力做负功，重力势能增大。三、弹性势能1.定义：物体发生_________时具有的势能。2.影响因素：弹簧的弹性势能与自身的_________大小及________或_______有关。3.表达式：弹簧的弹性势能为Ep=______。弹性形变劲度系数伸长量压缩量【判一判】(1)弹性势能与物体的形变量有关。()(2)除了弹力做功之外，其他力做功不影响弹性势能。()(3)弹力做正功，弹性势能就增大；弹力做负功，弹性势能就减小。()提示：弹性势能与物体的弹性形变有关，若在弹性限度之外，弹性势能就与形变量无关，故(1)错。弹性势能的改变仅与弹力做功相对应，与其他力是否做功无关，(2)正确。弹力做正功，弹簧对外做功，弹性势能减小；弹力做负功，外界对弹簧做功，弹簧的弹性势能增大，(3)错。

重力势能的相对性和系统性【探究导引】观察图片，思考以下问题：(1)在瀑布和水力发电中，水的重力势能怎样变化？(2)是不是水的落差越大，水的重力势能就越大？(3)怎样比较跳水运动员在不同位置重力势能的大小？重力势能的大小与哪些因素有关？【要点整合】

1.重力势能的相对性(1)高度的相对性：物体的高度h总是相对于某一水平面来说的，实际上是把这个水平面的高度取作零。因此，重力势能也具有相对性。物体的重力势能也总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫做零势能参考平面。在零势能参考平面上，物体的重力势能为零。(2)高度与重力势能间的关系：①重力势能表达式Ep=mgh中，h为物体的重心到零势能参考平面的距离，重力势能与物体重心距零势能参考平面的高度成正比。②当物体位于零势能参考平面以上时，h>0，则Ep>0；当物体位于零势能参考平面以下时，h<0，则Ep<0。(3)物体的重力势能都是相对于某一个参考平面来说的，只有对于确定的重力势能零点，物体的重力势能才具有确定的值，相对于不同的参考平面，同一物体在同一位置所具有的重力势能数值不同。(4)原则上，零势能参考平面的选取是任意的，选择哪个水平面作零势能参考平面，可视研究问题的方便而定(通常我们取地面或系统的最低点为零势能参考平面)。2.重力势能的系统性重力势能跟重力做功密切相关，而重力是地球与物体之间的相互作用力。也就是说，若地球和物体之间突然失去相互作用力，被举高的物体就不会下落，也就不再具有做功的本领，也就没有重力势能，通常所说的重力势能实际上只是一种约定俗成的简便说法。严格来说，重力势能是地球与物体所组成的这个物体“系统”所共有的，而不是地球上的物体单独具有的。【特别提醒】(1)重力势能是标量，正、负表示其重力势能大于零势能还是小于零势能。(2)重力势能是由重力大小及重心距离零势能参考平面的高度共同决定的。零势能参考平面的位置是根据需要而人为设定的，并不一定非要将地面设为零势能参考平面。【典例1】(2012·成都高一检测)如图所示，桌面距地面0.8m，一个物体的质量为2kg，放在距桌面0.4m的支架上。以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到桌面的过程中，重力势能减少了多少(g=10m/s2)。【思路点拨】在求解物体的重力势能时，应注意物体相对参考平面所处的高度。【规范解答】以地面为参考平面，物体的高度为h1=1.2m物体的重力势能为Ep1=mgh1=2×10×1.2J=24J物体落至桌面时的重力势能为Ep2=mgh2=2×10×0.8J=16J物体重力势能的减少量为ΔEp=Ep1-Ep2=(24-16)J=8J。答案:24J8J【互动探究】以桌面为参考平面，物体具有的重力势能为多少？物体由支架下落到桌面的过程中，重力势能减少了多少？【解析】以桌面为参考平面，物体的高度为h1=0.4m物体的重力势能为Ep1=mgh1=2×10×0.4J=8J物体落至桌面时的重力势能为Ep2=0物体重力势能的减少量为ΔEp=Ep1-Ep2=(8-0)J=8J答案:8J8J【总结提升】重力势能的三种求解方法方法一：根据重力势能的定义求解：选取零势能参考平面，由Ep=mgh可求质量为m的物体在离零势能参考平面h高度处的重力势能。方法二：由重力做功与重力势能变化的关系求解：由WG=Ep1-Ep2知Ep2=Ep1-WG或Ep1=WG+Ep2。方法三：由等效法求重力势能：重力势能的变化与运动过程无关，只与初、末状态有关。ΔEp=mg·Δh=Ep2-Ep1。【变式备选】图中虚线是一跳水运动员在跳水过程中其重心运动的轨迹，则从起跳至入水的过程中，该运动员的重力势能()A.一直减小B.一直增大C.先增大后减小D.先减小后增大【解析】选C。重力势能Ep=mgh，运动员的重心位置h先升高后降低，故运动员的重力势能先增大后减小，所以选项C正确，其他选项均错。

重力做功与重力势能变化的关系【探究导引】如图所示的图片反映了人工打夯砸实地基的情景，请思考以下问题：(1)人们把夯拉起的过程中，重力做正功还是做负功？(2)把夯拉起的过程中，夯的重力势能怎样变化？(3)当夯落下时，夯的重力做功情况如何？重力做功与重力势能的改变有什么关系？【要点整合】重力做功与重力势能比较重力做功重力势能物理意义表达式影响大小的因素重力对物体做功WG=mgΔh

重力mg和初、末位置的高度差Δh由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能Ep=mgh重力mg和相对参考面的高度h重力做功重力势能特点联系只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同过程量状态量重力做功过程是重力势能改变的过程，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就改变多少，即WG=Ep1-Ep2=-ΔEp【特别提醒】(1)重力势能变化量ΔEp等于末态重力势能减去初态重力势能。(2)重力势能变化的多少仅取决于重力做功的多少，与其他外力做功无关。【典例2】如图所示，在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，若将砖一块一块地叠放起来，至少需要做多少功？【思路点拨】分析本题的关键是抓住重力做功与重力势能变化量之间的关系。叠放砖的过程中，外力做的功至少与物体克服重力做功相同，而物体克服重力做的功又等于物体重力势能的增加量。【规范解答】对n块砖整体研究，从它们平铺在地面上到一块一块叠放起来，外力所做的功至少等于砖增加的重力势能。平铺到水平地面上时的重力势能为叠放起来后的重力势能为因此，该过程中重力势能的增加量为物体克服重力做的功为W=n(n-1)mgh，即外力至少需要做的功为W′=n(n-1)mgh。答案:n(n-1)mgh【互动探究】若其他条件不变，求把最后一块砖(第n块砖)叠放上至少需要做多少功？【解析】最后一块砖在水平面上的重心高度为，当把最后一块砖叠放上后，其重心高度为(n-)h。因此，该过程中，最后一块砖的重力势能增加量为ΔEp=(n-1)mgh，至少需要克服重力做功为W=ΔEp=(n-1)mgh，即把最后一块砖叠放起来至少需要做的功为W′=(n-1)mgh。答案:(n-1)mgh【总结提升】重力势能变化的两种求解方法方法一：应用重力势能变化公式ΔEp=Ep2-Ep1来求。具体方法是首先选取零势能参考平面，然后应用Ep=mgh求出物体在初、末位置的重力势能，再代入定义式ΔEp=Ep2-Ep1求出重力势能变化量。方法二：应用重力势能变化与重力做功的关系来求。先根据条件确定初、末位置的高度差Δh，代入WG=mgΔh求出重力做的功，再利用关系式ΔEp=-WG确定出重力势能的变化量。【变式备选】(2012·潍坊高一检测)某同学不小心把书从桌面上碰落，估算书从离开桌面到落到水平地面上的过程中重力势能的减少量为()A.0.4JB.4JC.40JD.400J【解析】选B。高中书的质量大约为m=0.5kg，课桌桌面离地面的高度大约为h=0.8m，书从桌面落到地面过程中，重力所做的功大约为WG=mgh=0.5×10×0.8J=4J。那么，书的重力势能减小了4J，选项B正确，其他选项均错。

弹性势能的分析【探究导引】蹦床运动是小朋友们都爱玩的活动，请思考以下问题：(1)小朋友在蹦床上跳得为何比平常高？(2)为何小朋友在蹦床上越用力跳，蹦床下陷得越深？(3)小朋友们停止跳动了，为什么他们不能马上停下来？【要点整合】

1.弹性势能的产生及影响因素产生原因影响原因弹簧的形变量x物体发生了弹性形变物体各部分间有弹力作用弹簧的劲度系数k(1)(2)2.弹性势能与弹力做功的关系如图所示，O为弹簧的原长处(1)弹力做负功：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。(2)弹力做正功：如物体由A向O运动或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的变化量总等于弹力对外做功的负值，表达式为W弹=-ΔEp。3.弹性势能表达式(1)弹簧弹力随形变量x的变化图线及围成面积的意义。类比v-t图像的面积表示位移，F-x图像与x轴所围的面积表示弹力的功，如图所示。所以当弹簧的位移为x时，弹力做功W弹(2)弹性势能的大小【特别提醒】(1)弹力做功是弹簧弹性势能变化的原因，弹力不做功，弹簧弹性势能不变。(2)对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时弹性势能是一样的。【典例3】如图所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1>h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是()A.ΔE1=ΔE2,ΔEp1=ΔEp2B.ΔE1>ΔE2,ΔEp1=ΔEp2C.ΔE1=ΔE2,ΔEp1>ΔEp2D.ΔE1>ΔE2,ΔEp1>ΔEp2【思路点拨】求解该题要注意以下三点：关键点(1)小球速度最大时，它的加速度瞬间为零。(2)重力(弹性)势能与重力(弹力)做功的关系。(3)对同一弹簧，形变量相同，弹性势能相同。【解题流程】对小球重力势能的变化量和弹簧的弹性势能分析如下：答案:B【变式训练】一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧上端的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图所示。经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则()A.h越大，弹簧在A点的压缩量越大B.弹簧在A点的压缩量与h无关C.h越大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大D.小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大【解析】选B。最终小球静止在A点时，小球受重力与弹簧的弹力相等，故由弹力公式得mg=kx，即可得出弹簧在A点的压缩量与下落时的高度h无关，A错，B对。对同一弹簧，它的弹性势能大小仅与弹簧的形变量有关，小球静止在A点或经过A点时，弹簧的弹性势能相同，C、D错。【变式备选】关于弹性势能，下列说法中正确的是()A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关【解析】选A、B。任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变，A、B正确；物体发生形变，若非弹性形变，则物体不具有弹性势能，C错误；弹簧的弹性势能除了跟形变量有关，还跟弹簧的劲度系数有关，D错误。【温馨提示】弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量决定，而某一弹簧的弹性势能大小，只取决于它的形变量，因此解决这类问题的关键是如何在复杂的问题中确定弹簧的形变量大小。【典例】如图所示，在光滑水平面上有A、B两物体，中间连一弹簧，已知mA=2mB，今用水平恒力F向右拉B，当A、B一起向右加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep1，如果用水平恒力F向左拉A，当A、B一起向左加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep2，试比较Ep1与Ep2的大小关系。考查内容复杂问题中重力势能大小的确定【思路点拨】先利用牛顿第二定律分别求出两种情况下弹簧的弹力大小，再根据胡克定律确定两种情况下弹簧形变量的关系。【规范解答】当F向右拉B时，有F=(mA+mB)a，弹簧拉A的力同理，当F向左拉A时，弹簧拉B的力因为mA=2mB，所以FA=2FB，由F=kl可知，当F向右拉B时弹簧的伸长量大，所以Ep1>Ep2。答案:Ep1>Ep2弹簧弹力做功的求法弹簧弹力随其形变量的变大成正比例变大，因此弹簧弹力做的功不适合用公式W=Fl来计算，计算弹簧弹力的功的方法主要有两种：1.平均值法:当弹簧被拉长l时，弹簧的弹力大小为F=kl，即弹簧的弹力大小与它的伸长量l成线性关系，该过程中弹簧的弹力大小的平均值故由W=Fl知弹力做功2.图像法:如图所示，当弹簧被拉长l时，用微分的办法将l分为若干小段，每一小段Δl1、Δl2、Δl3…对应的弹力F1、F2、F3…近似为恒力，弹力在各段做功W1=F1Δl1、W2=F2Δl2、W3=F3Δl3…对应图像中各小矩形的面积。若将l分为无数个小段，弹簧被拉长l时弹力做功在数值上等于F-l图像与横轴所围图形的面积，故此时弹力做功大小【案例展示】一根弹簧的弹力—位移图像如图所示，那么弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为()A.3.6J,-3.6JB.-3.6J,3.6JC.1.8J,-1.8JD.-1.8J,1.8J【规范解答】弹簧在拉伸状态下变短时，弹力做正功，且做的功等于F-x图像与x坐标轴围成的面积，故W=×(30+60)×0.04J=1.8J，据W=-ΔEp知，弹簧弹性势能的变化量ΔEp=-1.8J，C项正确。答案:C【名师点评】对于弹性势能与弹力的功，要注意以下两点：(1)弹簧弹力做功是弹簧弹性势能变化的直接原因，只有弹簧的弹力做功，才能引起弹簧的弹性势能变化。(2)求弹簧弹性势能变化量的一个重要途径是利用关系式W弹=-ΔEp,只要求出弹簧弹力做的功，就可以确定弹簧弹性势能的变化量，因而此时求解弹簧弹力的功是关键。1.下列关于重力势能的说法正确的是()A.重力势能的大小只由重物本身决定B.所处位置高的物体，则重力势能就大C.在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零D.重力势能实际上是物体和地球所共有的【解析】选D。重力势能等于物体的重力与物体重心高度的乘积，故选项A、B都不对；重力势能具有相对性，零势能位置的选取是任意的，地面不一定是零势能位置，选项C错误；重力是物体与地球间的作用力，重力势能实际上也是地球与物体共有的，重力势能具有系统性，选项D正确。2.如图所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是()A.重力势能减少，弹性势能增大B.重力势能增大，弹性势能减少C.重力势能减少，弹性势能减少D.重力势能不变，弹性势能增大【解