旧教材适用2023高考数学一轮总复习第八章立体几何第4讲直线平面平行的判定及性质

第4讲直线、平面平行的判定及性质1．直线与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(01))a⊄α,\o(□,\s\up3(02))b⊂α,\o(□,\s\up3(03))a∥b))⇒a∥α(2)性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(04))a∥α,\o(□,\s\up3(05))a⊂β,\o(□,\s\up3(06))α∩β＝b))⇒a∥b2．平面与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条eq\o(□,\s\up3(07))相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(08))a⊂α,\o(□,\s\up3(09))b⊂α,\o(□,\s\up3(10))a∩b＝P,\o(□,\s\up3(11))a∥β,\o(□,\s\up3(12))b∥β))⇒α∥β(2)性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面eq\o(□,\s\up3(13))相交，那么它们的eq\o(□,\s\up3(14))交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(15))α∥β,\o(□,\s\up3(16))α∩γ＝a,\o(□,\s\up3(17))β∩γ＝b))⇒a∥b1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．5．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．6．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．7．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．8．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内答案B解析过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面α内，所以这条直线也应该在平面α内．2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案B解析若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，反之也成立．因此B中的条件是α∥β的充要条件．故选B.3．(2022·山西晋城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是()答案B解析在B中，如图，连接MN，PN，∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，因为M为PB的中点，所以OM为△PBD的中位线，所以OM∥PD，所以PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA，平面PBC相交．5.(2021·江西南昌模拟)如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.答案eq\f(5,2)解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA·CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).6．已知下列命题：①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b.其中正确的命题是________．答案①⑤解析若直线与平面有两个公共点，由公理1可得直线在平面内，故①正确；若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故②错误；若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线可能是异面直线或相交直线，故③错误；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内，故④错误；若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线无公共点，即平行或异面，故⑤正确；若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b或a，b异面，故⑥错误．考向一有关平行关系的判断例1(1)已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面α，β，有如下命题：①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b.其中正确命题的个数为()A．3 B．2C．1 D．0答案C解析若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故①错误；若a∥α，b∥α，则a与b平行、相交或异面，故②错误；若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故③正确；若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，得a，b平行或异面，故④错误．故选C.(2)(2021·合肥模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列命题正确的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP答案C解析取B1C1的中点为Q，连接MQ，NQ，由三角形中位线定理，得MQ∥B1D1，∴MQ∥平面BB1D1D，由四边形BB1QN为平行四边形，得NQ∥BB1，∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D，又MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D.故选C.解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意点(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件“线在面外”易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．1.(2021·重庆六校联考)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案D解析对于A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.2．(2022·安庆模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，则下面说法正确的是________(填序号)．①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.答案②③解析如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的．对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.所以C1Q∥平面APC是正确的．对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的．对于④，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．精准设计考向，多角度探究突破考向二直线与平面平行的判定与性质角度用线线(面面)平行证明线面平行例2(1)(2021·四川省名校联盟模拟)如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE.证明证法一：如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF，∵AF∥DN，且AF＝DN，∴四边形ADNF为平行四边形，∴AD∥FN，且AD＝FN，又四边形ABCD为矩形，AD∥BC且AD＝BC，∴FN∥BC，且FN＝BC，∴四边形BCNF为平行四边形，∴BF∥NC，∵BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，∴BF∥平面CDE.证法二：如题图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∵AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE.又AF∥ED，∵AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，∴AF∥平面CDE.∵AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，∴平面ABF∥平面CDE，又BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE.(2)(2021·石家庄模拟)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又因为H为BC的中点，所以HM∥BD.因为HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，BE∥HF.在△ABC中，因为G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又因为GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度用线面平行证明线线平行例3如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.又MO⊂平面BDM，AP⊄平面BDM，∴AP∥平面BDM.∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，且AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH.1．判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．证明线线平行的三种方法(1)利用平行公理(a∥b，b∥c⇒a∥c)．(2)利用线面平行的性质定理(a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)．3.如图，已知正三棱柱(底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱)ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．解D为AA′的中点．证明如下：取BC的中点F，连接AF，EF，设EF与BC′交于点O，易证A′E綊AF.易知A′，E，F，A共面，因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO.所以A′E∥DO.在平行四边形A′EFA中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BC，且EC′＝BF)，所以D点为AA′的中点．4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点，O为AC的中点．(1)求证：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求证：CE∥平面BDF.证明(1)因为四边形ABCD为菱形，O为AC的中点，所以O为BD的中点，又因为E为PD的中点，所以OE∥PB.因为OE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以OE∥平面PAB.(2)过E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF.所以EG∥平面BDF.因为E为PD的中点，EG∥FD，所以G为PF的中点，因为AF＝1，PA＝3，所以F为AG的中点，又因为O为AC的中点，所以OF∥CG.因为CG⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CG∥平面BDF.因为EG∩CG＝G，EG⊂平面CGE，CG⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又因为CE⊂平面CGE，所以CE∥平面BDF.考向三面面平行的判定与性质例4(2022·柳州模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)求证：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，且BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．5．(2021·洛阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．解(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)，∴三棱锥P－ABM的体积V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3).

1．(2021·九江一中模拟)已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案D解析A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面答案A解析由长方体的性质，知EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.故选A.4.(2022·河南平顶山高三开学摸底)如图，在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内的一个动点(含边界)，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是()A．平面B．直线C．线段，但只含1个端点D．圆答案C解析因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1＝DM，平面A1C∩平面A1B1C1＝A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略)，则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D)．5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案A解析因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，如图，连接AD1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；连接A1C1，因为E，F分别是A1B1，B1C1的中点，所以EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；因为F，G分别是B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.6.(2022·临川摸底)如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直 B．相交不垂直C．平行 D．重合答案C解析如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，连接AM，MB，BN，NC，CL，LA，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.7.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则()A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF答案A解析如图所示，取DG的中点M，连接AM，FM，则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，∴DE∥FM，且DE＝FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM，又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM，又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，∴BF∥平面ACGD，故选A.8.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq\f(PF,FC)＝()A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)答案D解析如图，连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又因为AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).9.(2021·河北衡水中学月考)在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A.eq\f(45,2) B．eq\f(45\r(3),2)C．45 D．45eq\r(3)答案A解析如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又因为D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．因为AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝eq\f(1,2)AC·eq\f(1,2)SB＝eq\f(45,2).10．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(6) D．4答案C解析如图所示，易知截面是菱形．分别取棱D1C1，AB的中点E，F，连接A1E，A1F，CF，CE，则菱形A1ECF为符合题意的截面．连接EF，A1C，易知EF＝2eq\r(2)，A1C＝2eq\r(3)，EF⊥A1C，所以截面的面积S＝eq\f(1,2)EF·A1C＝2eq\r(6).故选C.11.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH的内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为()A．2 B．2πC．2eq\r(3) D．4答案D解析如图，连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4，故选D.12.(2021·重庆联考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且eq\f(DE,EB)＝eq\f(DF,FD1)＝eq\f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则eq\f(CG,CC1)＝()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,4)答案B解析如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，则△DEH∽△BEA，所以eq\f(DH,AB)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,2).因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C1＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.又四边形CDD1C1是平行四边形，所以△DFH∽△C1GD1，所以eq\f(DF,C1G)＝eq\f(DH,C1D1)，因为eq\f(DH,C1D1)＝eq\f(DH,AB)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(DF,C1G)＝eq\f(1,2)，因为eq\f(DF,FD1)＝eq\f(1,2)，所以FD1＝C1G，DF＝CG，所以eq\f(CG,CC1)＝eq\f(1,3)，故选B.13．(2021·沧州七校联考)有以下三种说法，其中正确的是________．①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③若直线a，b满足a∥b，则a平行于经过b的任何平面．答案①解析若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线，是真命题，故①正确；若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a可能与α平行，故②错误；若直线a，b满足a∥b，则直线a与直线b可能共面，故③错误．14．(2022·山西长治模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1cm，过AC作平行于体对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2.答案eq\f(\r(6),4)解析如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，所以E为DD1的中点．所以S△ACE＝eq\f(1,2)AC×EF＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),4)(cm2)．15.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，MN⊂平面MNQP，平面MNQP∩平面ABCD＝PQ，∴MN∥PQ.又MN∥AC，∴PQ∥AC.∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3).∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2,3)×eq\r(2)a＝eq\f(2\r(2),3)a.16．(2021·湖南郴州模拟)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB＝AD＝AA1＝2DC，Q为棱CC1上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB1，DD1交于点P，R，则下列结论正确的是________(填序号)．①对于任意的点Q，都有AP∥RQ；②对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形；③存在点Q，使得直线BC∥平面APQR.答案①②③解析因为AB∥CD，AA1∥DD1，所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1.因为平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面DCC1D1＝RQ，所以AP∥RQ，可知①正确；若AR∥PQ，因为D1D∥C1C，AR∩D1D＝R，PQ∩C1C＝Q，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，显然不符合题意，所以AR与PQ不平行，所以四边形APQR不可能为平行四边形，可知②正确；如图，延长CD至M，使得DM＝CD，连接AM，RM，则四边形ABCM是矩形，所以BC∥AM.当R，Q，M三点共线时，AM⊂平面APQR，所以BC∥平面APQR，可知③正确．17.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G与EB平行且相等，所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.18．(2022·安徽合肥模拟)如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，设AE与DF的交点为O，连接MO，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点，又M为AB的中点，所以MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的对边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.19．(2021·兰州模拟)如图，