2021年黑龙江省伊春市宜春东方红中学高三数学理期末试题含解析

2021年黑龙江省伊春市宜春东方红中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的值为（

）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：，即，又，，所以，故选B.考点：1、分段函数的解析式；2、函数的周期性及指数与对数的性质.2.下列四个命题：①；②；③；④，其中真命题的个数是（

）（为自然对数的底数）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B3.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（

）参考答案：B试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.考点：函数图象.【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.4.直线与圆相交于两点，则是“的面积为的(

)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件参考答案：【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A解析：解：若，则直线与圆交于两点，所以,充分性成立；若△ABO的面积为，易知，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．5.函数在区间内的零点个数是（

）A．0

B．1C．2D．3参考答案：B

6.已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数k的取值范围为

（

）（A）（B）

（C）

（D）

参考答案：A，由所以当时，；当时，；所以要使的解集中有且只有一个正整数，需，选A.

7.已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆）,根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（

）（单位cm）A．

B．C．

D．参考答案：D8.

设是实数，且是实数，则

（A）5（B）6（C）7（D）8参考答案：答案：B9..将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在的值域为（

）A.[－1,2] B.[－1,1] C. D.参考答案：A【分析】由图象平移可得，根据为偶函数和的范围可求得，从而得到解析式；利用的范围求得的范围，根据正弦函数图象可求得函数值域.【详解】向左平移个单位得：又为偶函数

，

，

当时，

本题正确选项：A【点睛】本题考查三角函数图象平移变换、根据函数性质求解函数解析式、三角函数在区间内的值域问题的求解，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.10.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

A．

B．

C．

D．

参考答案：C做出约束条件对应的可行域如图，，由得。做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为．参考答案：36略12.在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则的值为．参考答案：﹣20【考点】平面向量数量积的运算．【分析】在△ABC中，a=5，b=8，C=60°中=120°然后用数量积求值即可．【解答】解：=故答案为：﹣20．13.设x,y满足的约束条件,若目标函数的最大值为8,则的最小值为.（a、b均大于0）参考答案：4由得，，所以直线的斜率为，做出可行域如图，由图象可知当目标函数经过点B时，直线的截距最大，此时。由，得，即，代入得，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.14.已知命题“若，则”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是

．参考答案：215.A、B、C三所学校共有高三学生1500人，且A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_________人．参考答案：40因为A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列，所以设三校人数为，则，所以。则在B校学生中抽取的人数为人。16.

已知；，若是的充分不必要条件，

则实数的取值范围是___________________参考答案：略17.设，其中实数满足，则的取值范围是_______.参考答案：【知识点】线性规划E5约束条件对应的平面区域如图示：约束条件由图易得目标函数z=x+2y在处取得最小值，此时,

在B处取最大值，由可得，此时,

故的取值范围为：故答案为：.【思路点拨】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值及最小值，进一步线出目标函数z的范围．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）

已知向量，，其中为坐标原点。（1）若且求向量与的夹角；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围。参考答案：解:（1）当时，向量与的夹角；

（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以，解得，所求的实数的取值范围是.略19.（本题满分12分）已知数列的前项和．（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，，∴；

………………2分

当时，，两式相减得：，即，又.∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列.

………………4分∴

，故.

………………6分（Ⅱ）∵，∴

原问题等价于对任意恒成立.

………………7分令，则，∴当时，，∴当时，，∴当时，.……10分∴，故.

………………12分略20.某公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方要成正比例，其关系如图2.（注：利润与投资量的单位：万元）(1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？参考答案：（1）设投资万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，依题意可设.

由图1，得即.

由图2，得即

故.

(2）设B产品投入万元，则A产品投入10-万元，设企业利润为万元，由（1）得

，

当，即时，.因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元。21.（12分）、在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且.（Ⅰ）试在棱上确定一点，使平面；（Ⅱ）当点在棱中点时，求直线与平面所成正弦值.参考答案：（Ⅰ)取边中点为∵底面是边长为的正三角形，∴连接，∵是边的中点

∴，所以可以建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图所示的坐标系，则有，，，，，，，设，则，，

若，则有，∴

可得即当时，.

（Ⅱ)当点在棱中点时：∴，，设平面的一个法向量∴

令，得，∴

设直线与平面所成角为，则22.选修4—2：矩阵与变换设a＞0，b＞0，若矩阵A＝把圆C：x2＋y2＝1变换为椭圆E：＋＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A－1．参考答案：B．选修4—2：矩阵与变换解（1）：设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1