齐次生产函数与成本函数的关系

齐次生产函数与成本函数的关系

1柯布-菲尔德生产函数生产函数和成本函数是微观经济学的两个重要基本概念。通常,它们均可用来描述厂商采用的生产技术。从生产函数的角度,文献直接从公理化体系来考察生产函数的属性,文献针对特殊的生产行为来构造或者揭示相应生产函数的特征,文献在柯布-道格拉斯生产函数的条件下研究了企业的利润最大化生产决策,文献应用柯布-道格拉斯生产函数研究了林产品的投入产出问题。从成本函数的角度,文献研究了生产的规模报酬与成本弹性的关系。一般来讲,对于给定的生产技术,厂商的成本最小化或产量最大化行为将会导致生产函数和成本函数之间存在一定的对应关系。文献指出,柯布-道格拉斯生产函数条件下的成本函数是产量的幂函数。进一步,文献确定了一般齐次生产函数条件下的成本函数,并证明了该成本函数是产量的幂函数。现在的问题是,(1)既然成本函数是生产函数在厂商成本最小化这个变换的结果,那么在这个变换规则下,生产函数与成本函数的一般关系应当是什么呢?(2)对于广泛应用的齐次技术,齐次生产函数在成本最下化的规则下是否变换成单变量齐次成本函数(下面简称齐次成本函数)(3)齐次成本函数对应的生产函数是否为齐次生产函数?应当指出,尽管文献实际上已经解决了第二个问题,但本文将提供一种更简洁证明。2qc-1、i=1i考虑厂商的生产函数为Q=f(x1,x2,…,xN),其中,Q为要素投入组合(x1,x2,…,xN)下的产量,xi(i=1,2,…,N)为第i种要素的投入量。设第i种投入要素的价格为pi,则厂商的生产成本为ΤC=p1x1+p2x2+⋯+pΝxΝ=Ν∑i=1pixi。对于给定的产量Q,厂商的成本最小化生产行为可以表示为minxi{ΤC}=minxiΝ∑i=1pixi(1)s.t.f(x1‚x2‚⋯‚xΝ)=Q最优化问题(1)的拉格朗日函数为L=Ν∑i=1pixi-λ(f(x1‚x2‚⋯‚xΝ)-Q)式中,λ为拉格朗日乘子。厂商成本最小化的一阶条件为λ∂f∂xi=pi(i=1‚2‚⋯‚Ν)(2)由式(2)可得ΤC=p1x1+p2x2+⋯pΝxΝ=Ν∑i=1pixi=λΝ∑i=1xi∂f∂xi由成本函数的定义可知ΤC=C(Q)=λΝ∑i=1xi∂f∂xi(3)式中,C(Q)为成本函数。根据包络命题,拉格朗日乘子λ为产量Q的影子价格,即每单位产量增加导致的总成本增加。因此,λ为厂商最优决策下的边际成本,即λ=dΤCdQ=C´(Q)(4)由式(3)和式(4)可得如下结论。命题1生产函数与成本函数之间的一般关系为{C(Q)C´(Q)=Ν∑i=1xi∂f∂xiC´(Q)∂f∂xi=pi(i=1‚2‚⋯‚Ν)(5)命题1给出了生产函数与成本函数之间的一般关系。根据这一关系,给定生产函数可以求出成本函数(其解法可以在通常的微观经济学教材中找到)。反过来,对于给定成本函数,是否可以应用式(5)方便地求出生产函数?事实上,由式(5)可以得到C(Q)=Ν∑i=1pixi(6)式(6)与总成本的定义一致。由于成本函数是关于产量Q的单调递增函数,因此它的逆函数存在。对于Q>0,定义Q=f(x1‚x2‚⋯‚xΝ)≡C-1(Ν∑i=1pixi)(7)式中,C-1(·)为成本函数的逆函数。下面,证明Q≡C-1(Ν∑i=1pixi)为成本函数C(Q)对应的生产函数。首先,证明Q≡C-1(Ν∑i=1pixi)满足命题1提供的生产函数与成本函数的一般关系,即C(Q)C´(Q)=Ν∑i=1xi∂f∂xi将式(7)代入此式的右边可得Ν∑i=1xi∂f∂xi=1C´(Q)Ν∑i=1pixi根据总成本的定义有ΤC=Ν∑i=1pixi,因此Ν∑i=1xi∂f∂xi=1C´(Q)Ν∑i=1pixi=ΤCC´(Q)=C(Q)C´(Q)这表明,依据式(7)定义的函数满足生产函数与成本函数的一般关系。下面证明Q≡C-1(Ν∑i=1pixi)符合生产函数的定义,即各种要素投入量的组合与所能产生最大产量之间的对应关系。假设存在另一函数Q′=H(x1,x2,…,xN)对于任意给定的要素投入量组合(x1,x2,…,xN)使得Q′=Η(x1‚x2‚⋯‚xΝ)＞Q≡C-1(Ν∑i=1pxixi)且其成本函数为同一C(Q),则有成本函数随着Q的增加单调递增的性质可知C(Q′)>C(Q)(8)另一方面,产生同一要素投入量组合(x2,x2,…,xN)均为ΤC=C(Q)=Ν∑i=1pixi=C(Q´)。这与式(8)矛盾。因此,Q≡C-1(∑i=1Νpixi)为要素投入量的组合(x1,x2,…,xN)能产生最大产量。即,Q≡C-1(∑i=1Νpixi)为成本函数C(Q)对应的生产函数。上述证明过程表明,命题1蕴涵着Q≡C-1(∑i=1Νpixi),并且Q≡C-1(∑i=1Νpixi)为要素价格向量为(p1,p2,…,pN)和要素种类为(x1,x2,…,xN)时的成本函数C(Q)对应的生产函数。命题2:当要素价格向量为(p1,p2,…,pN)时,如果厂商采用的要素种类为(x1,x2,…,xN),则成本函数C(Q)对应的生产函数为Q=f(x1‚x2‚⋯‚xΝ)≡C-1(∑i=1Νpixi)。命题1和命题2表明,通过式(5)给定的生产函数与成本函数的一般关系,只要给定要素价格向量和要素种类,厂商可以对给定成本函数(或者成本预算)确定生产函数。下面的例子说明了由已知的成本求解生产函数的方法。例1:设厂商的长期成本函数为C(Q)=bQ+cQ2(Q>0),b>0,c>0厂商在要素价格向量为(p1,p2,…,pN)时计划采用N种要素为(x1,x2,…,xN),试确定厂商的生产函数。解:由于任意成本函数下厂商的生产函数为Q=C-1(∑i=1Νpixi),因此当成本函数为C(Q)=b(Q)+cQ2时,厂商的生产函数为Q=C-1(∑i=1Νpixi)=-b+b2+4c(∑i=1Νpixi)2c下面验证,上式确定的生产函数的长期成本函数为C(Q)=bQ+cQ2(Q>0)。由厂商的成本最小化行为可得一阶条件为λpib2+4c(∑i=1Νpixi)=pi(i=1‚2‚⋯‚Ν)式中,λ为产量约束Q=-b+b2+4c(∑i=1Νpixi)2c对应的拉格朗日乘子。由上式和产量约束可以解出λ*=b2+4c(∑i=1Νpixi)和C(Q)=bQ+cQ2。综合上述论证,命题1不仅从理论上给出了生产函数与成本函数的一般关系,而且在实践上为企业提供了一种对给定生产技术进行成本估算和给定成本预算下的生产技术选择的方法,因此,命题1具有重要的现实意义。3齐次生产函数齐次生产函数和齐次成本函数是理论和实践中广泛采纳的函数形式。尽管文献证明了m齐次生产函数下的成本函数是幂次为1m的幂函数,解决了齐次生产函数下的成本具有的特征是什么这一问题。反过来,齐次成本函数下的生产函数应当具有什么特征?下面,我们将研究齐次生产函数与齐次成本函数之间的关系。首先,我们给出齐次函数的定义。定义1如果函数F(x1,x2,…,xN)满足:对任意实数t,F(tx1,tx2,…,txN)=tmF(x1,x2,…,xN),则称F(·)为m次齐次函数。为研究齐次生产函数与齐次成本函数之间的关系,我们再给出关于齐次函数的两个重要命题。引理1如果函数F(x1,x2,…,xN)为m次齐次函数,则∂F∂xi(t=1‚2‚⋯‚Ν)为m-1次齐次函数。证明:略。引理2函数F(x1,x2,…,xN)为m次齐次函数的充分必要条件为∑i=1Νxi∂F∂xi=mF(9)证明:略。3.1成本函数c为5m次齐次函数假设生产函数Q=f(x1,x2,…,xN)为m次齐次函数,则由引理1可知∑i=1Νxi∂f∂xi=mf(10)再由命题1(式(5))可得C(Q)dQdC(Q)=∑i=1Νxi∂f∂xi(11)根据生产函数的定义,联立式(10)和(11)有C(Q)dQdC(Q)=∑i=1Νxi∂f∂xi=mf=mQ即dC(Q)C(Q)=1mdQQ解此微分方程可得lnC(Q)=1mlnQ+A式中,A为待定常数。令上式中的Q=1,则有A=lnC(1),因此C(Q)=C(1)Q1m(12)根据式(12),我们有C(t(Q)=C(1)(tQ)1m=t1m[C(1)Q1m]=t1mC(Q)这表明,成本函数C(·)为1m次齐次函数。归纳起来,有如下结论。命题3任意m次齐次生产函数条件下的成本函数为1m次齐次函数,即幂次为1m的幂函数。命题3表明,齐次生产函数在厂商的成本最小化决策下必然产生齐次成本函数,并且根据式(12)可以准确地预测给定的齐次生产函数导致的成本函数。应当指出,文献也给出与命题2相同的结论,但是二者得到该结论的方法不同。文献应用多项式恒等关系导出该结论,其过程较为繁琐;而本文通过生产函数与成本函数之间的一般关系(命题1)和齐次函数的性质推出命题3,其过程较为简洁。下面,用一个例子验证命题3。例2:假设某企业用资本K和劳动L两种要素生产某产品,资本和劳动的价格分别为pK和pL。设该企业的生产函数为柯布——道格拉斯生产函数,即Q≡g(K,L)=BLαKβ(B,α,β>0)(13)则对任意实数t,有g(tK,tL)=B(tLα)(tKβ)=tα+βBLαKβ=tα+βg(K,L)这表明,该企业的生产函数为α+β次齐次函数。进一步,由式(12)和式(13)可知,该企业的成本函数为C(Q)=C(1)Q1α+β上式与文献根据企业成本最小化决策得到的结果一致。对任意的实数k,有C(tQ)=C(1)(kQ)1α+β=k1α+β[C(1)Q1α+β]=k1α+βC(Q)这表明,该企业的成本函数为1α+β次齐次函数。3.2qc-1i=1pivi的生产函数下面考察齐次成本函数条件下的生产函数的特征。假设厂商的总成本为TC=C(Q),并且,对任意实数t有C(tQ)=tkC(Q)(14)即成本函数为k次齐次函数。注意到tkC(Q)=tk∑i=1Νpixi,从而由式(14)可知C(tQ)=tkC(Q)=tk∑i=1Νpixi,因此tQ=C-1(tk∑i=1Νpixi)(15)令h=tk,则式(15)可改写为h1kQ=C-1(h∑i=1Νpixi)=C-1(∑i=1Νpi(hxi))由Q≡C-1(∑i=1Νpixi)可知h1kC-1(∑i=1Νpixi)=C-1(∑i=1Νpi(hxi))这表明,C-1(·)为1k次齐次函数,即齐次成本函数条件下的生产函数为齐次函数。归纳起来,有如下结论。命题4如果成本函数为关于产量Q的k次齐次函数,则生产函数关于要素投入组合(x1,x2,…,xN)为1k次齐次函数。命题4表明,齐次成本函数必然产生对应于齐次的生产函数,这实际上回答文献未能回答的一个反问题,即齐次成本函数对应的生产函数应当具有什么特征?并且,只要企业知道成本函数(比如成本计划)就可以根据命题4给出的生产函数组织最优的生产,即选择相应的齐次生产函数。下面,用一个例子验证命题4。例3:假设某企业用资本K和劳动L两种要素生产某产品,资本和劳动的价格分别为pK和pL。设该企业的成本函数C(Q)=cQ2(c>0,Q>0),则对任意实数t,有C(tQ)=c(tQ)2=t2(cQ)2=t2C(Q)这表明,该企业的成本函数为2次齐次函数。再由命题2可知,该企业的生产函数为Q≡f(Κ‚L)=C-1(pLL+pΚΚ)=pLL+pΚΚ(Q＞0)从而,对任意实数k,有f(dΚ‚dL)=dpLL+dpΚΚ+d12pLL+pΚΚ=d12