应用随机过程8课件

应用随机过程

主讲教材：《应用随机过程》（第三次印刷）2023/10/81应用随机过程8学习要求不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想学会把抽象的概率和实际模型结合起来2023/10/82应用随机过程8学习重点用随机变量表示事件及其分解——基本理论全概率公式——基本技巧数学期望和条件数学期望——基本概念2023/10/83应用随机过程8第一讲

2023/10/84应用随机过程8随机事件与概率

随机试验

2023/10/85应用随机过程8要点：在相同条件下，试验可重复进行；试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。2023/10/86应用随机过程8样本点

对于随机试验E，以ω表示它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。

样本空间

样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。Ω＝{ω}2023/10/87应用随机过程8随机事件粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。

事件的关系与运算

2023/10/88应用随机过程82023/10/89应用随机过程82023/10/810应用随机过程8示性函数是最简单的随机变量用随机变量来表示事件2023/10/811应用随机过程8用示性函数的关系及运算来表示相关事件的关系及运算2023/10/812应用随机过程8公理化定义集类2023/10/813应用随机过程82023/10/814应用随机过程8概率2023/10/815应用随机过程82023/10/816应用随机过程82023/10/817应用随机过程8概率是满足非负性；归一性；可列可加性；的集函数。可测集粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。2023/10/818应用随机过程8概率的性质1.

2.3.有限可加性

2023/10/819应用随机过程84.

5.6.

2023/10/820应用随机过程87.8.可列次可加性9.概率连续性2023/10/821应用随机过程8这部分的详细讨论可以参见

《随机数学引论》

林元烈，清华大学出版社2023/10/822应用随机过程8Buffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。测度：满足非负性、可列可加性的集函数。2023/10/823应用随机过程82023/10/824应用随机过程8实际上，设集类以上集类和A生成相同的σ-代数,都是上面提到的一维Borelσ-代数，即2023/10/825应用随机过程8直观地说，中包含一切开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。2023/10/826应用随机过程82023/10/827应用随机过程8

2023/10/828应用随机过程82023/10/829应用随机过程82023/10/830应用随机过程8事件的独立性2023/10/831应用随机过程8

几个事件的独立性2023/10/832应用随机过程82023/10/833应用随机过程82023/10/834应用随机过程82023/10/835应用随机过程8比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论？2023/10/836应用随机过程8机遇偏爱有心人！2023/10/837应用随机过程8

一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件；但重复次数足够多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！

2023/10/838应用随机过程8只要功夫深，铁杵磨成针！2023/10/839应用随机过程8随机变量定义解释2023/10/840应用随机过程8离散型随机变量的示性函数表示法

这说明对于任一d.v.r.，总可以分解为互不交的事件的示性函数的迭加。2023/10/841应用随机过程8随机变量等价定义分布函数2023/10/842应用随机过程8连续型随机变量的概率密度函数微元法求概率密度函数2023/10/843应用随机过程8二维随机变量的分布函数二维Borel-σ代数由平面上矩形的全体生成的σ－代数2023/10/844应用随机过程8联合密度函数亦可用微元法求2023/10/845应用随机过程8常用随机变量的分布（列出,期望方差）两点分布正态分布二项分布指数分布Poisson分布均匀分布几何分布二维正态分布2023/10/846应用随机过程8两点分布若r.v.X只取1和0两个值，且则称r.v.X服从参数为p的两点分布。简记为：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)2023/10/847应用随机过程8EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p22023/10/848应用随机过程8EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/122023/10/849应用随机过程8EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ22023/10/850应用随机过程8二维正态分布的优良性质

X,Y相互独立X,Y不相关2023/10/851应用随机过程8随机变量的数字特征及条件数学期望2023/10/852应用随机过程8数学期望（复习）“加权平均”为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-S积分的概念。2023/10/853应用随机过程8黎曼－斯蒂尔吉斯积分2023/10/854应用随机过程8任分任取求和取极限2023/10/855应用随机过程82023/10/856应用随机过程8在定义了R-S积分之后，我们可以将所有随机变量的数学期望形式进行统一。2023/10/857应用随机过程82023/10/858应用随机过程8数学期望的性质（E|Xi|<∞）2023/10/859应用随机过程8

交换求和顺序2023/10/860应用随机过程8同理，对连续型随机变量有相似的结论成立2023/10/861应用随机过程82023/10/862应用随机过程82023/10/863应用随机过程82023/10/864应用随机过程82023/10/865应用随机过程8Chebyshev不等式2023/10/866应用随机过程8

条件数学期望2023/10/867应用随机过程82023/10/868应用随机过程82023/10/869应用随机过程8用示性函数的线性组合表示离散型随机变量（见前面“随机变量”部分）2023/10/870应用随机过程8例：将概率运算纳入求期望运算的范畴2023/10/871应用随机过程8理解E(X|Y)是ω的函数，也是Y(ω)的函数，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相应的值；当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是离散型随机变量。2023/10/872应用随机过程82023/10/873应用随机过程8推广至一般随机变量2023/10/874应用随机过程8将x替换成X2023/10/875应用随机过程8求条件数学期望的一般步骤先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条件密度函数；根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件下的数学期望；将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y)2023/10/876应用随机过程8条件数学期望的性质设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，则(重要!)全期望公式2023/10/877应用随机过程82023/10/878应用随机过程8将全概率公式纳入全期望公式的范畴2023/10/879应用随机过程8重要结论：E(X|Y)=E(E(X|Y,Z)|Y)=E[E(X|Y)|Y,Z]以示性函数为例，验证上面的结论2023/10/880应用随机过程8同理可验证另一个等号2023/10/881应用随机过程8例：2023/10/882应用随机过程8由X2和Y3独立用示性函数表示X22023/10/883应用随机过程82023/10/884应用随机过程8推广：条件为两个随机变量E(X|Y,Z)如：男