工程课件电磁场与电磁波之

第7章导行电磁波

7.1导行电磁波概论

7.2矩形波导

*7.3圆柱形波导*7.4同轴波导

7.5谐振腔

7.6传输线

低、中频区（双导体）中高频区（微带线）高频区（金属波导）

各种载波体7.1导行电磁波概论1、导波模式的分类在任何均匀导波装置中传播的波都可以分为以下三种模式:

在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，电场和磁场全部在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM波。

在电磁波传播方向上有电场分量，但没有磁场分量，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM波。

在电磁波传播方向上有磁场分量，但没有电场分量，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE波。2、均匀导波装置满足的条件

波导的横截面沿z方向是均匀的。

波导内填充的媒质为理想介质，即且各向同性。

场随时间作简谐变化

所讨论的区域内没有源分布,即

构成波导壁的导体是理想导体,即

解析法——在给定边界条件下求解波动方程，得电磁波的传播特性3、讨论方法：

等效传输线法——双导体系统且低频情况下，引入分布参数，用“电路”中的电压、电流等效波导中的电场和磁场直角坐标系考虑同理由yxz4、导行电磁波的纵向场量表达式由复数形式的麦氏方程

均匀导波系统中，可用两个纵向场分量Ez和Hz表示其余的横向场分量

Ex、Ey、Hx、Hy。

两个纵向场分量Ez和Hz可由相应的亥姆霍兹方程

可根据两个纵向场分量Ez和Hz的存在与否，对波导中的电磁波进行分类。

及边界条件确定。一、横电磁波(TEM)

为Ez=0,Hz=0,因由该式可以看出Ex、Ey、Hx、Hy有非零解的条件为其相位系数（波数）相速度波阻抗相伴的磁场

二、横磁波(TM)因为Hz=0，其场分量波阻抗相伴的磁场

三、横电波(TE)波阻抗相伴的磁场因为Ez=0，其场分量四、TE、TM波的传播特性截止波数

临界点纯虚数，可传播（无衰减）截止实数，不能传播（衰减）

截止频率

截止波长其中，和由波导的具体形式决定当时，7.2矩形波导矩形波导及所有单导体波导不能传输TEM波如图表示的矩形波导，对于TM波，有故所有的场分量由Ez决定，而考虑得式中现在的问题是求解下列偏微分方程的边值问题设该偏微分方程具有分离变量形式的解（1）场分量

矩形波导abxy一、TM波（）同除以XY且于是由边界条件由边界条件若只能取于是由边界条件由边界条件于是可得矩形波导中TM波的各场分量将式中（2）传播特性

模式:由TM波的场分量可知，对应不同的m和n，代表不同的TM场结构模式，用TMmn表示。

传播系数使的频率可由求得称为截止频率或临界频率。不同的模式不同若传播系数为纯虚数，由其场的表示可知，这时的TM波沿矩形波导的+z方向传播若为实数传播系数为实数，此时表示衰减，电磁波不能传播

相速度若相速度式中为电磁波在无界空间的波速

波导波长

电磁波在无界空间的波长与截止频率相对应的截止波长式中若若

波导中的相速度和波长大于无界空间中的相速度和波长。若

!

由TM模的场分量表示可知，m和n都不能为零，否则全部场量为零，故矩形波导中最低阶的TM模式是

TM11

模。二、TE

波()与求解TM波的方法相同，可以得到TE波的场量表示式

的求解公式与TM波相同。

矩形波导中存在无穷多个TE波的模式—TEmn

。与TM不同，这时m和n可以取零，但不能同时为零。即存在TE10模和TE01模而不存在TE00模。

如图为矩形波导中TE10、TE11、TE21模的场分布图。TE10TE11TE21

矩形波导中TE10、TE11、TE21模的场分布图讨论：1、

矩形波导中可能存在的模式有TMmn和TEmn。

确定的模式有确定的截止波长（或截止频率）。

简并:不同的模式也可以有相同的截止波长（TMmn和TEmn当m和n分别相等时）这种现象称为简并。Ⅰ区：截止区当工作波长时，矩形波导中不能传播任何电磁波。Ⅱ区：单模区当工作波长时，矩形波导中只能传播单一的电磁波模式TE10模。Ⅲ区：多模区当工作波长时，矩形波导中至少可以传播两种以上的电磁波模式。

各种模式的截止波长分布图(模式分布图)。（设波导尺寸为）TE10TE20TE01TE11TM11TE30TM12TE122ba2aⅠⅡⅢ

为在矩形波导中实现单模传输，对于给定的工作波长，应选择波导的尺寸使成立，即波导的尺寸a、b

应满足的条件，一般采用2、波阻抗对于矩形波导式中为媒质的本征阻抗。由波阻抗的表达式可知：为实数为实数呈纯电阻性为虚数呈纯电抗性为虚数——电磁波只有衰减，没有传播。能量没有损耗，而是在波源与波导之间来回反射三、矩形波导中的TE10波在矩形波导中大多采用TE10模式，这是因为该模式具有以下优点：

由设计的波导尺寸实现单模传输。

截止波长相同时，传输TE10所要求的a

边尺寸最小。同时TE10模的截止波长与b边尺寸无关，所以可尽量减小b的尺寸以节省材料。但考虑波导的击穿和衰减问题，b不能太小。

当时，由TE波的场分量表示式可知电场只剩下分量。这表明波导中可以获得单方向极化波，激励与耦合容易，而这正是某些情况下所要求的。

由模式分布图可知，TE10模和TE20模之间的距离大于其他高阶模之间的距离，因此可使TE10模在大于1.5:1的波段上传播。

对于一定比值a/b，在给定工作频率下TE10模具有最小的衰减。1、TE10模的场分量将m=1,n=0

代入TE波的场分量表示式（参见教材式(7.2.20)、(7.2.22a)~(7.2.22d)

）得TE10

模的场分量表示式为式中其三维场分布如图2、TE10模的管壁电流和电荷分布波导壁面上电荷由边界条件给出波导壁面上电流由边界条件给出将TE10波的场分量同理

TE10模的管壁电流3、TE10模的场分布特点1）只有三个场分量2）横向分量与y无关，即各分量在y方向为均匀分布；在x方向各分量为驻波分布，且场的横向分量与纵向分量在x方向上的分布相差3）纵向分布各量均为正弦波，但与纵向分量的相位也相差四、能量传输

电磁波在波导中传播时必将有能量的传输。当终端为匹配负载或波导为无限长，这时波导中的传输功率波导横截面所以波阻抗例如，矩形波导中的模：得

若以波导的击穿电场强度代替，就可求出在模状态下沿波导传输的极限功率

考虑到波导中还可能存在反射波和局部电场不均匀等问题，一般取容许功率为

若考虑波导壁的损耗，电场和磁场沿波导传播时有衰减因子，则传输功率的大小

单位长度上减小的功率

此功率应等于单位长度上损耗的功率

由此可得衰减系数

为分量在波导宽边中心处的振幅值矩形波导

特点：在截止频率附近,衰减突然增大；同一比值，模的衰减比的衰减小；同一模式，愈大，衰减愈小。解：1、由TM波的场量表示式式中取m=1,n=1

并由复数值求瞬时值的规则，得

例7.2.1

在截面尺寸为的矩形波导中传播TM11模，试写出其场量瞬时值表示式，并画出三个截面上的场量分布图。（教材例7.2.1)式中2、截止频率、波导波长、相速、波阻抗实线为电力线,虚线为磁感应线zxzyabxy如图为矩形波导中TM11场分布例7.2.2a=22.86,b=10.16,f=10GHgTE10

解：1、工作波长截止波长截止频率波阻抗波导波长a=22.86,b=10.16,f=10GHgTE10工作波长截止波长截止频率波阻抗波导波长而此时可传播TE20、TE30波2、﹡7.3圆柱形波导

求圆柱形波导内场量分布的方法与求矩形波导内场量分布的方法相同，只是应采用圆柱坐标系，如图所示。将麦氏方程圆柱坐标系同理由yxzr

圆柱坐标用分离变量法求解该方程同样可采用两个纵向场分量和来表示其他场分量一、TM

波满足亥姆霍兹方程在圆柱坐标系中设式中改写为第二类m阶贝塞尔函数第一类m阶贝塞尔函数其通解令Ez具有分离变量形式的解为满足场量沿具有周期m

应为整数。柱贝塞尔方程其通解其性质：于是所以方程的通解式中由激励源决定设可得圆柱形波导中TMmn模的场分量为本征值h

由边界条件确定

为的第n个根，可由相应的贝塞尔函数表查得。教材P199表8.4.1给出了Pmn的前几个值。传播特性

截止频率

截止波长

传播系数

相速度

波导波长二、TE

波运用相同的方法，可得到圆柱形波导中TE波的各个场分量式中由激励源决定本征值h

由边界条件确定

为的第n个根，可由相应的贝塞尔函数表查得。教材P200表8.4.2给出了P’mn的前几个值。

截止频率

截止波长

传播系数

相速度

波导波长

三、圆柱形波导中的最低阶模式TM波的最低截止频率———TM01模TE波的最低截止频率———TE11模

圆柱形波导中的最低阶模式为TE11

圆波导中TM01模

圆波导中TE11模

圆柱形波导中截止波长分布TE11TM01TE21TE01TM11TE21TM21TE12TM02Ⅲ

Ⅱ

Ⅰ

a2a

3aTE32TE02TM12四、圆波导中的截止波长分布图可见主模TE11与次高模TM01之间的间距比矩形波导中相应的间距小得多，所以圆波导在单模工作时的带宽小于矩形波导单模工作时的带宽。简并模式由贝塞尔函数的性质得TM的TE的为简并模式波阻抗

7.5谐振腔

随着频率的增高，电磁波的波长接近元件尺寸，由集总参数元件组成的振荡回路容易产生辐射，损耗增大。故采用空腔谐振器。

空腔谐振器的形成过程。

几种常见的微波谐振腔。

（a）矩形腔（b）圆柱腔（c）同轴腔

谐振腔的主要参量是：

谐振频率和品质因素。

d以矩形谐振腔为例，说明有关参数的计算方法。1、谐振频率由式（7.2.27)知矩形波导中TMmn和TEmn的相位系数与之对应的频率即为谐振腔的谐振频率式中bxalzyO

矩形谐振腔由于在z=0,l处存在，要求

考虑横截面为的矩形波导。假设z轴为参考的“传播的方向”。由于在z=0和z=l处存在导体壁，波将在其间来回反射形成驻波()，所以在空腔内不可能有波的传播。由此构成一个矩形谐振腔。由上述表达式，m、n不能为零，而p可以为零两种模式的谐振频率表达式相同，谐振频率最低的模式为主模。由上述表达式，m、n均可为零，但不能同时为零，而p不能为零储存的能量损耗的功率2、品质因素谐振腔的另一重要参数，其定义为设为谐振腔内的时间平均功率损耗有例：7.5.1

求矩形谐振腔内主

模式和谐振频率。解：最低谐振频率主模为TM110最低谐振频率主模为TE1012、3、主模为TM110、TE011、TE101模式，m、n不能为零，而p可以为零模式，m、n均可为零（但不能同时为零），而p不能为零1、可能的最低模式为作业：思考题：7.7、7.10、7.16、7.18

习题：7.2、7.4、7.15、7.16例7.5.2谐振腔平均储电能而谐振腔平均储磁能谐振腔平均储能谐振腔单位面积功率损耗谐振腔平均功率损耗得沿+z方向传播的分量例：求矩形谐振腔内TE101模式的谐振频率和场结构。（不讲）解：由矩形波导中TE10模的场分布式得矩形谐振腔内TE101模式的场量为沿-z方向传播的分量由条件得于是得由条件则相应的k为故谐振频率为7.6传输线

双导体传输线可以传输TEM波，例如平形双线、同轴线等。

采用“路”的分析方法，把传输线作为分布参数电路处理；

由基尔霍夫定律导出传输线方程，进而讨论波沿线的传播特性。一、分布参数的概念

分布参数电路是相对于集总参数电路而言的。当传输线传输高频信号时会出现以下分布参数效应：

电流流过导线使导线发热，表明导线本身有分布电阻R；

双导线之间绝缘不完善而出现漏电流，表明导线之间处处有漏电导G；

导线之间有电压，导线间存在电场，表明导线之间有分布电容C；

导线中通过电流时周围出现磁场，表明导线上存在分布电感L。

假设传输线的电路参数是沿线均匀分布的，这种传输线称为均匀传输线。可用以下4个参数来描述。7.6.1传输线方程及其解

：单位长度的电阻；：单位长度的电感；：单位长度的电导；：单位长度的电容二、传输线方程及其解

平行双线传输线ZLzdzu

在如图均匀传输线上任一点z取线元dz讨论(以上参数都可以用稳态场来进行定义和计算)

由基尔霍夫定律(为讨论方便,取坐标原点在负载)而dzC1dzG1dz

R1dz

L1dz

u(z,t)+dui(z,t)

线元dz的等效电路i(z,t)

u(z,t)1、传输线方程波动方程相位系数（rad/m)对z求导得电报方程对于正弦波同理衰减系数（Np/m)传播系数式中2通解式中特性阻抗由边界条件定由负载到电源——反射波由电源到负载——入射波

已知终端电压、电流将联立解得3、特解双曲函数形式：

已知始端电压、电流将联立解得双曲函数形式：沿+z方向传播的行波，称为反射波电流。沿-z方向传播的行波，称为入射波电流。7.6.2传输线上波的传输特性参数由前面的分析得传输线上任意点的电压电流分布为沿-z方向传播的行波，称为入射波电压。沿+z方向传播的行波，称为反射波电压。一、特性阻抗无损耗线二、传播系数无损耗线式中传输线上任一点的电压和电流的比值定义为该点向负载端方向看去的输入阻抗。由式(7.6.16)式中为终端负载阻抗无损耗线（1）终端短路三、输入阻抗讨论：纯电抗变化曲线见图7.6.3a电压波腹点（电流波节点）并联谐振电压波节点（电流波腹点）串联谐振为任意值电容性或电感性（2）终端开路变化曲线见图7.6.3b纯电抗并联谐振串联谐振由此关系可确定开路——短路法（3）终端负载

=匹配输入阻抗与Z无关（4）线阻抗变换性容性感性传输线上相距两点的输入阻抗的乘积等于常数输入阻抗不变阻抗还原性（重复性）相距两点的输入阻抗相等四、反射系数传输线上任一点的反射波电压和入射波电压的比值定义为该点的反射系数。由沿线的电压电流表示（5）线沿+z方向传播的行波，称为反射波电流。沿-z方向传播的行波，称为入射波电流。沿+z方向传播的行波，称为反射波电压。沿-z方向传播的行波，称为入射波电压。终端入射波电压终端反射波电压终端入射波电流终端反射波电流于是反射系数式中

称为传输线的终端反射系数故无损耗线同样可定义电流反射系数

电流反射系数与电压反射系数相差一负号。

通常采用电压定义反射系数。讨论：（1）反射系数与电压、电流的关系（3）与的关系（2）与的关系由得无反射、匹配全反射、驻波驻波全反射、驻波五、驻波系数无耗，行波系数7.6.3传输线的工作状态

传输线的工作状态取决于传输线终端所接的负载。一、行波状态传输线上无反射波，只有入射波的工作状态称为行波状态。这时由无损耗线瞬时值形式行波状态下无损耗线的特点：