函数周期性分类解析

函数周期性分类解析一•定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立则£(电叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二.重要结论1、f(x)=f(x+a),则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数；2、若函数丫=£仁)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数f(X+a)=f(X-a),则fQ)是以T=2a为周期的周期函数14、丫=£々)满足£&+@)=市(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。15、若函数丫=£仁)满足£&+/=-jx)((a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、f(X+a)=1-f(X)，则fQ)是以T=2a为周期的周期函数.1+f(x)7、f(X+a)=-1-f(X)，则fQ)是以T=4a为周期的周期函数.1+f(x)…若函数丫二近2满足f(x+a)=1+f(X)(x∈R,a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的一1-f(X)个周期。若函数y=f(x)的图像关于直线*=@,*寺8〉@都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。10、函数y=f(X)(XWR)的图象关于两点A(a,y)、B(b,y)(a<b)都对称，则函数00f(X)是以2(b-a)为周期的周期函数；11、函数y=f(X)(XWR)的图象关于A(a,y)和直线X=b(a<b)都对称，则函数f(x)0是以4(b-a)为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2Ial是它的一个周期。13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4Ial是它的一个周期。14、若函数丫=£«)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。T15、若奇函数y=f(χ)满足f(χ+T)=f(χ)(χ∈R,T≠0),则f(^)=0.三、典例讲解例1(05.福建12)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( )《A．6 B．7 C．4 D．5例2.设函数f(X)的定义域为R，且对任意的x，y有f(X+y)+f(X—y)=2f(x)∙f(y)，c并存在正实数c，使f(-)=0。试问f(X)是否为周期函数若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。例3.已知f(X)是定义在R上的函数，且满足：f(X+2)[1-f(X)]=1+f(X)，f⑴=1997,求f(2001)的值。例4.(2009江西卷文)已知函数f(X)是(-∞,+∞)上的偶函数，若对于X≥0，都有f(X+2)=f(X)，且当X∈[0,2)时，f(X)=log(X+1)，则f(-2008)+f(2009)的值2为 ( )A．-2 B．-1 C．1 D．2例5.(天津卷05)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线X=1对称,2则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=例6(07安徽)定义在R上的函数f(X)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(X)=0在闭区间LT,川上的根的个数记为n,则n可能为( )*四、巩固练习.已知偶函数f(X)是以2为周期的周期函数，且当X∈(0,1)时，f(X)=2X-1,则3835f(log10)的值为A-B.-C-- D.-55832设函数f(X)是定义在R上的奇函数，对于任意的X∈R,都有f(X+1)=1-f(x),1+f(X)当0<X≤1时，f(X)=2X,则f(11.5)=3知f(X)是定义在实数集R上的函数，满足f(X+2)=-f(X),且X∈［0,2］时，f(X)=2X-X2.(1)求X∈［-2,0］时，f(X)的表达式；(2)证明f(X)是R上的奇函数..一 (3- —…3、(05朝阳模拟)已知函数f(X)的图象关于点-：,0对称，且满足f(X)=-f(X+-),I4J 2又f(-1)=1，f(0)=-2，求f(1)+f⑵+f(3)+-+f(2006)的值高三数学恒成立问题的类型及求解策略恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，也为历年高考的一个热点。现将高中数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。一、一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在［m,n］内恒有f(x)>0，则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于| 「a>0 「aV0 1f(m)>0〈〜、八或ii){〜、八亦可合并定成《〜、八［f(m)>0 〔f(n)>0 〔f(n)>0ff(m)<0同理，若在［m,n］内恒有f(x)<0，则有I),、n［f(n)<0例1、 对于满足μ|≤2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的X的取值范围。、二次函数型Ia>0若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有ζ<。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。ffC+kX-X2>>f(k+2)例2.定义在R上的减函数fQ),如果不等式组I、 ( )对任何If(3kX-1)>f1+kX-X2)X∈都成立，求k的取值范围。？例3.关于X的方程9、+(4+@)3、+4=0恒有解，求@的范围。变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例4已知当XWR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+∙√5a—4恒成立，求实数a的取值范围。/1 1 1 1m例5.若不等式 + -++…+-->对于大于1的一切自然数n都成立，求n+1n+2n+3 2n24自然数m的最大值，并证明所得结论。直接根据图象判断&若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例6、当XW(1,2)时，不等式(χ-1)2<logx恒成立，求a的取值范围。五．根据函数的奇偶性、周期性、对称性等性质例7若f(x)=sin(x+α)