2022-2023学年广东省江门市金山中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年广东省江门市金山中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略2.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（

）．（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A试题分析：现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，共有4种结果（红，红）（红，白）（白，红）（白，白），记“取出的两个球同色”为事件A，则A包含的结果有（白，白）（红，红）2种结果由古典概率的计算公式可得P（A）=考点：等可能事件的概率3.已知，是虚数单位，若，，则（

）A． B． C． D．参考答案：B4.已知,,若，则的值不可能是………（

）（A）.

（B）.

（C）.

（D）.

参考答案：D5.（2﹣i）（﹣2+i）=（）A．﹣5 B．﹣3+4i C．﹣3 D．﹣5+4i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（2﹣i）（﹣2+i）=﹣4+2i+2i﹣i2=﹣3+4i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．6.（多选题）若a、b为正实数，则的充要条件为（

）A. B. C. D.参考答案：BD【分析】根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与等价的即可.【详解】因为，故A选项错误；因为，为正实数，所以，故B选项正确；取，则，，即不成立，故C选项错误；因为，当时，，所以在上单调递增，即，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的单调性，属于中档题.7.已知∈(,)，sin=,则tan()等于（

）.A．

B．7

C．－

D．－7参考答案：A8.下列命题中真命题的个数是（1）若命题中有一个是假命题，则是真命题．（2）在中，“”是“”的必要不充分条件．（3）表示复数集，则有．A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】C

解析：命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C【思路点拨】根据p∧q，￢p的真假和p，q真假的关系，二倍角的正弦公式，复数的概念即可判断这几个命题的真假．9.已知函数，若在区间（0，16）内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】由题意可得总的区间长度，解不等式可得满足条件的区间长度，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：令f（x）=0，解得：x=4，故在区间（0，16）内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率p==，故选：D．【点评】本题考查几何概型，涉及不等式的解法，属基础题．10.已知集合，，则A∩B=（

）A．

B．C．

D．参考答案：D由题意得：，∴故选：D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为

．（用数字作答）参考答案：9略12.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=

．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故答案为：．【点评】本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．13.在棱长为1的正方体AC1中，点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界)，若动点P始终满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为________．参考答案：14.命题p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是命题（选填“真”或“假”）．参考答案：真．【分析】举出正例x0=﹣1，可判断命题的真假．【解答】解：x2+2x+1=0的△=0，故存在?x0=﹣1∈R，使x02+2x0+1≤0成立，即命题p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命题，故答案为：真．15.已知θ∈（0，π），且sin（θ﹣）=，则tan2θ=

．参考答案：﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答： 解：∵sin（θ﹣）=（sinθ﹣cosθ）=，∴sinθ﹣cosθ=，①∴1﹣2sinθcosθ=，2sinθcosθ=＞0，依题意知，θ∈（0，），又（sinθ+cosθ）2=1+sin2θ=，∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，∴tan2θ==﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数间的关系式的应用，考查二倍角的正弦、余弦与正切，属于中档题．16.若向量，满足||=1，||=2且与的夹角为，则|+|=________。参考答案：，所以，所以。17.设、满足约束条件：，则的最大值是。

参考答案：答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）证明：；（2）证明：.参考答案：（1）记则；那么在区间上单调递减；又，所以即成立；（2）记，易知所以存在，使得；因为在上是增函数，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，所以又由（1）可知：当时，综上：.19.（本小题满分12分）如图，四边形与均为菱形，，且，（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：AE∥平面FCB；（Ⅲ）求二面角的余弦值。参考答案：(Ⅰ)证明：设与相交于点，连结，菱形中，，且为中点，又，所以，又，所以平面；（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，所以//，//，，所以平面//平面,又平面，∴AE∥平面FCB；

（Ⅲ）解：菱形中，，为中点，所以，故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，．

设平面的法向量为，则有即

取，得；易知平面的法向量为，由于二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为。略20.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1（1）求直线DB与平面A1BCD1所成角的大小；（2）求四棱锥D﹣BCD1A1的体积．参考答案：

考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，如图所示．利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得到线面角；（2）利用点到平面的距离公式及四棱锥的体积计算公式即可得出．解答：解：（1）以D为坐标原点，分别以射线DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）．，，．设是平面A1BCD1的法向量，则，即令z=1，则y=1，x=0，∴．设直线DB与平面A1BCD1所成角为θ，则===．由于，∴．即直线DB与平面A1BCD1所成角的大小为；（2）由（1）得．∴点D到平面A1BCD1的距离．∵四边形A1BCD1是矩形，∴面积S=BC?CD1=．∴．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角得到线面角；利用向量表示点到平面的距离公式，四棱锥的体积计算公式是解题的关键．21.（本题满分12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中及图中的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.分组频数频率100.252420.05合计1

参考答案：（Ⅰ）由分组内的频数是，频率是知，，所以.

………………1分因为频数之和为，所以，.

………………2分.

………………3分因为是对应分组的频率与组距的商，所以.……………4分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人.

………6分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间内的人为.则任选人共有，15种情况，而两人都在内只能是一种，

………………8分所以所求概率为.

………………10分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数)．(Ⅰ)求函数f(x)在区间上的最小值及相应的x值；(Ⅱ)若存在x?，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围．参考答案：(Ⅰ)解：f(x)=alnx+x2的定义域为(0，+∞)，f′(x)=+2x=．·····················1分当x?时，2x2?．································································2分若a≥-2，f′(x)在上非负(仅当a=-2，x=-1时，f′(x)=0)，故f(x)在上单调递增，此时f(x)min=f(1)=1；··········································3分若-2e2<a<-2，令f′(x)<0，解得1≤x<，此时f(x)单调递减；令f′(x)>0，解得<x≤e，此时f(x)单调递增，∴f(x)min=f()=；·····························································4分若a≤-2e2，f′(x)在上非正(仅当a=-2e2，x=e时，f′(x)=0)，故f(x)在上单调递减，此时f(x)min=f(e)=a+e2．······································5分综上所述，得a≥-2时，f(x)min=1，相应的x=1；当-2e2<a<-2时，f(x)min=，相应的x=；当a≤-2e2时，f(x)min=a+e2，相应的x=e．······························6分(Ⅱ)解：不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-lnx)≥x2-2x．∵x?，∴lnx≤1≤x且等号不能