基于多项式模型的日变数据互补问题

基于多项式模型的日变数据互补问题

1对地磁日变的数据分析为了保证海洋磁体测量过程中数据处理的精度，通常需要在测量区附近的相同纬度范围内建立地磁日变观测站，以便同时观察地磁日变。地磁日变观测站通常不能控制整个测量区。当测量区面积较大时，必须设置两个以上的地磁日变观测站。但是,多地磁日变观测站的使用,对磁力资料的后处理提出了更高的要求,如果改正不合理就会引入许多误差甚至粗差。要处理好地磁日变对海洋磁力测量精度的影响,就需要对地磁日变的空间变化规律进行研究。作者认为可从ΔL、ΔB、ΔH(或ΔX、ΔY、ΔZ)三方面着手进行分析。ΔL经差关系分析,当ΔL≠0时的日变关系分析,即时差分析,可参阅文献;ΔH高差关系分析以后再做研究;ΔB纬差关系分析,当ΔB≠0时的日变关系分析,即地磁日变数据幅值关系分析,这是本文分析讨论的要点。在地磁日变观测过程中,由于各种原因会造成部分时段数据漏测或者因外部人为干扰比较大,无法恢复测段真实的日变改正值,为消除这些因素对海洋磁力测量成果的影响,可重测这些时段的海上测线并再次进行同步日变观测,这种方法虽说直接,但并不可取。如果可以通过数据分析的方法来重建这些时段的地磁日变改正值,满足一定的测量精度要求,将可以节省很大的人力、物力。本文将通过多项式模型对两站和多站地磁日变改正数据进行分析,导出站间数据的幅值关系多项式模型,以对漏测时段地磁日变改正值进行内插和外推。通过实例分析验证了此方法的正确性和可行性。2日变数据的振幅关系分析2.1建立上界矩阵vi以某一站的地磁日变改正数为因变量,另一站改正数为自变量,构建一元多项式方程作为站间幅值关系的基本数学模型:yi=a0+a1xi+a2x2i+a3x3i…+amxmi-εi(1)式中,yi是因变量;xi是自变量;a0、a1、a2、a3…am为多项式系数;εi为剩余误差。进行幅值关系分析前,需将地磁日变观测站间的数据进行时间同步分析,消除因地理位置不同(主要是经差ΔL的影响)而引起的站间时差,并且对两数据序列按时间基准进行归一化处理,使其在时间上一一对应。相对应的每一组数据按(1)式展开可得如下方程组:{y1=a0+a1x1+a2x21+a3x31⋯+amxm1-ε1y2=a0+a1x2+a2x22+a3x32⋯+amxm2-ε2y3=a0+a1x3+a2x23+a3x33⋯+amxm3-ε3⋮yn=a0+a1xn+a2x2n+a3x3n⋯+amxmn-εn(2)移项整理后写成矩阵形式:(ε1ε2ε3⋮εn)=(x01x11x21x31⋯xm1x02x12x22x32⋯xm2x03x13x23x33⋯xm3⋮⋮⋮⋮⋮x0nx1nx2nx3n⋯xmn)(a0a1a2a3⋮am)-(y1y2y3⋮yn)(3)取剩余误差εi的估值为vi,写成矩阵形式:V=(v1v2v3⋯vn)Τ又有:B=(x01x11x21x31⋯xm1x02x12x22x32⋯xm2x03x13x23x33⋯xm3⋮⋮⋮⋮⋮x0nx1nx2nx3n⋯xmn)X=(a0a1a2a3⋯am)ΤL=(y1y2y3⋯yn)Τ可得误差方程:V=BX-L(4)根据测量平差理论,利用最小二乘原理可求得多项式系数矩阵X为:X=(BΤΡB)-1BΤΡL(5)因每一测站的数据序列都是同一台仪器在同一位置不同时间的日变改正数,因此可取权阵P为:Ρ=En(En为n维单位阵)。则有:X=(BΤB)-1BΤL(6)这就是站间关系多项式的系数,将其代入下式:y^i=a0+a1xi+a2xi2+a3xi3⋯+amxim(7)可外推出另一测站与xi对应时刻日变改正数的估值y^i。2.2控制剩余标准差为了检验多项式模型的拟合效果,可利用剩余标准差来控制,公式为:S=1n-2∑i=1n(yi-y^i)2(8)如果S比较大,应增加多项式的幂次数,重新进行系数计算,直至得出满足精度要求的剩余标准差。3t时段加权权益计算方法幅值关系分析要求有两站或多站同步地磁日变数据,即在海洋磁力测量过程中建立了两个以上的地磁日变站或者日变站附近有地磁台站资料可用。假设地磁日变观测过程中丢失了某站ΔT时段的数据,下面以两站数据分析为例,通过站间数据幅值关系分析,重建这一时段的地磁日变改正值。为了提高地磁日变改正数的重建精度,分别取两站ΔT时段前、后两个时段ΔT1、ΔT2的数据,使用上一节导出的站间数据关系式(6)求出两组多项式系数。将两组多项式系数分别代入式(7),可外推出两组ΔT时段的改正数。在精度要求不高的情况下,可以通过求取两组改正数对应时刻的平均值作为ΔT时段的最优日变改正数,但是受外推距离影响,每个外推数据的精度各不相同,简单地对两组改正数进行平均运算,如果外推时段较长时,推算精度可能会受很大影响。建议采用非等精度测量的加权平均值计算方法进行加权运算。加权平均值公式为:x¯=∑wixi∑wi(9)式中,x¯为加权平均值;wi为外推观测值的权数。本文外推出的数据只有两组,因此取i=2。数据推算精度与数据的推算距离有关,外推距离越大,误差越大,对应的权重因子越小。设外推时刻t与ΔT前端时差为Δt1,后端时差为Δt2,则可取权重因子:{w1=ΔΤ-Δt1ΔΤ=Δt2ΔΤw2=ΔΤ-Δt2ΔΤ=Δt1ΔΤ(10)则有:∑wi=1(11)可得加权平均值公式:x¯=Δt2x1+Δt1x2ΔΤ(12)4t、t3t3的日变动态变化因文中数据分析方法都是以地磁日变改正数为基础,所以在进行幅值关系分析前需要对数据进行前期处理。文中采用两个地磁日变观测站同步实测数据进行分析,利用文献中的数据处理方法计算各时刻的日变改正数,利用文献中的方法分析站间时差。基本的测站参数及初步分析结果见表1。数据外推距离的大小依赖于站间数据的相关程度。同样的精度要求下,相关系数绝对值越接近于1,能够外推出的时段越长。文中取ΔT=1h,拟用ΔT前后各1h的数据分别进行站间幅值关系分析。初期处理完毕后,利用剩余标准差S来控制多项式模型最高次幂的阶数,通过试算确定需要达到的幂次数。从表2、表3的计算结果可以看出,幂次数取至3阶时,ΔT1和ΔT2剩余标准差S的变化已非常微小,精度完全可满足测量要求。采用表1、表2中的3次多项式系数分别对ΔT时段的日变改正数进行外推,使用公式(12)求取各对应时刻加权后的改正数。分别绘制出ΔT1、ΔT2外推改正数、加权改正数与实测数据的比较图。从图中可以看到,外推数据与实测数据的整体变化趋势是一致的,而且大部分时段密合的比较好。推算误差从推算点开始被累计放大,离推算点越远,误差越大,特别是在日变变化较剧烈的顶点区域,局部相关性较小,因此误差也较大。表4为外推日变改正值与实测数据差值的统计结果。从统计结果可以看出,虽然不进行加权处理的外推改正数也可以满足基本测量要求,但应当注意到,加权后的改正数均方差精度提高了约1个数量级,可以用于高精度的磁力测量,也说明可以大大增加可推算的时段长度。以上实例分析的结果表明,利用地磁日变观测站间观测数据的幅值关系进行数据互补是完全可行的,而且精度也可以满足测量要求。可以通过推算均方差的精度来控制地磁日变改正数的推算长度。5外推加权平均与站间幅值关系地磁日变的变化并没有严格可循的规律性,受外因影响较大。长距离内插时,插值方法很难克服局部时段异常的瓶颈,会造成很大的数据偏差,甚至会引起粗差。因此,单站函数插值法在磁力测量中应慎用。规范要求:因地磁日变站原因造成海上测量漏测距离超过图上2cm时,应补测。在1∶100万的测图中,测量载体以10节的航速航行,图上2cm约需用时1h5min文中实例分析表明,1h时段的外推加权平均值均方差只有0.068nT。在大比例尺磁力测量中,这种处理方法完全可以满足高精度磁力测量中要求,同时,也可以克服规范中对日变站2cm的补测规定。文中运用最小二乘法分析了地磁日变观测站间的日变改正值幅值关系,并以此为基础进行了站间数据互补分析,以弥补局部数据丢失造成的重测、补测损失。实例分析中发现,利用站间幅值关系式外