信号与系统 第一章

1信号与系统

张宇讲师天津大学精仪学院精仪系四室2第一章信号与系统§1.1绪言一、信号、系统及相互关系二、信号与系统的理论体系三、课程性质和课程定位四、学习目的和学习方法五、参考书目和几点原则3确定信号与随机信号；时间连续与时间离散（模拟与数字）；周期信号与非周期信号；能量信号与功率信号；实信号与复信号；一维信号与多维信号；§1.2信号的分类4§1.3几种典型连续时间信号指数信号正弦信号复指数信号抽样信号***钟形脉冲信号（高斯函数）5加（减）、乘（除）、微分（积分）反转与平移尺度变换（横坐标展缩）§1.4信号的基本运算与基本变换6§1.5阶跃函数与冲激函数***函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。单位斜变信号单位阶跃信号单位冲激信号冲激偶信号基本奇异函数：主要内容：基本定义物理解释相互关系重要性质7系统数学模型系统的线性***系统的时不变特性系统的因果性系统的稳定性系统的框图表示§1.6系统的描述与分类（性质）

系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。

系统的分析方法：输入输出法（外部法）状态变量法（内部法）（chp.8不讲)外部法时域分析（chp.2,chp.3)变换域法连续系统—频域法(4)和复频域法(5)离散系统—z域法（chp6)系统特性：系统函数（chp.7部分)§1.7LTI系统分析方法概述（1）把零输入响应和零状态响应分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。求解的基本思路：采用的数学工具：（1）卷积积分与卷积和（2）傅里叶变换（3）拉普拉斯变换（4）Z变换三个重要问题：（1）基本信号及响应；（2）复杂信号的分解；（3）LTI系统分析方法。10§1.7LTI系统分析方法概述（绪论）时域时域(离散)频域(jw)频域(ejq)S域(连续)Z域(离散)基本信号d(t)d(k)ejwtejqkest(S=s+

jw)Zk(Z=rejq)数学方法卷积积分卷积和FS、FTDFSDTFTLTZT系统模型h(t)h(k)H

(jw)H

(ejq)H

(S)H

(Z)3+2<34>(6+3)311第一章小结信号分类：连续&离散（模拟、数字）；能量、功率信号典型连续信号（抽样信号）阶跃信号与冲激信号（定义、物理意义、常用特性）系统基本概念：系统模型；系统描述（分类）系统线性（零输入、零状态响应）系统时不变性、稳定性、因果性系统（连续）的框图模型与微分方程模型12第一章作业p23:1.2(3)(7)

;1.6(6)(7);

1.9;1.10(2)(4)(6)1.20(a)(b);1.291.32?例某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，全响应

y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应

y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t)。解设当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。

由题中条件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根据线性系统的齐次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得

y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得

y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改写成

y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)f1(t)→y1f(t)=[-4e-t+cos(πt)]ε(t)根据LTI系统的微分特性=-3δ(t)+[4e-t-πsin(πt)]ε(t)根据LTI系统的时不变特性f1(t-1)→y1f(t-1)={-4e-(t-1)+cos[π(t-1)]}ε(t-1)由线性性质，得：当输入f3(t)=+2f1(t–1)时y3f(t)=+2y1(t-1)=–3δ(t)+[4e-t

–πsin(πt)]ε(t)+2{-4e-(t-1)+cos[π(t-1)]}ε(t-1)16一、系统(数学)模型

－－描述系统的基本特征为了便于对系统进行分析，需要建立系统的模型，在模型的基础上可以运用数学工具进行系统研究。给定系统的结构和参数、初始条件的情况下，已知系统的特性求17由数学表达式表示的系统模型，为系统的数学模型由理想电路元件符号表示的系统模型i(t)LR

+e(t)-例如日光灯电路的电路模型什么是系统模型？1.4系统分析方法∑+-R/L∫e(t)1/Li(t)i’(t)由理想单元模型表示的系统框图18电感器的低频等效电路电感器的高频等效电路LRLRC1、建模是有条件的，同一物理系统，在不同的条件下，可以得到不同形式的数学模型。严格地说，只能得到近似的模型。系统模型——系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表示系统特性。关于系统模型的建立有几个方面须说明：1.4系统分析方法192、不同的物理系统，有可能得到形式上完全相同的数学模型。CRS(t=0)RC电路的零输入响应：（1－1）Mu(t)（速度）Bu(t)(摩擦力）（1－2）物体的减速运动：（1－1）与（1－2)是形式上完全相同的数学模型1.4系统分析方法20

3、较复杂的系统，同一系统模型可有多种不同的数学表现形式状态方程---------------适合于多输入多输出系统分析（一阶微分方程组）例：若选作为输出，则系统的状态方程为：一阶微分方程组-------状态方程

+uc(t)-1.4系统分析方法1.连续系统与离散系统

若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。

若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。2.动态系统与即时系统

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。3.单输入单输出系统与多输入多输出系统系统的分类（描述）：22六、系统的框图表示Y(t)=f(t-T)Tf

(t)∑f1

(·)f2

(·)f1

(·)

+f2

(·)×f1

(·)f2

(·)f1

(·)

·f2

(·)af(·)af(·)f(·)af(·)a∫f（t）(a)积分器Y(k)=f(k-1)Df

(k)(b)延迟单元(c)加法器(d)乘法器(e)标量乘法器(f)延时器（延时T）基本单元：23∑+-a1∫f（t）y(t)∫-a0y’(t)y’’(t)y’’(t)=-a1

y’(t)-a0y(t)+f(t)即：y’’(t)+a1y’(t)+a0y(t)=f(t)由系统的框图表示列写系统微分方程-1：24∑+-a1f(t)x(t)-a0x’(t)x’’(t)∑y(t)∫∫b0b1b2x’’(t)=-a1

x’(t)-a0x(t)+f(t)即，x’’(t)+a1

x’(t)+a0x(t)=f(t)对于左边的加法器，有：对于右边的加法器，有：y(t)=b2x’’(t)+b1

x’(t)+b0x(t)a0y=b2(

a0x’’)+b1(a0x’)+b0(a0x)a1y’=b2(a1x’’)’+b1(a1x’)’+b0(a1x)’y’’=b2(x’’)’’+b1(x’)’’+b0(x)’’所以，y’’(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b2f’’(t)+b1

f’(t)+b0f(t)

由框图到方程-225由线性叠加原理列写框图方程y1’’(t)+a1

y1’(t)+a0y1(t)=b0f(t)y1’(t)/b0∑+-a1∫f（t）y1

(t)/b0∫-a0y1’’(t)/b0y1(t)b0y2’’(t)+a1

y2’(t)+a0y2(t)=b1f’(t)∑+-a1∫f（t）∫-a0y3(t)b2y3’’(t)+a1

y3’(t)+a0y3(t)=b2f’’(t)∑-a1f(t)-a0∑y(t)∫∫b0b1b2y’’(t)+a1y’(t)+a0y(t)=b2f’’(t)+b1

f’(t)+b0f(t)

∑+-a1f（t）∫-a0∫y2

(t)/b1y2(t)b1y2(t)/b1y’2(t)/b1∫26框图到方程-3（例）∑+-3f(t)x(t)-2x’(t)x’’(t)∑y(t)∫∫13所以，y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=3

f’’(t)+0f’(t)+1

f(t)即，y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=3

f’’(t)+f(t)∑+-3f(t)x’(t)-2x’’(t)x’’’(t)∑y(t)∫∫13∫x(t)-2即，y’’’(t)+3y’’(t)+2y’(t)+2y(t)=3

f’’(t)+f(t)有y’’’(t)+3y’’(t)+2y’(t)+2y(t)=0f’’’(t)+3

f’’(t)+0f’(t)+1

f(t)27y1(t)3二、系统的线性1、系统的线性的基本含义＝齐次性与可加性X1(t)X2(t)355y2(t)线性系统3X1(t)+5X2(t)3y1(t)+5y2(t)齐次性：可加性：T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]2、动态系统是线性系统的条件

动态系统不仅与激励{f

(·)}有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。初始状态也称“内部激励”。完全响应可写为

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零状态响应为

yf(·)=T[{f

(·)},{0}]零输入响应为

yx(·)=T[{0}，{x(0)}]当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：②零状态线性：

T[{af

(·)},{0}]=aT[{f

(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1

(·)},{0}]+T[{f2

(·)},{0}]或

T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]③零输入线性：

T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]①可分解性：

y

(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f

(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]例：判断下列系统是否为线性系统？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yf(t)=2f

(t)+1，yx(t)=3x(0)+1显然，y

(t)≠yf(t)＋yx(t)不满足可分解性，故为非线性（2）

yf(t)=|f

(t)|，yx(t)=2x(0)

y

(t)=yf(t)+yx(t)满足可分解性；由于T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayf(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）

yf(t)=2f

(t),yx(t)=x2(0)，显然满足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayx(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。例：判断下列系统是否为线性系统？解：y

(t)=yf(t)+yx(t)，满足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，满足零状态线性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。32三、系统的时不变特性系统的特性（参数）不随时间的变化而变化－时不变系统；系统的特性（参数）随时间的变化而变化－时变系统；时不变系统f(t)tyzs(t)tyzs(t-t0)t0tf(t-t0)t0tT[{0}，f(t)]=yzs(t)

T[{0}，f(t–

t0)]=yzs(t–

t0)例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yf(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yf(t)=tf

(t)

（3）yf(t)=f

(–t)解(1)令g

(k)=f(k–kd)T[{0}，g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yf(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)显然T[{0}，f(k–kd)]=yf(k–kd)故该系统是时不变的。(2)令g

(t)=f(t–td)T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yf(t–td)=(t–td)f

(t–td)显然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故该系统为时变系统。(3)令g

(t)=f(t–td),T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yf(t–td)=f

[–(t–td)]，显然

T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故该系统为时变系统。直观判断方法：若f

(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。LTI连续系统的微分特性和积分特性

本课程重点讨论线性时不变系统(LinearTime-Invariant)，简称LTI系统。①微分特性：若f(t)→yf(t)，则f’(t)→y’

f(t)②积分特性：若f(t)→yf(t)，则36四、系统的因果性系统响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统－因果系统f(t)=0t<t0(0)

yf(t)=T[{0},f(t)]=0,t<t0(0)

因果系统yf(t)=3f(t-1)∵当f(t)=0t<0

yf(t)=3f(t-1)=0t<1∴该系统为因果系统yf(t)=3f(t+1)∵当f(t)=0t<0

yf(t)=3f(t+1)=0t<-1∴该系统为非因果系统所有实际存在的模拟系统都是因果的；能够实时实现的数字系统都是因果的。例：37五、系统的稳定性稳定系统:有界的输入产生有界的输出－BIBO定义︱f(·)︱<∞︱yf(·)︱<∞例：可以证明，对于所有f(t),此系统满足BIBO稳定。一．单位斜变信号1．

定义3．三角形脉冲由t-t0=0可知起始点为2．有延迟的单位斜变信号

下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列γn(t)如图所示。n→∞二．单位阶跃信号二．单位阶跃信号有延迟的单位阶跃信号阶跃信号的实质在于****可方便表示信号的接入或断开时刻－开关函数阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分用单位阶跃信号描述其他信号其他函数只要乘以门函数，就剩下门内的部分－－信号的持续时段、亦或分段表示。符号函数：(Signum)门函数：也称窗函数平移、反转、尺度变换相结合已知f

(t)，画出f

(–4–2t)。三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t进行。压缩，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)压缩，得f

(2t)右移2，得f

(2t–4)反转，得f

(–2t–4)也可以先压缩、再平移、最后反转。若已知f

(–4–2t)，画出f

(t)。反转，得f

(2t–4)展开，得f

(t–4)左移4，得f

(t)三．单位冲激（难点）描述一类强度极大、作用时间极短一种物理现象例如：概念引出单位冲激函数（信号）定义1：狄拉克(Dirac)函数函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；

t=0时，，为无界函数。

定义2（广义极限）面积保持1；脉宽↓；

脉冲高度↑；

则窄脉冲集中于t=0处。★面积为1★宽度为0★三个特点：t/2-t/21积分分微d(t)

(t)冲激函数与阶跃函数关系：可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导若面积为k，则强度为k。三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取

0极限，都可以认为是冲激函数。描述时移的冲激函数冲激函数的性质1．抽样性2．奇偶性3．冲激偶4．标度变换抽样性(筛选性)对于移位情况：如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

0ε(t)2.

奇偶性证明奇偶性时，主要考察此函数的作用，即和其他函数共同作用的结果。由定义1，矩形脉冲本身是偶函数，故极限也是偶函数。由抽样性证明奇偶性。3.冲激偶31

冲激偶的性质时移，则：

42X4.对

(t)的标度变换冲激偶的标度变换

奇偶性p(at)1/tS=1S=1/at/2-t/21/tp(t)t→0d(t)d(t)/a已知f(t)，画出g(t)=f’(t)和g(2t)求导，得g(t)压缩，得g(2t)复合函数形式的冲激函数

实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相等的实根ti

(i=1，2，…，n)ε[f(t)]图示说明：例f(t)=t2–4ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)一般地，这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为的n个冲激函数构成的冲激函数序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。四.

R(t)，

(t)，

(t)之间的关系

R(t)

求 ↓↑ 积 (-

<t<)

(t)

导 ↓↑分

(t)

五、冲激（偶）函数的性质总结（2）与普通函数相乘（4）尺度、奇偶性（3）抽样特性

（1）微积分性质移位情况？移位情况？重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。1．指数信号单边衰减指数信号l

指数衰减,l

指数增长l

直流(常数),KO通常把1/a称为指数信号的时间常数，记作

,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。f(t)03．复指数信号讨论S=s+jw为复数，称为复频率s,w均为实常数欧拉(Euler)公式4．抽样信号(SamplingSignal)性质主瓣旁瓣在随机信号分析中占有重要地位。5．钟形脉冲函数(高斯函数)Ot()t