2022年山东省青岛市第二十一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年山东省青岛市第二十一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数

若，则（

）A．或

B．

C．

D．1或参考答案：A2.已知集合，则（）

A． B．

C． D．

参考答案：A，

∴，，选A

3.函数的值域是A．

B．

C．

D．参考答案：B知识点：均值定理的应用解析：当时，当时，所以函数的值域是：。故答案为：B4.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（

）A.，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 B.，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C.，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 D.，乙比甲稳定，应选乙参加比赛参考答案：B【分析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.【详解】由题得，，所以.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，所以要派甲参加.故选：B【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）

参考答案：A6.已知，则（

）A．

B．

C．或0

D．或0参考答案：D

考点：三角函数求值、平方关系.7.若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．【解答】解：依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量与的夹角是，故选C8.若不等式组表示的区域，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻约为（

）A．114

B．10

C．150

D．50参考答案：A试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域内的概率为，所以落在区域中芝麻约为,故选A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.9.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为5的两个全等的等腰直角三角形.用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为5的正方体（

）A.2个

B．3个

C．4个

D．5个参考答案：B略10.设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则________________。参考答案：412.若常数，则函数的定义域为

参考答案：13.函数y=的定义域是

．参考答案：（﹣1，2）【考点】对数函数的定义域．【分析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，分母不等于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义，须解得﹣1＜x＜2，即函数的定义域为（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）14.若函数且，，则____________.参考答案：1【分析】首先根据两个函数值求，再求和.【详解】根据条件可知，解得：，即，，故填：1.【点睛】本题考查分段函数求值，意在考查基本的计算能力，属于简单题型.15.已知，则＝_____▲_____．参考答案：答案：16.“无字证明”(proofswithoutwords)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：____________.参考答案：略17.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在五面体ABCDFE中，侧面ABCD是正方形，是等腰直角三角形，点O是正方形ABCD对角线的交点，且.（1）证明：OF∥平面ABE；（2）若侧面ABCD与底面ABE垂直，求五面体ABCDFE的体积.参考答案：（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（2）取的中点，的中点，连接、、，将五面体分割为三棱柱和四棱锥，证明出底面和平面，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体的体积.【详解】（1）取的中点，连接、，侧面为正方形，且，为的中点，又为的中点，且，且，，所以，四边形为平行四边形，.平面，平面，平面；（2）取的中点，的中点，连接、、，四边形为正方形，.平面平面，平面平面，平面，底面，易知，，，，为中点，，，平面，平面，，，、平面，平面.，平面，且，，因此，.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.19.(本题满分13分）如图,是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.参考答案：(Ⅰ)证明：因为平面，

所以.……………2分因为是正方形，所以，又相交从而平面.

…4分(Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即，

5分所以.由可知，.…6分则，，，，，所以，，………7分设平面的法向量为，则，即，令，则.

………8分因为平面，所以为平面的法向量，，所以.

……9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

………10分(Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以,……11分即，解得.

………12分此时，点坐标为，，符合题意.

…………13分20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．21.某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：

倾向“平面几何选讲”倾向“坐标系与参数方程”倾向“不等式选讲”合计男生164626女生481224合计20121850（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：K2=．P（k2≤k0）0.1000.0500.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828参考答案：【考点】独立性检验的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用K2=，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”，k=0，所以这两种选择与性别无关；选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”，K2=≈6.969＞6.635，∴有99%的把握认为选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”与性别有关；选倾向“平面几何选讲”与倾向“不等式选讲”，K2=≈8.464＞7.879，∴有99.5%的把握认为选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关，综上所述，选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关的把握最大；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，则P（ξ=﹣3）==，P（ξ=﹣1）==，P（ξ=1）==，P（ξ=1）==，ξ的分布列ξ﹣3﹣113P数学期望Eξ=（﹣3）×+（﹣1）×+1×+3×=．【点评】本题主要考查独立性检验、分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．22.（本题满分12分）已知：函数．

（Ⅰ）若，求函数的值域;

（Ⅱ）在△中，角、、所对的边分别为