2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二年级下册学期教学质量调研（二）数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二下学期教学质量调研（二）数学试题一、单选题1．已知集合，，若，则实数的值可能为（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【分析】由题意可得，由得，所以，排除AB，然后选项CD代入验证即可.【详解】因为当时，，当时，，所以因为，所以，所以，得，所以AB错误，对于C，若，则，此时，所以C正确，对于D，若，则，此时，不合题意，所以D错误，故选：C2．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，的定义域为，又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误；对于B，，的定义域为，为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；对于C，，的定义域为，又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误；对于D，，的定义域为，又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确.故选：D.3．函数的零点个数为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】求出为奇函数，并得到，考虑时无零点，时，求导，得到函数极值和最值情况，结合零点存在性定理得到零点，结合函数的对称性求出零点个数.【详解】定义域为R，，又，故为奇函数，当时，由于恒成立，故恒成立，无零点，故时，也不存在零点，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，也时最大值，，显然，，故由零点存在性定理知，在上存在一零点，结合函数为奇函数，在上存在一零点，综上，一共有3个零点.故选：B4．云计算是一种全新的网络应用概念，其核心概念是以互联网为中心，在网站上提供快速且安全的云计算服务与数据存储.近年来，我国云计算市场规模持续增长.某科技公司云计算市场规模与年份代码的关系可以用模型拟合，设，2018年至2022年数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码12345云计算市场规模720712005100.851.31.852.32.7若根据上表得到回归方程，则该科技公司2025年云计算市场规模约为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知求出的值，代入回归方程，求出的值，可得关于的回归方程，代入，求出的值，从而求出的值，即可求解.【详解】，，将代入回归方程，可得，即，所以关于的回归方程为，2025年即当时，，此时.故：B.5．若，，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数的单调性可判断的范围，利用对数函数的性质比较的大小，即可得答案.【详解】因为指数函数为R上的单调递减函数,故可得，，故，故选：A6．已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出函数的图象，根据图象即可求解.【详解】,令得且时，时，时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，又时,或或，所以其图象如下：

由图像，时存在最小值，必有，故选：7．已知当时，.根据以上信息，若对任意，有，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，依次求出，的展开式，再结合对应的系数，即可求解.【详解】由题知，，同理得，因为，有，所以.故选：B8．已知函数，，（其中为自然对数的底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由存在实数，使得可转化为，构造函数，研究函数的单调性，再分离参数即可得解.【详解】因为存在实数，使得，所以，即，令，则，函数在R上单调递增，，即的最小值，令，，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，时，函数取得极小值即最小值，，.故选：C二、多选题9．若函数的单调递增区间为，则可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先求定义域，再求导，令导函数大于0求出递增区间.【详解】A选项，的定义域为，故单调递增区间不可能为，A错误；B选项，定义域为，，令，解得，所以单调递增区间为，B正确；C选项，定义域为，，令，解得或，所以单调递增区间为，，C错误；D选项，定义域为，，令，解得，故单独递增区间为，D正确.故选：BD10．某同学在高二年级所有检测中语文和数学成绩均服从正态分布，记语文成绩为，数学成绩为，且，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据正态分布的性质结合已知条件逐个分析判断即可【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D正确，故选：ACD11．若展开式中二项式系数和为64，下列结论正确的是（

）A． B．展开式中第3项为C．展开式中常数项为60 D．展开式中各项系数之和为729【答案】AD【分析】对于A，由题意可得，从而可求出的值，对于BC，求出二项式展开式的通项公式，然后分析计算，对于D，令求解即可.【详解】对于A，因为展开式中二项式系数和为64，所以，得，所以A正确，对于B，由选项A可知二项式为，则其展开式的通项公式为，所以展开式中第3项为，所以B错误，对于C，令，得，所以展开式中常数项为，所以C错误，对于D，令，则，所以展开式中各项系数之和为729，所以D正确，故选：AD12．在长方体中，，，为棱上任意一点，则下列结论正确的是（

）A．长方体表面积的最大值为6B．长方体外接球表面积的最小值为C．到平面的距离的最大值为D．三棱锥体积的最大值为【答案】AD【分析】对于A，设，（），然后表示出长方体的表面积，根据二次函数的性质可求得其最大值，对于B，设长方体外接球半径为，则，化简后利用二次函数的性质可求出的最小值，从而可求出其外接球表面积的最小值，对于C，设点到平面的距离为，则由可表示出，从而可求出其范围，对于D，，然后利用基本不等式可求得结果.【详解】对于A，设，（），则该长方体表面积为，所以当时，取得最大值6，即长方体表面积的最大值为6，所以A正确，对于B，设，（），设长方体外接球半径为，则，所以当时，上式取得最小值3，此时的最小值为，所以长方体外接球表面积的最小值为，所以B错误，对于C，设点到平面的距离为，即点到平面的距离为，因为，所以，，所以，设，（），则所以，因为，所以，所以到平面的距离无最大值，所以C错误，对于D，，当且仅当，即时取等号，所以三棱锥体积的最大值为，所以D正确，故选：AD【点睛】关键点点睛：此题考查长方体外接球问题，考查点到面的距离，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件设出，则（），然后表示出长方体的表面积和三棱锥的体积，再利用二次函数的性质和基本不等式可求得结果，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.三、填空题13．已知，则的值为.【答案】【分析】首先求出，又，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为，所以，即，所以，所以，所以.故答案为：14．如图，直三棱柱所有棱长均为2，M为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为.

【答案】【分析】取中点，找到异面直线与所成角，结合余弦定理可求答案.【详解】取的中点，连接；因为分别为的中点，所以且，或其补角是异面直线与所成角；因为直三棱柱所有棱长均为2，所以，，；在中，.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.

15．某同学连续两天在学校信息图文中心2楼和3楼进行拓展阅读，第一天等可能地从信息图文中心2楼和3楼中选择一层楼进行阅读.如果第一天去2楼的条件下第二天还在2楼阅读的概率为0.7；第一天去3楼的条件下第二天去2楼阅读的概率为0.8，该同学第二天去3楼阅读的概率为.【答案】/【分析】利用全概率公式可求答案.【详解】设事件“第天去2楼阅读”，事件“第天去3楼阅读”，则，，；所以.故答案为：16．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则.【答案】【分析】根据偶函数定义可推导得到，结合已知等式可得是周期为的周期函数，由此可得；采用赋值法可求得，由此可得结果.【详解】为偶函数，，令，则，，；又，，即，，是周期为的周期函数，，由得：，即，又，，.故答案为：.四、解答题17．已知函数且.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，当时，求的值域.【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)【分析】（1）由对数真数大于零可求得定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得到结论；（2）根据可求得，从而化简得到，可利用不等式的性质或者函数单调性求得的范围，进而确定的值域.【详解】（1）为奇函数，理由如下：由得：，的定义域为；，为定义在上的奇函数.（2），，；方法一：当时，，，，，即的值域为；方法二：令，在上单调递减，，，，，即的值域为.18．如图，三棱锥中，平面，线段的中点为，，且.

(1)证明：平面；(2)若，，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用两种方法证明：几何法，通过证明线线垂直，证明线面垂直；向量法，先求出平的法向量，再证明，即可证明结果；（2）几何法，过点作，垂足为，通过证明平面，从而得到为二面角的平面角，再，利用几可关系求出和,即可求出结果；向量法，根据（1）中所求平面法向量，利用向量中的空间角向量公式即可求出结果.【详解】（1）法一：在中，，线段的中点为，所以,因为平面，平面，所以．因为平面，平面，，所以平面．法二：如图，以为基底建立空间直角坐标系．

因为，，线段的中点为，所以，所以．设平面的一个法向量为，由，得到，解得．令，则，所以．易知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则由，得到，取，所以．又因为，所以，所以平面（2）在中，过点作，垂足为，连接，

因为平面，平面，所以,又因为，平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以．又因为，平面，平面，，所以平面，所以，所以为二面角的平面角，在中，，，所以，．同理，在中，，所以．所以二面角的余弦值．法二，设二面角的平面角为，则为锐角，则，所以二面角的余弦值．19．一盒子中放有个大小相同的小球，其中个红球，个白球.现从中抽取两次，一次抽取两个球，若第一次抽出后不放回.(1)求第一次抽到两个红球的条件下，第二次抽到两个白球的概率；(2)若一次抽出的两个球同色即中奖，求中奖次数的概率分布和数学期望.【答案】(1)(2)概率分布见解析，数学期望【分析】（1）根据条件概率公式直接计算即可；（2）首先确定所有可能的取值，并计算得到每个取值对应的概率，由此可得概率分布；根据数学期望公式可求得期望值.【详解】（1）记“第一次抽到两个红球”为事件，“第二次抽到两个白球”为事件，则，，.（2）由题意知：所有可能的取值为，；；；的概率分布为：数学期望.20．已知函数，其中.(1)当时，求函数的极小值；(2)若在处的切线与图象也相切，求实数的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极小值；（2）利用导数求出函数在处的切线方程，将切线方程与联立，由可求得实数的值.【详解】（1）解：当时，，其中所以，令，解得．列表如下：极小值所以函数的极小值为．（2）解：因为，所以，所以．因为，所以在处的切线方程为．因为与图像相切，所以有两个相等的实根，所以，解得，所以实数的值为或．21．直播带货业务是当前行业电商的主要业务构成之一.某公司通过抖音，快手，淘宝等直播平台与网红，明星等进行带货合作，甲公司和乙公司所售商品存在竞争关系，两公司在某购物平台上同时开启直播带货促销活动.(1)现对某时段21-40岁年龄段100名用户观看直播后选择甲公司和乙公司所售商品选购情况进行调查，统计数据如下表：用户年龄段选购甲公司选购乙公司合计21-30岁156031-40岁1540合计100请完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户年龄有关?(2)五一期间，甲公司购物平台直播间进行“抢购”活动，假设直播间每人下单的概率均为，直播间每人下单成功与否互不影响.若从直播间随机抽取5人，记5人中恰有3人下单成功的概率为，求的最大值，并求出取得最大值时的值.参考公式：，其中.临界值表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有把握(2)最大值，【分析】（1）由题意可得列联表,进而计算的值,与临界值表比较,可得结论；（2）设5人中下单成功的人数为，确定，从而可得的表达式，利用导数判断其单调性，即可求得最值.【详解】（1）由题意可得列联表：用户年龄段选购甲公司选购乙公司合计21—30岁15456031—40岁251540合计4060100提出假设：选择哪家直播间购物与用户年龄无关．因为，所以，即假设不成立，所以有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户年龄有关．（2）设5人中下单成功的人数为，因为直播间每人下单成功与否互不影响，所以，所以．所以，令，解得．列表如下：p0递增极大值递减所以当时，取得极大值，即最大值．22．已知函数，其中为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性，并说明理由；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，（2）由，得，然后构造函数，求导后，再构造函数，然后分，和三种情况讨论函数的单调性，只需即可.【详解】（1）的定义域为，由，得，当时，，所以在上递减，当时，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，综上，当时，在上递减；时，在上递减，在上递增，（2）由，得，即，令，