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文档简介
内蒙古鄂尔多斯西部四旗2025届高三下第一次测试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,给出下列四个结论:①函数的值域是;②函数为奇函数;③函数在区间单调递减;④若对任意,都有成立,则的最小值为;其中正确结论的个数是()A. B. C. D.2.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”,某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动,现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中,医生甲被指定分配到医院,医生乙只能分配到医院或医院,医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院,其他两名医生分配到哪所医院都可以,若每所医院至少分配一名医生,则不同的分配方案共有()A.18种 B.20种 C.22种 D.24种3.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()A.1 B.-1 C.8l D.-814.设点,P为曲线上动点,若点A,P间距离的最小值为,则实数t的值为()A. B. C. D.5.已知不重合的平面和直线,则“”的充分不必要条件是()A.内有无数条直线与平行 B.且C.且 D.内的任何直线都与平行6.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()A.的值域是 B.是奇函数C.是周期函数 D.是增函数7.函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,并且函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数的值为()A. B. C.2 D.8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积()A. B. C. D.9.函数与的图象上存在关于直线对称的点,则的取值范围是()A. B. C. D.10.已知集合,定义集合,则等于()A. B.C. D.11.下列函数中,图象关于轴对称的为()A. B.,C. D.12.为计算,设计了如图所示的程序框图,则空白框中应填入()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知三棱锥,,是边长为4的正三角形,,分别是、的中点,为棱上一动点(点除外),,若异面直线与所成的角为,且,则______.14.在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为_____.15.若x,y满足,则的最小值为________.16.已知函数在处的切线与直线平行,则为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数x的取值范围.18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,是棱上的一点,满足平面.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)设,,若为棱上一点,使得直线与平面所成角的大小为30°,求的值.19.(12分)在中,,,.求边上的高.①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.20.(12分)在本题中,我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数:①的定义域和值域都是;②在上是增函数或者减函数.(1)若在区间上是闭函数,求常数的值;(2)找出所有形如的函数(都是常数),使其在区间上是闭函数.21.(12分)已知都是大于零的实数.(1)证明;(2)若,证明.22.(10分)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.(Ⅰ)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
化的解析式为可判断①,求出的解析式可判断②,由得,结合正弦函数得图象即可判断③,由得可判断④.【详解】由题意,,所以,故①正确;为偶函数,故②错误;当时,,单调递减,故③正确;若对任意,都有成立,则为最小值点,为最大值点,则的最小值为,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用,涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容,是一道较为综合的问题.2、B【解析】
分两类:一类是医院A只分配1人,另一类是医院A分配2人,分别计算出两类的分配种数,再由加法原理即可得到答案.【详解】根据医院A的情况分两类:第一类:若医院A只分配1人,则乙必在医院B,当医院B只有1人,则共有种不同分配方案,当医院B有2人,则共有种不同分配方案,所以当医院A只分配1人时,共有种不同分配方案;第二类:若医院A分配2人,当乙在医院A时,共有种不同分配方案,当乙不在A医院,在B医院时,共有种不同分配方案,所以当医院A分配2人时,共有种不同分配方案;共有20种不同分配方案.故选:B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用,在做此类题时,要做到分类不重不漏,考查学生分类讨论的思想,是一道中档题.3、B【解析】
根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得,令,故可得,又因为,令,则,解得令,则.故选:B.【点睛】本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.4、C【解析】
设,求,作为的函数,其最小值是6,利用导数知识求的最小值.【详解】设,则,记,,易知是增函数,且的值域是,∴的唯一解,且时,,时,,即,由题意,而,,∴,解得,.∴.故选:C.【点睛】本题考查导数的应用,考查用导数求最值.解题时对和的关系的处理是解题关键.5、B【解析】
根据充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】A.内有无数条直线与平行,则相交或,排除;B.且,故,当,不能得到且,满足;C.且,,则相交或,排除;D.内的任何直线都与平行,故,若,则内的任何直线都与平行,充要条件,排除.故选:.【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的综合应用能力.6、C【解析】
根据表示不超过的最大正整数,可构建函数图象,即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数,其函数图象为选项A,函数,故错误;选项B,函数为非奇非偶函数,故错误;选项C,函数是以1为周期的周期函数,故正确;选项D,函数在区间上是增函数,但在整个定义域范围上不具备单调性,故错误.故选:C【点睛】本题考查对题干的理解,属于函数新定义问题,可作出图象分析性质,属于较难题.7、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,可得时,取得最大值,即,,,当时,解得,故选C.点睛:本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用,属于基础题;据平移变换“左加右减,上加下减”的规律求解出,根据函数在区间上单调递增,在区间上单调递减可得时,取得最大值,求解可得实数的值.8、C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.【详解】解:几何体的直观图如图,是正方体的一部分,P−ABC,正方体的棱长为2,
该几何体的表面积:.故选C.【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.9、C【解析】
由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,可得有解,令,则,对分类讨论,得出时,取得极大值,也即为最大值,进而得出结论.【详解】解:由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,即有解,令,则,则当时,;当时,,故时,取得极大值,也即为最大值,当趋近于时,趋近于,所以满足条件.故选:C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法,考查化归与转化等数学思想,考查抽象概括、运算求解等数学能力,属于难题.10、C【解析】
根据定义,求出,即可求出结论.【详解】因为集合,所以,则,所以.故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算,理解新定义是解题的关键,属于基础题.11、D【解析】
图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数;A中,,,故为奇函数;B中,的定义域为,不关于原点对称,故为非奇非偶函数;C中,由正弦函数性质可知,为奇函数;D中,且,,故为偶函数.故选:D.【点睛】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法:对于函数的定义域内任意一个都有,则函数是奇函数;都有,则函数是偶函数(2)图象法:函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称.12、A【解析】
根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.【详解】由程序框图的运行,可得:S=0,i=0满足判断框内的条件,执行循环体,a=1,S=1,i=1满足判断框内的条件,执行循环体,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2满足判断框内的条件,执行循环体,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…观察规律可知:满足判断框内的条件,执行循环体,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此时,应该不满足判断框内的条件,退出循环,输出S的值,所以判断框中的条件应是i<1.故选:A.【点睛】本题考查了当型循环结构,当型循环是先判断后执行,满足条件执行循环,不满足条件时算法结束,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
取的中点,连接,,取的中点,连接,,,直线与所成的角为,计算,,根据余弦定理计算得到答案。【详解】取的中点,连接,,依题意可得,,所以平面,所以,因为,分别、的中点,所以,因为,所以,所以平面,故,故,故两两垂直。取的中点,连接,,,因为,所以直线与所成的角为,设,则,,所以,化简得,解得,即.故答案为:.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14、【解析】分析:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),利用差角的正切公式,结合以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒为定值,即可求出线段OP的长.详解:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),则∵∠APB的大小恒为定值,
∴t=,∴|OP|=.故答案为点睛:本题考查圆与圆的位置关系,考查差角的正切公式,考查学生的计算能力,属于中档题.15、5【解析】
先作出可行域,再做直线,平移,找到使直线在y轴上截距最小的点,代入即得。【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图,令,则,作出直线,平移直线,由图可得,当直线经过C点时,直线在y轴上的截距最小,由,可得,因此的最小值为.故答案为:4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题,是基础题。16、【解析】
根据题意得出,由此可得出实数的值.【详解】,,直线的斜率为,由于函数在处的切线与直线平行,则.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的切线与直线平行求参数,解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、≤x≤【解析】由题知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,当且仅当(a+b)·(a-b)≥0时取等号,∴的最小值等于2.∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解,解不等式得≤x≤.18、(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)由平面,可得,又因为是的中点,即得证;(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,设,计算平面的法向量,由直线与平面所成角的大小为30°,列出等式,即得解.【详解】(Ⅰ)如图,连接交于点,连接,则是平面与平面的交线,因为平面,故,又因为是的中点,所以是的中点,故.(Ⅱ)由条件可知,,所以,故以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,,设,则,设平面的法向量为,则,即,故取因为直线与平面所成角的大小为30°所以,即,解得,故此时.【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合,考查了学生逻辑推理,空间想象,数学运算的能力,属于中档题.19、详见解析【解析】
选择①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再计算边上的高.选择②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求边上的高.选择③,利用余弦定理列方程求出,再计算边上的高.【详解】选择①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化简得,解得或(舍去);所以边上的高为.选择②,在中,由正弦定理得,又因为,所以,即;由余弦定理得,即,化简得,解得或(舍去);所以边上的高为.选择③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化简得,解得或(舍去);所以边上的高为.【点睛】本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形,属于中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)依据新定义,的定义域和值域都是,且在上单调,建立方程求解;(2)依据新定义,讨论的单调性,列出方程求解即可。【详解】(1)当时,由复合函数单调性知,在区间上是增函数,即有,解得;同理,当时,有,解得,综上,。(2)若在
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