立体几何的动态问题-玩转压轴题原卷版

专题4.3立体几何的动态问题感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题原因有动点变化、形成的平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.寻找不变的静范围的选择、填题空，有时应把这类动态的变化观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.中，AB，，A，沿对角线BD将△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD平面BCD，如图，含端点）的动点，则二面角QBCD的正弦值的若M，N均是线段PD的三等分点，点Q是线段MN上（包．．12231419,2419,3191132,,ABCD．．219【来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第五模拟）【举一反三】三（理））如图，在正方体ABCDABCD中，1．（2020·黑龙江牡丹江一中高O是AC中点，点P在线sin所成的角为，则的取值范围是（）．1111段AC上，若直线OP与平面ABC111133,11321143,,B．C．D．432．（2020·广东高考模拟）在正方体ABCDABCDADDAE是侧面内的动点，且平面11BE//中，11111BDC1BE()，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是11A．31C．232D．2B．3ABCDEFGR的上底面中心为，点为AH上的动O3.（浙江台州中学高三）如图，已知正方体2020·HPOQRQORPF），为EF的中点，分别记二面角，，点，为FG的三等分点（靠近点PQROPQ的平面角为,,，则（）D．A．B．C．类型二立体几何中动态问题中的距离问题【例2】（山西高三）2020·设点是棱长为的正方体2-MABCDA1B1C1D1的棱AD的中点，点在面PBCCB11若平面分别与平面和平面所成的ABCDBCCB所在的平面内，DPM锐二面角相等，则点到点的最PC1111短距离是（）26523SABC中，SASBSC1，且SA、SB、SC两两垂直，1．（2020·四川高三（理））已知三棱锥PSABC外接球面上一动点，则P到平面ABC的距离的最大值是（）是三棱锥32343A．B．3C．D．3332．已知四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线BD8（如图1），现以AC为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置棱，PD的中点分别为E，，且四F面体PACD的外接球球心落在四界，如图2），则线段EF长度的取值范围为（）.AC面体内部（不含边1414．,4AB1,．22D．14,63,4C．2【来源】3（2020广西柳州市模考）则下列结论错误的是（）江西省鹰潭市2021届高三高考二模数学（文）试题如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），A．当时，平面B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为1111设PD，PE与底面ABCD所成的0），若11212113C．25D．4【举一反三】1.（2020·四川高三CCDD内（含边界）的动点，且满足tanPAD期末）长方体ABCDABCD中，AA2AB2，1，，为该正方体侧面BCP1111122.则四棱锥PABCD体积的取值范tanPBC11围是（）22332343240,,0,,A．B．C．D．3315中，，AD，点E在线段AB（端点除外）上，现将AB2．如图，长方形ABCD1ADE沿DE2π的大小为，若折起为ADE．设ADE，二面角ADEC，则四棱锥ABCDE体2积的最大值为（）1．．．．251151ABCD43128学校高三）如图，AD在单位正方体ABCDABCD中，点P在线段上运动，111113．（2020·重庆市松树桥中给出以下四个命题：①②③④异面直线AP与BC间的距离为定值；11111二面角PBCD的大小为定值．1其中真命题有(A．1个)B．2个C．3个D．4个C，D，且ADAB，BC10，AB6，APDCPB，则点在平面内的轨迹是（）PA.圆的一部分【举一反三】B.椭圆的一部分C.一条直线D.两条直线ABCDABCDBD11．已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点P在三角形ACB23MN11111263，则点P的轨迹长度为（）内，且三角形PMN的面积S△PMN46．46DAπBC．3939AADD2、（2020贵阳高考模拟）在正方体ABCDABCD中，已知点P为平面中的一个动点，且点P111111满足：直线PC与平面AADD所成的角的大小等于平面PBC与平面AADD所成锐二面角的大小，则点11111P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．圆D．抛物线3LL．几何中常用表示的测度，当L为曲线、平面图形和空间几何体时，分别对应其长度、面积和体积．在ABC中，3，ABBC4，AC5，为ABC内部一动点（含边界），在空间中，到点的距离PP1为的点的轨迹为，则等于（）LL1222．20．22D612．126ABC．333【来源】安徽省合肥市2021届高三下学期第三次教学质量检测理科数学试题三．强化训练1的正方体ABCDABCD中，M是线段上的动点，则AB11．（2020·内蒙古高三期末）如图，棱长为1111下列结论正确的是（）．45①异面直线AD与所成的角为CB1②DCDM11MDCC的体积为定值12．1C．③④ABCD﹣E、F分别在棱AA和AB上，且1111112的正方体ABCDABCD中，理））棱长为N为的中点，在底面CCP11111DP与平面ABCD所成角为，NP与平面ABCD所成角为，若，则的1128A．24．已知三棱锥D．13PCAB动点满足PAPE，，E为BD的中点，均为，空间中的P2的所有棱长11．3．11．D3．ABC1682【来源】浙江省五校2021届高三下学期5月联考数学试题5.（2020郑州一中高三期末）在三棱锥中，平面是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的，M表面积是（）A．B．C．D．6．（2020九江高三一模）在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）7．（2020·浙江高三期末）在三棱锥PABC中，PAPBPC2,ABACBC3，点Q为ABCπQ动点，若PQ与PA所成角为定值，，则动点的4D．抛物线(异于点B)是棱上一点,则满足学高三月考）在正方体ABCDA'B'C'D'中,若点8．（2020·上海格致中PBP与AC所成的角为的点的个数为（45）PA．0B．3C．4D．69.（2020上海交通大学附属中学高三）如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A．C．B．D．不能确定2学高三（理））在三棱锥PABC中，PA平面，BAC，，ABCAP310．（2020·湖南长郡中3Q，是边BC上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥PQABCPABC的AB233外接球的表面积为（）A．45B．57C．63D．843中，底面是以为直角的等腰三角形，且，BD1MBMCM的最小值为（）111A．33B．6C．35D66．【来源】江西省赣州市2021届高三二模数学（理）试题43PAPB3212．在棱长为的正四面体ABCD中，点为ABC所在P平面内一动点，且满足，则PD的最大值为（）210．339．33．2D．ABC【来源】河南省鹤壁市2021届高三一模数学（文）试题过的平面ABCDABCDBC1A1113．在棱长为的正方体中，是线段P上的点，与直线PD垂直，当1111截正方体ABCDABCD所得的时，平面截面面积的最小值是（）1111在线段BC上运动P15．46．1．ABCD2．2【来源】北京市朝阳区2021届高三一模数学试题π所成的角为，为π，则点的PAB上的动点满足614．如图，斜线段AB与平面αα斜足．平面BPP4轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一部分15．已知正方体ABCDABCDD．抛物线的一部分，上的动点，点ACT在平面AB1的棱N长为，点M，分别为线段内，则MTNT的最小值是（）BCCBABDA，点是AB上靠近的三等分点，点是AC上靠近EC的三等分点，沿直线DE将ADE翻折成ADE，所成二面角ADEB的平面角为，则（）A．ADBAECC．ADBAECADBAECB．ADB．AECDABCDABCDBD().中，为线段上动点包括端点则以下结论正确的为P11117．如图，棱长为2的长方体111（）PABDABABD中，点到面的距离为定值．三棱锥1P213截得的多边形的面积为3ABD．过点平行于面的平面被正方体ABCDABCDP1111136,33CPAABD1．直线与面所成角的正弦值的范围为13PABD的外接球体积为．当点和重合时，三棱锥12DBP1【来源】广东省普宁市2020-2021学年高三上学期期末数学试题．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足33P11111DPPB5213，则直线BP与直线AD所成角的取值范围为（）(参考数据：11143sin53,sin37)55．37,90．53,143D．37,127ABC【来源】江西省景德镇一中2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题ADBC,BC1,AD1．且ABBDACCD2，则19．如图，在三棱锥DABC中，四面体ABCD的体积的最大值为（）1．42．1235ABCD．24．6【来源】浙江省衢州市五校联盟2020-2021学年高三上学期期末联考数学试题ABCD．如图，三棱锥的底面在平面内，所有棱若三棱锥BCD均相等，E是棱的中点，AC20ABCD绕棱CD旋转，设直线与平面所成的角为，则cos的取值范围为（）BED333．0,．0,ABC666【来源】浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期期末数学试题21．（2020·浙江高三期末）在正四面体PABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，132时，则的取值范围是__________．，设异面直线NM与AC所成角为，当cosAB且AN322．（2020·江苏高三（理））如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD是上底面正中间一个正方形，正方形ABCD是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC1111上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为_______．QBDPQ123.如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面