九年级数学下册常考点微专题提分精练网格中求正弦(解析版)

专题22网格中求正弦【法一讲解】转移角后求正弦如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点尸，则NAPD的正弦值为（）A.旦 B.& C.1 D.2^55 22 5解：取格点E，连接AE、BE，设网格中每个小正方形的边长为1,则BE=*12+12=、.2，AE=422+22=2√2，AB=<32+12=<10回BE2+AE2=2+8=10，AB2=10，回BE2+AE2=AB2. AE2v2 2-回NAEB=90o，在RtAABE中，SinNABE=——=^==-5AB"O5由题意知，NEBD=NCDB=45。，回CD//BE，回NAPD=NABE回sinNAPD=sinNABE=2λ,5，故选：D【法二讲解】等面积法求正弦如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上，则SinA的值为（）D.255A暂3545解：过点B作BD±AC于点D，连接BC，如下图，回小正方形的边长为1,回ab=AC=V32+12=<10…1…1…1--,回S=3X3——X3×1——X3X1——X2X2=4ABC 2 2 2回SABC1=AC∙BD=21X、10XBD=4,回BD=翅102 5BDAB—√1Q=50sinA=4^10丁_4.故选：C.【法三讲解】构造直角三角形求正弦如图所示，^ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A•2B∙⅞iC∙立5D.√1070"解：如图，连接格点CD,设1个网格的边长为X，则bd=cd=2xX,bc=2X回BD2+CD2=BC2酿BDC=ΞADC=90°,Ξsi∩ΞA=又ac=、J2+(3X>=、而TKiOX回si∩≡A=CDCDAC22.X 55= =——10X 5【综合演练】1．如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网络，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知小矩形较短边长为1，点A,B,C,D都在格点上，则Sin/BAD的值（ ）CBA.W B.1 C.翌5 D.252 5【答案】A【分析】先证明回ABD=90°,再求出BDjJmH=√2,AD=%：（2a2+3=A0,根据三角函数的定义即可得到答案.【详解】解：如图，HC8回小矩形较短边长为1,有图可知，小矩形较长边长为2,回AE=BE=2,BF=DF=1,如ABE=45°,回DBF=45°如ABD=90°,回AB=∖.『22+22=2√2,BD=√12+12=V2,AD=Y(2√2)2+5=√10,回Sin/BAD=BD=42=立,AD门0 5故选A.【点睛】此题主要考查了勾股定理和三角函数的定义，正确应用勾股定理是解题关键.【答案】A【分析】根据网格结构连接格点AD、BD，利用勾股定理列式求出AC2、AD2、CD2,再利用勾股定理逆定理判断出回ACD是直角三角形，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.【详解】解：如图，连接格点AD、BD,A∖JB由勾股定理得，AC2=22+42=20,AD2=I2+I2=2,CD2=32+32=I8,回AD2+CD2=AC2,加ACD是直角三角形，函nC=AD=亘=①

AC200 10.故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构，作辅助线构造成直角三角形是解题的关键..如图，在4X5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,ABBC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么SinZACB的值为()..运 B.史 C35 5 5D.45【答案】D【分析】过点A作AD±BC于点。，在Rt^ACD中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可.【详解】解：如图，过点A作ADɪBC于点。，则ZADC=90。CFi回AC=■■^^D22+CD2=5.,,「八AD4回SinZACB==AC5故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键..如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，格点A、BCD都在同一个圆上，则sinZAED的值为（）A.B.C.2√1313D.32233V133【答案】CAD【分析】先根据圆周角的推论得出，sin/DCA=Sin/AED二-,再利用勾股定理计算A【详解】连接AD、DC、AC由题意可知：^ADC=90°^^AED=团DCA . AD团在Rt^ADC中，」.sin/DCA=sinAAED AC回AD=2,DC=3:.AC=ADD2+DC2-√4+9=、；13AD2 2Y13.:sinNDCA=SinNAED= = = AC√13 13故选：C【点睛】本题考查正弦值的计算、勾股定理、同弧所对的圆周角相等、熟练掌握圆周角的推论是关键.如图，小正方形的边长均为1,A、B、C分别是小正方形的三个顶点，则sinNBAC的值为（）A.1 B.— C.1 D.、回2 2【答案】B【分析】连接BC，先根据勾股定理求得AB、BC、AC的长，然后再利用勾股定理逆定理证得AABC是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可【详解】解：如图：连接BC''每个小正方形的边长均为1，.∙∙AB=••⑵+12=芯,BC=、∙2+12=√5，AC=、；32+12=v10∙.∙AB2+BC2=AC2Λ^ABC是直角三角形，【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得^ABC是直角三角形是解答本题的关键.6.如图，^ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则Sin回BAC的值为.ABC【答案】T【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最后根据三角函数的意义求解即可.【详解】解：如图，连接格点BD，回BD2=12+12=2，CD2=12+12=2，BC2=22=4，回BD2+CD2=BC2，如BDC=90°=ΞADB，由勾股定理得，ab=”2+32=、-：10，bd=∙J12+12=%2BD √2 、5ΞsinΞBAC= ===-≥AB "0 5故答案为：也5【点睛】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和正弦的定义是解决此题的关键.3 - ，，一.如图，在2X2的正万形网格中，以格点为顶点的aBBC的面积等于不，则Sin/CAB的值是 ．≡3【答案】3【分析】过点C作CD回AB于点D,根据勾股定理即可求出AB和AC,然后根据三角形的面积求出CD,再根据正弦值的定义即可得出结论.【详解】解：过点C作CD回AB于点D根据勾股定理可得AB=V22+12=V5，AC=%2+12=N一 3回HC的面积等于21, -3回AB•CD=-22解得：CD=3-55.…CD3在RtEACD中，Sin/CAB=——=-AC5故答案为：3【点睛】此题考查的是勾股定理和求一个角的锐角三角函数，掌握勾股定理和构造直角三角形求一个角的正弦值是解决此题的关键..如图，在正方形网格中，AABC的三个顶点都在格点上，则sin(NCAB+ZABC)=【分析】根据所给图形可得出/CAB+NABC=45。，再求正弦值即可.【详解】解：根据网格所示，可得出NCAB+NABC=45。回sin(NCAB+NABC)=Sin45。=二2故答案为：T【点睛】本题考查的知识点是用格点解直角三角形，根据格点找出NCAB+NABC=45。是解此题的关键..如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出sinΞAOD=si∩ΞABΛ，即可得出答案.【详解】解：如图，DE由网格可得：AE=2√2,AB=√10,BE=、2回AE2+BE2=AB2如AEB=90°,又DC回BE，且MoD^^ABE,故sinΞAOD=sinΞABE=AE= =AB√10 5故答案为：255.【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，掌握勾股定理，解直角三角形是解题的关键..如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1,则Zl的正弦值是.【答案】2f【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以得到回1=回A,在直角AABC中，利用三角函数的定义即可求解.【详解】解：如图:由勾股定理，得：AB=、..∙2+32=<13001=0A,0SinZ1=SinZA=BC2 2v13AB—V13=13故答案为：2f.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，正确根据圆周角定理，把所求角的三角函数转化为0A的三角函数是解题的关键..在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A,B,C,D都在格点处，AB与CD相交于。，则sin∠BOD的值等于【答案】3i1010【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得Sin回BOD的值，本题得以解决.【详解】解：连接AE、EF,如图所示，贝UAE回CD,回回FAE=回BOD,设每个小正方形的边长为a,则AE=、,：2a,Af=2、.5a,EF=3,:2a回(v2a)2+(3√2a)2=(2√5a)2网FAE是直角三角形，回FEA=90°,回Sin回FAE=EF3工2a3<10一AF2√5a10即Sin回BOD=&1010故答案为：3100【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答..如图，在4×5的网格图中，每个小正方形边长均为1,点A、0、B均在格点上，则(I)AAOB的面积是 ；(2)Sin/AOB=4【答案】4 5【分析】（1）利用正方形的面积减去各顶点上三角形的面积即可得到结果;（2）作OB边上的高AC，算出AC,再利用正弦的定义求解.1 1 1【详解】解：（1）S^AOB=3X3--X3X1--X3x1--X2X2乙 乙 乙33—22=92二4；(2)作OB边上的高AC,回ao=`S32+12=-V10,BO=`32+12=■√10,AB=22+22=`√8回AC=Saaob×2÷ob=4×2÷V而=会AC 8 8 1 4ΞsinΞAOB= ■=-=÷■-10=^^=x^==~AOv10 √10√105故答案为：4；5【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，正弦的定义，解题的关键是掌握网格的特点..如图，在5X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,ABBC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则Sin/BAC的值为.AB4

【答案】4【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解.【详解】在网格上取个点D,得ZADC=90。回CD=4,AD=3回AC=ADD2+CD2=54回SinZBACCDAC54故答案为：4【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识..如图，正方形网格中，每个正方形边长都相等，A、0、B在如图的格点上，则SinZAOB=.【答案】噜【分析】根据三角形的面积计算公式求出AAOB边OA上的高BC即可得出答案.【详解】解：如图，过点B作BC±OA，垂足为C,∙.∙S=S—S—S—S△AOB 正方形XYBZ △AOX △ABY △BOZ1 1 1 1/.oAJB∙BC=3X3——×1×2——×1×3——X2X3,22221. 即一%12+22.

^2一3BC=9-1——3

2∙∙∙BC=755在Rt△BOZ中，OB=-花+32=√13在Rt∆BOC中，sinZAOB=BC7√5 1 7√65OB5×一= U3 65故答案为：7f.【分析】找到回ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得cos/B,Sin/B的邻边与斜边之比即可.【详解】解：如图所示，作AD回BC，垂足为D，AD=3,BD=4，∖B如ADB=90。回利用勾股定理可得AB=、AD2+BD2=`3+42=5BDΞcosB=一ABsinB=ADAB4535回cosB+sinB=—+—=—555.故答案为5【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出cos回ABC,sin/B是解决问题的关键.三、解答题16.如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的.点小B、C、D均在方格纸的格点（即图中小正方形的顶点）上，线段AB与线段CD相交于点R设图中每个小正方形的边长均为1．（1）求证:ABΞCD；（2）求Sin回BCD的值.3【答案】（1）证明见解析；（2）SinNBCD=-【分析】（1）证明2ag/CDF（SAS），可得Baag=Ccff，根据同角的余角相等可得结论;（2）根据勾股定理先计算CD和BC的长，根据面积法可得BE的长，最后由三角函数定义可得结论.【详解】（1）证明：如图，A,AGDDF=1,Gg=Cffd=90，BG=CF=3bA^BAGCD,F((SA(SAS)baLbag=∕cdf又,.,Ba^gg+A-Bgg=90°cD-CDF+^ABG=90o・•/bed=180o-(/CDF+Abgg)=90o.∙.AB1CD(2)解：在RtACFD中，DDF=1,CF=3∙∙∙CD=√1+32;v10同理，BC=v1θS∆ =1**BD9CF=1×2×3=3BCD2 21 ,10SδC-BE9BE=——BEBCD2 2∙A0r-•• BE—32解得BE—3√10,sin^BCD=-be=3BC5【点睛】本题考查网格型问题，还考查了三角形全等的性质和判定，勾股定理和三角函数，解题的关键是根据面积法和数形结合的思想解决问题..图①、图②均是边上为1的小正方形组成的5X5的网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB的端点均在格点上.（1）在图①中作正方形ABCD；⑵在图②中作^ABM,使点M在格点上，且SinZBAM—三【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】（1）确定AB=V10，再根据正方形的四边相等，四个角是直角即可作图;（2）根据锐角三角函数的定义即可作图.【详解】解：（1）如图所示，正方形ABCD为所求;【点睛】本题考查了网格图中的创新作图问题，设计了正方形的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟悉正方形的性质及锐角三角函数的定义..如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6,回ABC的顶点都在格点.(1)求每个小矩形的长与宽；(2