《二次函数与一元二次方程》PPT-沪科版课件

21.3二次函数与一元二次方程第21章

二次函数与反比例函数第1课时

二次函数与一元二次方程间的关系逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2二次函数与一元二次方程之间的关系抛物线与x轴的交点个数之间的关系课时导入复习提问

引出问题复习提问引出问题以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面的问题．二次函数与一元二次方程之间的关系知识点知1－导感悟新知11.当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y值为0时，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，抛物线与x轴是否有公共点取决于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况．(1)当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，抛物

线与x轴有2个公共点；(2)当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线

与x轴有1个公共点；知1－导感悟新知

(3)当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有公共点．反之亦成立．2.拓展：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点A(m，0)，B(n，0)，令其中Δ＝b2－4ac.此时A，B两点间的距离我们把叫做抛物线y＝

ax2＋bx＋c在x轴上的截距．

求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标．导引：要求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的公共点的坐标，需求y＝0时对应的x的值．可令y＝0，根据3x2－8x＋4＝0的根来确定抛物线与x轴的公共点的横坐标．

解：令y＝0，则3x2－8x＋4＝0，解方程得x1＝,x2＝2.∴抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标为，(2，0)．知1－练感悟新知例11．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(

)A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4知1－练感悟新知D抛物线与x轴的交点个数之间的关系知2－导感悟新知知识点2二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2–x+1的图象如图所示.知2－导感悟新知(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程

x2+x-2=0,x2-6x+9=0有几个根?

验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?知2－导感悟新知（1）2个，1个，0个.（2）2个根，2个相等的根，无实数根.（3）二次函数y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1与x轴交点坐标(-2,0),(1,0)(3,0)无交点相应方程的根x1=-2,x2=1x1=x2=3无实根解：知2－导感悟新知

(1)根据二次函数的图象与x轴的公共点情况，可以判断一

元二次方程的根的情况；反之，根据一元二次方程的

根的情况，可以判断二次函数的图象与x轴的公共点的情况．(2)拓展：一元二次方程的根的情况由根的判别式决定，而当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，两公共点间的距离为，并且两公共点关于直线对称．知2－练感悟新知例2

若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝____．

9知2－练感悟新知导引：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，∴当时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.又∵抛物线过点A(m，n)，B(m＋6，n)，点A，B关于直线对称,∴将A点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，得∵b2＝4c，∴知2－练感悟新知1．抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为(

)A．0B．1C．2D．3C

已知二次函数y＝2x2－(m＋1)x＋m－1.(1)求证：不论m为何值，函数的图象与x轴总有公共点，并指出当m为何值时，只有一个公共点．(2)当m为何值时，函数的图象经过原点？(3)在(2)的图象中，求出y＜0时x的取值范围及y＞0时x的取值范围．

导引：要说明二次函数的图象与x轴总有公共点，只要

说明Δ＝b2－4ac≥0即可．知2－练感悟新知例3知2－练感悟新知

(1)证明：b2－4ac＝[－(m＋1)]2－4×2(m－1)＝m2＋2m＋1－8m＋8＝m2－6m＋9＝(m－3)2.显然不论m为何值，总有b2－4ac＝(m－3)2≥0，且当m＝3时，b2－4ac＝0.故不论m为何值，抛物线与x轴总有公共点，且当m＝3时，只有一个公共点．(2)解：∵函数的图象经过原点(0，0)，∴0＝2×02－(m＋1)×0＋m－1，∴m＝1.即当m＝1时，函数的图象经过原点．(本问也可直接由m－1＝0得出)知2－练感悟新知

(3)解：由(2)得y＝2x2－2x，其图象如图所示．∵抛物线与x轴的两个公共点的坐标分别为(0，0)，(1，0)，∴当y＜0时，0＜x＜1；当y＞0时，x＜0或x＞1.知2－讲感悟新知图象函数值自变量的取值(范围)

y＞0x＜x1或x＞x2

y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x1＜x＜x2

y＞0x1＜x＜x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x＜x1或x＞x2课堂小结Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的实根方程无实数根零点无零点21.3二次函数与一元二次方程第21章

二次函数与反比例函数第2课时

阅读与思考——由二次函

数的图象认识一元二次

不等式的解集

逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2利用二次函数的图象解一元二次方程利用二次函数的图象解一元二次不

等式课时导入复习提问

引出问题复习提问引出问题我们已经知道，二次函数与一元二次方程有着紧密联系，我们是否可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根呢？利用二次函数的图象解一元二次方程知识点知1－导感悟新知1

观察：观察右图，说一说二次函数y＝x2＋3x＋2的图象与x轴有几个交点？交点的横坐标与一元二次方程x2＋3x＋2＝0的根有什么关系？知1－导感悟新知

由上面的观察看出，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当Δ＝b2－4ac≥0时有实数根，这个实数根就是对应二次函数y＝ax2＋bx＋c当y=0时自变量x的值，这个值就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．由上面可知，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图或观察可能有误差，由图象求得的根一般是近似的．

用图象法求一元二次方程x2＋2x－1＝0的近似解(精确到0.1)．

解：画出函数y＝x2＋2x－1的图象，如图.由图象可知，方程有两个实数根，一个在－3和－2之间，另一个在0和1之间．先求位于－3和－2之间的根．由图象可估计这个根是－2.5或－2.4，利用计算器进行探索，见下表：知1－练感悟新知例1知1－练感悟新知

观察上表可以发现，当x分别取－2.5和－2.4时，对应的y由正变负，可见在－2.5与－2.4之间肯定有一个x使y＝0，即有方程x2＋2x－1＝0的一个根．题目只要求精确到0.1，这时取x＝－2.5或x＝－2.4作为根都符合要．x…－2.5－2.4…y…0.25－0.04…知1－练感悟新知但当x＝－2.4时，y＝－0.04比y＝0.25(x＝－2.5)更接近0，故选x＝－2.4.因而，方程x2＋2x－1＝0在－3和－2之间精确到0.1的根为x＝－2.4.1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为(

)A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3D．x1＝－1，x2＝3知1－练感悟新知D利用二次函数的图象解一元二次不等式知2－练感悟新知知识点2

画出抛物线y=-x2+4x+5，观察抛物线，回答下列问题：（1）x为何值时，函数值y>0？（2）x为何值时，函数值y=0？（3）x为何值时，函数值y<0？例2知2－练感悟新知知识点导引：求一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集，先画二次函数y=ax2+bx+c

的图象，求该图象与x轴的两个交点的坐标，然后结合图象，找出函数值y大于0的部分对应的x的取值范围，即为不等式ax2+bx+c>0的解集.知2－练感悟新知解：

∵y=-x2+4x+5=-（x2-4x）+5=-（x2-4x+4）+9=-（x-2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9），对称轴为直线x=2.令-x2+4x+5=0，即x2-4x-5=0，∴x1=5，x2=-1，∴抛物线与x轴的两个交点为（-1，0），（5，0）.令x=0，则y=5，即抛物线与y轴的交点为（0，5）.由抛物线的对称性知抛物线上与点（0，5）关于抛物线的对称轴对称的点为（4，5）.知2－练感悟新知在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的抛物线.观察抛物线发现：（1）当-1<x<5时，函数值y>0；（2）当x=-1或