2022年四川省成都市武侯中学高三数学文期末试卷含解析

2022年四川省成都市武侯中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.（12）设函数是函数的导函数，，若对任意的，都有，则的解集为（A）(－1,1)

（B）(－1,+∞)

（C）(－∞,－1)

（D）(－∞,1)参考答案：B4.已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．5 B．29 C．37 D．49参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结果．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1．∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5.已知命题，命题，则(

)A.命题是假命题

B.命题是真命题C.命题是真命题

D.命题是假命题参考答案：6.已知六棱锥的底面是正六边形，平面.则下列结论不正确的是（

）A．平面B．平面C．平面D．平面参考答案：D7.设曲线y＝x2＋1在其任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y＝g（x）cosx的部分图象可以为

（

）

参考答案：A略8.设向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则实数m等于（）A．﹣2 B．2 C． D．﹣参考答案：D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量的数乘及坐标加减法运算求得m+与﹣2的坐标，代入向量共线的坐标表示求解m的值．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），则m+=m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1），又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）×（﹣1）﹣4×（3m+2）=0，即m=﹣．故选：D．9.sin210°cos120°的值为()A.

B．－

C．－

D.参考答案：A10.定义在R上的函数是减函数，且函数的图象关于点成中心对称，若满足不等式组，则当时，的取值范围是A．

(B)

(C)

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求展开式的x2项的系数是．参考答案：1考点： 二项式系数的性质．

专题： 计算题．分析： 先求出展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，可得展开式的x2项的系数的值．解答： 解：由于展开式的通项公式为Tr+1=?=?34﹣r?，令=2，可得r=4，故展开式的x2项的系数是=1，故答案为1．点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12.若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为参考答案：0或2略13.对于任意两个正整数，定义某种运算如下：当都为正偶数或正奇数时，

。对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn。则在此定义下，集合M={(a，b)|a※b=18，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是

。参考答案：2314.命题“，如果，则”的逆命题是_________________．参考答案：，如果，则略13.执行如图3所示的程序框图，如果输入

.参考答案：916.已知双曲线C:与抛物线y2=8x有公共的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C的离心率为2，则|MF|=_____.参考答案：略17.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.参考答案：【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(13分)甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.(Ⅰ)记甲恰好击中目标2次的概率;(Ⅱ)求乙至少击中目标2次的概率;(Ⅲ)求乙恰好比甲多击中目标2次的概率;参考答案：解析：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为

（II）乙至少击中目标2次的概率为；

（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．=.

所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.19.数列{an}的各项均为正数，且an+1=an+﹣1（n∈N*），{an}的前n项和是Sn．（Ⅰ）若{an}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有Sn≥na1﹣（n﹣1），证明：Sn＜2n+1．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（I）由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2．可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，?n∈N*，1＜an＜2成立即可．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，满足{an}是递增数列，即可得出a1的取值范围．（II）a1＞2，可用数学归纳法证明：an＞2对?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即数列{an}是递减数列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．累加求和即可证明．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是数列{bn}的前n和Tn≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，令a1=+t（t＞0），可得：Sn＜na1﹣．这与Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，?n∈N*，1＜an＜2成立．（1）当n=1时，1＜a1＜2成立．（2）假设当n=k∈N*时，1＜an＜2成立．则当n=k+1时，ak+1=ak+﹣1∈?（1，2），即n=k+1时，不等式成立．综上（1）（2）可得：?n∈N*，1＜an＜2成立．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，∴{an}是递增数列，a1的取值范围是（1，2）．（II）证明：∵a1＞2，可用数学归纳法证明：an＞2对?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即数列{an}是递减数列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是Sn=a1+a2+…+an≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是数列{bn}的前n和Tn≤＜3b1≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：Sn＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：Sn＜na1﹣．这与Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴时不合题意．综上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故数列{bn}的前n项和Tn≤＜b1＜1，∴Sn=2n+Tn＜2n+1．20.（13分）（2015?淄博一模）设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：综合题；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）先对f（x）求导，根据导数研究函数的单调性，进而求出函数的极值；（Ⅱ）利用基本不等式确定导函数在0＜a＜2时的正负，然后判断f（x）的单调性；（Ⅲ）采用分离参数m的方法转化成求函数g（a）=在（0，）上的最值问题．解：依题意f′（x）=，（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），当a=3时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，当时，f′（x）＜0；f（x）单调递减；当0＜x＜，或x＞1时，f′（x）＞0；f（x）单调递增；所在f（x）极小值=f（1）=﹣2，f（x）极大值=f（）=﹣．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x+﹣a，因为2x+，（当且仅当x=时，等号成立）因为0＜a＜2，所以f′（x）=2x+﹣a＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（Ⅲ）当a∈（0，）时，由（Ⅱ）知，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．故问等价于：当a∈（0，）时，不等式1﹣a＜mlna恒成立，即m＜恒成立．记g（a）=，则g′（a）=，令M（a）=﹣alna﹣1+a，M′（a）=﹣lna＞0，所以M（a）在a∈（0，）上单调递增，M（a）＜M（）=，故g′（a）＜0，所以g（a）=在a∈（0，）上单调递减，所以M=﹣，即实数m的取值范围为（﹣]．【点评】：本题考查了用导数研究函数的极值、最值及单调性问题，还考查了恒成立问题的处理方法，综合性较强．解决恒成立问题常转化成求函数的最值问题解决．21.如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案：考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）椭圆离心率为，线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3，可确定几何量，从而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设F2（c，0），则=，所以c=1．因为离心率e=，所以a=，所以b=1所以椭圆C的方程为．

…（6分）（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣，此时P（，0）、Q（，0），．当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（﹣，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则﹣1+4mk=0，∴k=．此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为，即y=﹣4mx﹣m．联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．所以，．于是=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）===．令t=1+32m2，1＜t＜29，则．又1＜t＜29，所以．综上，的取值范围为[﹣1，）．…（15分）点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22.如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且