高考数学(考点解读-命题热点突破)专题02-平面向量与复数-理

PAGEPAGE12平面向量与复数【考向解读】1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.【变式探究】(1)设0<θ<eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)如图，在△ABC中，AF＝eq\f(1,3)AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，且eq\o(CE,\s\up6(→))＝xa＋yb，则x＋y＝________.【答案】(1)eq\f(1,2)(2)－eq\f(1,2)【解析】(1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<eq\f(π,2)，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝eq\f(1,2).(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝eq\f(1,3)AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．方法二易得EF＝eq\f(1,2)MD，MD＝eq\f(1,2)CF，所以EF＝eq\f(1,4)CF，所以CE＝eq\f(3,4)CF.因为eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,3)a，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(－b＋eq\f(1,3)a)＝eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b.所以x＝eq\f(1,4)，y＝－eq\f(3,4)，则x＋y＝－eq\f(1,2).【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】(1)已知向量i与j不共线，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1(2)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.【答案】(1)C(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,6)【解析】(1)因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i与j不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λn，,m＝λ，))所以mn＝1.(2)如图，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).【命题热点突破二】平面向量的数量积(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)三个结论①若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).例2、【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.【答案】【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝6，则|eq\o(OG,\s\up6(→))|的最小值是________．【答案】(1)22(2)2【解析】(1)由eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).因为eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，所以(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2，即eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2.又因为eq\o(AD,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.(2)如图，在△AOB中，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos60°＝6，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＝12，∴|eq\o(OG,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,9)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,9)(|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＋2eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,9)(|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＋12)≥eq\f(1,9)×(2|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＋12)＝eq\f(1,9)×36＝4(当且仅当|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|时取等号)．∴|eq\o(OG,\s\up6(→))|≥2，故|eq\o(OG,\s\up6(→))|的最小值是2.【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．【命题热点突破三】平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3、已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝eq\f(π,4)，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为eq\f(π,3)，且a⊥c，求tan2α的值．【解析】(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋eq\r(2)(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)<x<π))，则2sinxcosx＝t2－1，且－1<t<eq\r(2).则y＝t2＋eq\r(2)t－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(\r(2),2)))2－eq\f(3,2)，－1<t<eq\r(2)，∴t＝－eq\f(\r(2),2)时，ymin＝－eq\f(3,2)，此时sinx＋cosx＝－eq\f(\r(2),2)，即eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)，∵eq\f(π,4)<x<π，∴eq\f(π,2)<x＋eq\f(π,4)<eq\f(5,4)π，∴x＋eq\f(π,4)＝eq\f(7,6)π，∴x＝eq\f(11π,12).∴函数f(x)的最小值为－eq\f(3,2)，相应x的值为eq\f(11π,12).【感悟提升】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【变式探究】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，cosB＝eq\f(1,3)，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．【解析】(1)由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2得c·acosB＝2.又cosB＝eq\f(1,3)，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×eq\f(1,3)＝13.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝6，,a2＋c2＝13，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,c＝2.))因为a>c，所以a＝3，c＝2.【命题热点突破四】复数的概念与运算复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i等要熟记．例4、【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.【答案】2【解析】由，可得，所以，，故答案为2．【变式探究】(1)若复数z＝eq\f(2,1＋\r(3)i)，则|z|＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．1D．2(2)已知复数z＝eq\f(1－i,i)(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】(1)C(2)B【解析】(1)z＝eq\f(2,1＋\r(3)i)＝eq\f(2（1－\r(3)i）,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，，所以|z|＝eq\r(（\f(1,2)）2＋（\f(\r(3),2)）2)＝1.(2)z＝eq\f(1－i,i)＝－1－i，则复数z＝－1＋i，对应的点在第二象限．【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.【答案】【解析】因为，，因此，3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足==,===-2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是()（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.1.【2016新课标理】设其中,实数,则()（A）1（B）（C）（D）2【答案】B【解析】因为所以故选B.2.【2016高考新课标3理数】若，则（）(A)1(B)-1(C)(D)【答案】C【解析】，故选C．3.【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A.4.【2016年高考北京理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.【答案】－1【解析】，故填：－15.【2016高考山东理数】若复数z满足其中i为虚数单位，则z=（）（A）1+2i （B）12i （C） （D）【答案】B【解析】设，则，故，则，选B.6.【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.【答案】2【解析】由，可得，所以，，故答案为2．7.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.【答案】5【解析】，故z的实部是51．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1 B．0 C．1 D．2解析因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.答案B2．(2015·广东，2)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A．3－2i B．3＋2i C．2＋3i D．2－3i解析因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选D.答案D3．(2015·四川，2)设i是虚数单位，则复数i3－eq\f(2,i)＝()A．－i B．－3i C．i D．3i解析i3－eq\f(2,i)＝－i－eq\f(2i,i2)＝－i＋2i＝i.选C.答案C4．(2015·山东，2)若复数z满足eq\f(z,1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i解析∵eq