旧教材适用2023高考数学一轮总复习第十章统计统计案例第1讲随机抽样

第1讲随机抽样1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中eq\o(□,\s\up3(01))逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会eq\o(□,\s\up3(02))都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样方法：eq\o(□,\s\up3(03))抽签法和eq\o(□,\s\up3(04))随机数法．(3)抽签法与随机数法的区别与联系抽签法和随机数法都是简单随机抽样方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外，还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数法能够快速地完成抽样．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体eq\o(□,\s\up3(05))编号．(2)确定eq\o(□,\s\up3(06))分段间隔k，对编号进行eq\o(□,\s\up3(07))分段．当eq\f(N,n)是整数时，取k＝eq\f(N,n).(3)在第1段用eq\o(□,\s\up3(08))简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号eq\o(□,\s\up3(09))(l＋k)，再加k得到第3个个体编号eq\o(□,\s\up3(10))(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成eq\o(□,\s\up3(11))互不交叉的层，然后按照一定的eq\o(□,\s\up3(12))比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由eq\o(□,\s\up3(13))差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差eq\f(N,n)的整数倍．3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．1．“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1,2，…，30的30个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是()A．系统抽样法 B．抽签法C．随机数法 D．其他抽样方法答案B解析30个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，是典型的抽签法．故选B.2．(2021·衡水中学高三月考)某学院A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则应在该学院的C专业抽取的学生人数为()A．30 B．40C．50 D．60答案B解析专业的学生有1200－380－420＝400名，由分层随机抽样知应抽取120×eq\f(400,1200)＝40名．3．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3答案D解析随机抽样包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率都相等．故选D.4.(2022·四川自贡模拟)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为()A．15 B．18C．21 D．22答案C解析系统抽样的抽取间隔为eq\f(24,4)＝6，若抽到的最小编号为3，则抽取到的最大编号为6×3＋3＝21.故选C.5．(2022·郑州摸底)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢4800720064001600电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为()A．25,25,25,25 B．48,72,64,16C．20,40,30,10 D．24,36,32,8答案D解析因为抽样比为eq\f(100,20000)＝eq\f(1,200)，所以每类人中应抽选的人数分别为4800×eq\f(1,200)＝24,7200×eq\f(1,200)＝36,6400×eq\f(1,200)＝32,1600×eq\f(1,200)＝8.故选D.6．(2021·陕西安康模拟)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000,001，…，499进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号为________(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)．844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954答案068解析由题意，得从随机数表第7行第8列的数开始向右读，符合条件的前三个编号依次是331,455,068，故抽取的第3支疫苗的编号是068.考向一简单随机抽样例1(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A．0 B．1C．2 D．3答案A解析①不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的．②不是简单随机抽样．因为它是放回抽样．③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样．故选A.(2)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，则依次写出最先检测的5袋牛奶的编号为________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954答案785,567,199,507,175解析找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785；第二个数916>799，舍去；第三个数955>799，舍去；第四个数567符合题意，这样再依次读出结果为199,507,175.(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取．(2)抽签法与随机数法的适用情况①抽签法适用于总体中个数较少的情况，随机数法适用于总体中个数较多的情况．②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．1.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石答案B解析设这批米内夹谷x石，则由题意知，eq\f(28,254)＝eq\f(x,1534)，即x＝eq\f(28,254)×1534≈169.故选B.2．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33个数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6个数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为()49544354821737932378873520964384263491645724550688770474476721763350258392120676A.23 B．09C．02 D．17答案C解析从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的号码依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的号码为02.故选C.考向二系统抽样例2(1)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生 B．200号学生C．616号学生 D．815号学生答案C解析根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为eq\f(1000,100)＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.(2)(2021·甘肃天水一中模拟)某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400进行编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2321～2400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码为()A．416 B．432C．448 D．464答案A解析设第n组抽到的号码是an，则{an}为以80为公差的等差数列，所以a3＝a1＋80×2＝160＋a1，a4＝a1＋80×3＝240＋a1，所以a3＋a4＝2a1＋80×5＝432，解得a1＝16，所以a6＝16＋80×5＝416.故选A.(1)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体，样本容量也较大．(2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样，一旦起始编号确定，其他编号也就确定了．(4)若总体容量不能被样本容量整除可以先从总体中随机地剔除几个个体，使总体容量能被样本容量整除．(5)样本容量是几就分几段，每段抽取一个个体．3.将参加夏令营的600名学生按001，002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9答案B解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.故选B.4．(2022·陕西渭南一中模拟)某学校从编号依次为01,02，…，90的90个学生中采用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中来自相邻的两个组的学生的编号分别为14,23，则该样本中来自第四组的学生的编号为________．答案32解析样本间隔为23－14＝9，则来自第一组的学生的编号为5，来自第四组的学生的编号为23＋9＝32.考向三分层抽样例3(1)(2021·江西宜春模拟)某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，现采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为()A．35,33,30 B．36,32,30C．36,33,29 D．35,32,31答案B解析先将每个年级的人数凑整，得高一1800人，高二1600人，高三1500人，则三个年级的人数所占比例分别为eq\f(18,49)，eq\f(16,49)，eq\f(15,49)，因此各年级抽取的人数分别为98×eq\f(18,49)＝36,98×eq\f(16,49)＝32,98×eq\f(15,49)＝30，故选B.(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)．篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．答案30解析由分层抽样得eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,120＋a)，解得a＝30.分层抽样的步骤(1)将总体按一定标准分层；(2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的个体数；(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．5.(2021·南宁二中模拟)如下饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为()A．12 B．6C．4 D．3答案D解析青年教师的人数为120×30%＝36，所以青年女教师有12人，故被选出的青年女教师的人数为12×eq\f(30,120)＝3.故选D.6．经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1∶3∶6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人的人数为12，则n＝()A．30 B．40C．60 D．80答案B解析由题意，设老年人和青年人的人数分别为x，y，由分层抽样，得x∶12∶y＝1∶3∶6，解得x＝4，y＝24，则n＝4＋12＋24＝40，故选B.1．(2021·陕西咸阳二模)某校有男教师150人，女教师200人，为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师15人，女教师20人，进行调查，这种抽样方法是()A．简单随机抽样法 B．抽签法C．随机数表法 D．分层抽样法答案D解析某校有男教师150人，女教师200人，为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师15人，女教师20人，进行调查，这种抽样方法是分层抽样法．故选D.2．总体容量为524，若采用系统抽样法抽样，当抽样间隔为________时不需要剔除个体()A．3 B．4C．5 D．6答案B解析当总体容量524能被抽样间隔整除时，不需要剔除个体，显然524能被4整除，不能被3,5,6整除．故选B.3．(2022·陕西榆林二中月考)某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为()A．①系统抽样，②分层抽样B．①分层抽样，②系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样D．①分层抽样，②简单随机抽样答案C解析由随机抽样的特征可知，①为等距抽样，是系统抽样；②是简单随机抽样，故选C.4．(2021·绵阳一中诊断考试)有一批计算机，其编号分别为001,002,003，…，112，为了调查计算机的质量问题，打算抽取4台入样．现在利用随机数表法抽样，在下面随机数表中选第1行第6个数“0”作为开始，向右读，那么抽取的第4台计算机的编号为()537970762694292743995519810685019264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814A.072 B．021C．077 D．058答案B解析依次可得到需要的编号是076,068,072,021，故抽取的第4台计算机的编号为021.5．某班共有学生54人，学号分别为1～54号，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A．10 B．16C．53 D．32答案B解析该系统抽样的抽样间隔为42－29＝13，故另一同学的学号为3＋13＝16.6．(2021·甘肃庆阳模拟)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝()A．54 B．90C．45 D．126答案B解析依题意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.7．某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人，用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为()A．10,14,16 B．9,13,18C．8,14,18 D．9,14,17答案A解析抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为eq\f(25,25＋35＋40)×40＝10，eq\f(35,25＋35＋40)×40＝14，eq\f(40,25＋35＋40)×40＝16.故选A.8．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq\f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,14) D．eq\f(10,27)答案C解析根据题意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).9．(2021·陕西宝鸡模拟检测(三))某居民区有5000人自愿接种了抗病毒疫苗，其中60～70岁的老人有1400人，16～19岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其他年龄段的居民．在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区5000名接种疫苗的人群中抽取50人，则从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为()A．14 B．18C．32 D．50答案C解析eq\f(1400＋400,5000)×50＝18(人)，所以从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为50－18＝32.故选C.10．(2022·桂林模拟)某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取．若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且2b＝a＋c，则二车间生产的产品数为()A．800 B．1000C．1200 D．1500答案C解析因为2b＝a＋c，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的eq\f(1,3)，根据分层抽样的性质可知二车间生产的产品数占总数的eq\f(1,3)，即为3600×eq\f(1,3)＝1200，故选C.11．某学校有教师1221人，现采用系统抽样方法抽取37人进行问卷调查，将1221名教师按1,2,3,4，…，1221随机编号，则抽取的37名教师中，编号落入区间[529,858]的人数为()A．12 B．11C．10 D．9答案C解析将1221名教师按1,2,3,4，…，1221随机编号，则编号落入区间[529,858]的有330人．使用系统抽样方法从1221人中抽取37人，抽样间隔为eq\f(1221,37)＝33，所以抽取的37名教师中，编号落入区间[529,858]的人数为eq\f(330,33)＝10.故选C.12．某高中的三个兴趣小组的人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)：象棋组围棋组桥牌组高一9060x高二302040现要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，从参加这三个兴趣小组的学生中按小组采用分层抽样的方法抽取60人，已知围棋组被抽出16人，则x的值为()A．30 B．60C．80 D．100答案B解析由题意，知eq\f(16,60＋20)＝eq\f(60,240＋x)，解得x＝60，故选B.13．某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人、女生20人，乙班有男生25人、女生25人，现在需要各班按男女生分层抽取20%的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生的人数是________．答案11解析根据题意，知两个班共抽取男生的人数为30×20%＋25×20%＝11.14．(2021·河南新乡模拟)从编号为1,2，…，59,60的60个产品中，用系统抽样的方法抽取一个样本，已知将样本编号按从小到大的顺序排列，后面两个编号为51,57，则第一个入样的编号为________．答案3解析由后面两个编号为51,57，知分段间隔为57－51＝6，即共抽取了eq\f(60,6)＝10个产品，设第一个入样的编号为x，则x＋(1