冲刺双一流备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练新高考版第3讲三角恒等变换与解三角形重难点题型突破含解析

Page1第2讲三角恒等变换与解三角形目录第一部分：知识强化第二部分：重难点题型突破突破一：三角函数式求值突破二：已知三角函数值求角问题突破三：三角函数式化简突破四：和（差）角公式逆应用突破五：拼凑角突破六：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题角度2：利用正弦定理解三角形角度3：利用余弦定理解三角形角度4：正余弦定理综合应用突破七：判断三角形的形状突破八：三角形面积相关问题第三部分：冲刺重难点特训第一部分：知识强化1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）（2）（3）2、二倍角公式①②；；③3、降幂公式①②4、辅助角公式(其中)5、正弦定理6、余弦定理；7余弦定理的推论；；8、三角形常用面积公式①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).第二部分：重难点题型突破突破一：三角函数式求值1．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））若为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】为第二象限角，，，由得：，，，，.故选：D.2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，则,故选：．3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）求值_________．【答案】##【详解】，故答案为：.4．（2022·河南焦作·一模（理））计算：___________.【答案】##【详解】.故答案为：突破二：已知三角函数值求角问题1．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．或【答案】A【详解】依题意，均为锐角，由得，由得，所以，而，所以.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，，，又，.故选：B.3．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））已知，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，且，，所以，，所以，因为，，所以，，所以，所以，故选：C4．（2022·全国·高一课时练习）已知，均为锐角，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，均为锐角，且，，∴，，∴.又∵，均为锐角∴.∴.故选：B.5．（2022·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为所以，整理得：，因为，所以，所以，解得：故选：B突破三：三角函数式化简1．（2022·广东汕头·高三期中）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】故选：A2．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数（且）的图像过定点P，且角的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于___________.【答案】【详解】由题设知：过定点，故，所以.故答案为：3．（2022·全国·高三专题练习）化简：＝________.【答案】##【详解】原式=故答案为：4．（2022·全国·高三专题练习）化简：值是________．【答案】【详解】解：，故答案为：5．（2022·山西忻州·高三阶段练习）（1）已知，求；（2）已知，，且，，求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，，所以，即所以（2）因为，，且，，所以，，所以，因为，，所以，所以突破四：和（差）角公式逆应用1．（2022·江苏·高三专题练习）（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式，化简可得：.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，∴tan(A＋B)＝＝－.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.故选：C3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知，则的可能值为（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】依题意，原等式变为：，即，显然是第三象限角或第四象限角，，即或，于是得，当时，，当时，，所以的可能值为或.故选：BD4．（2022·江苏·海安市立发中学高三期中）在中，若，则_________.【答案】【详解】因为，所以，，由题意可得，若，则，不妨设为锐角，则，则，不合乎题意，所以，，故，因此，.故答案为：.5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知，，，则__________【答案】【详解】，，；，两式作和得：，.故答案为：.突破五：拼凑角1．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以，又，所以，所以故选：D2．（2022·天津·高三期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，故选：D3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，..故选：A4．（2022·山西忻州·高三阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】,,.故选：C5．（2022·山东烟台·高三期中）已知，则______．【答案】【详解】由诱导公式可知，，因为，所以.故答案为：.突破六：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题1．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）在中，，，，此三角形解的情况为（

）A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定【答案】B【详解】由正弦定理，可得，则，因为，则，所以有两个解，故选：B.2．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））在中，若，，，则此三角形解的情况为（

）A．无解 B．两解C．一解 D．解的个数不能确定【答案】C【详解】由正弦定理，得，得，因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.故选：C.3．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）在中，已知，则满足条件的三角形（

）A．有2个 B．有1个 C．不存在 D．无法确定【答案】A【详解】由正弦定理可得，又所以，所以，因为，所以,又所以或∴满足条件的三角形有2个．故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则此三角形（

）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解【答案】A【详解】在中，，由正弦定理得，而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解．故选：A5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则此三角形（

）A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定【答案】C【详解】由正弦定理，得，解得.因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解，故选：C.角度2：利用正弦定理解三角形1．（2022·四川·成都市第二十中学校高三期中）中，已知、、分别是角、、的对边，且，、、成等差数列，则角（

）A． B． C．或. D．或【答案】D【详解】由，利用正弦定理得:，即，，，，.或.或.又、、成等差数列，则，由，得.当时，；当时，.或故选：D.2．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】或（舍）故选：C.3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，，则__________．【答案】【详解】解：在中，由正弦定理得，，．故答案为：．4．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______．【答案】【详解】由正弦定理，①，又，代入式①得：，∴，∵，∴，，故，又，∴．故答案为：5．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）已知在中，，，，则_________．【答案】14【详解】∵在中，，，∴，，∴，∴，∴．故答案为：14角度3：利用余弦定理解三角形1．（2022·河南·高三阶段练习（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则B＝______．【答案】【详解】由余弦定理可得，化简得，则，又，所以，故答案为：．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）在中，角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为___________.【答案】【详解】由余弦定理可知：，而，因为，所以，因为，当时等号成立设的面积为，所以有，故答案为：3．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）设的内角的对边分别为，，则__．【答案】8【详解】解：在中，因为，所以，又，所以，所以，所以.故答案为：8．4．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则的面积S为___________．【答案】【详解】因为，所以由得，解得，故，又因为，所以，故，所以故答案为：.5．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形的三边分别是，，，则该三角形的内切圆的半径是________.【答案】【详解】解：设中、、，由余弦定理可得，即，所以，则，所以，设的内切圆的半径为，则，即，解得；故答案为：6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acosB－bcosA）＝16，a－b＝2，∠C＝，则c的值等于___．【答案】【详解】解：由余弦定理，得，∴，又，则，则a＝5，b＝3，又，所以，∴．故答案为：角度4：正余弦定理综合应用1．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））在中，内角，，所对的边分别为．已知．则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，因为，得又因为得整理得由正弦定理可得得得，因为所以所以故选:B2．（2022·河南驻马店·高三阶段练习（理））钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（

）A．9 B． C．6 D．【答案】A【详解】解：因为，所以，又因为，所以，为锐角，所以，，因为由余弦定理得，解得或，因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去.所以所以的周长为．故选：A3．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）在中，角所对的边为，若，且的面积，则的取值范围是______．【答案】【详解】已知的面积，则，即，即，则，由可得：，由余弦定理可得：，即，由正弦定理可得：，则,由正弦定理可得：，则，又，则,则，则.故答案为：.4．（2022·江西赣州·高三期中（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c是a，b的等比中项，且的面积为，则_________．【答案】【详解】由正弦定理得，，即，又，所以，得，由，得，得.又c是a，b的等比中项，所以.由余弦定理得.∴，即，则，即.故答案为：5．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，角的平分线交于点M，若，则______．【答案】【详解】因为，所以由正弦定理得，即，故，因为，则，所以，所以，因为平分，所以，在中，，即，在中，，即，因为，所以，所以，所以，故，在中，，所以，即，解得，，由得，即，所以.故答案为：6．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在中，为上一点，，，则______；若，则______．【答案】

##

##【详解】如下图所示：在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，消元可得，所以，；在中，由正弦定理可得，①在中，由正弦定理可得，②②①可得，，，，由余弦定理可得.故答案为：；.突破七：判断三角形的形状1．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则为（

）A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【详解】由结合正弦定理可得，即，所以，所以，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形，故选：C2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））在中，已知，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【答案】B【详解】因为，，所以，所以由正余弦定理得，化简得，所以，所以为等腰三角形.故选：B.3．（2022·四川·模拟预测（文））在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（

）A．等边三角形 B．钝角三角形C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【详解】向量，共线，，由正弦定理得：，，则，，，，即．同理可得．形状为等边三角形．故选：A．4．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，，则一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．无法确定【答案】A【详解】解：由，根据余弦定理，故，所以，所以，，所以，所以，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，从而.所以三角形为等边三角形，故选:5．（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（

）A．钝角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】在中，由正弦定理得，而，∴，即，又∵、为的内角，∴，又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴为等边三角形.故选：B.突破八：三角形面积相关问题1．（2022·贵州·模拟预测（文））在中，角，，所对的边分别为，，，是边上一点，平分，且，若，则的最小值是（

）A． B．6 C． D．4【答案】C【详解】解：∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为.故选：C.2．（2022·河南·高三阶段练习（理））在中，已知，AC＝4，则的面积为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【详解】依题意，∴由正弦定理得∴．故选：C．3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知的内角所对的边分别为，记的面积为.若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，由余弦定理得即，（其中）因为，所以当时，，所以所以故选:C.4．（2022·天津二十中高三阶段练习）已知是内的一点，且，则的最小值是（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】A【详解】由得取边中点为,则,因此可知：在过且与平行的中位线上，由得,由于为三角形的内角，因此,所以,所以,因此,设，故，当且仅当时，即时，等号成立，故最小值为8，故选：A5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且，则的面积为_________________．【答案】##【详解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．在中，，在中，，联立两式，整理得①；在中，由余弦定理得，②，解得，，∴，∵，∴．6．（2022·江苏常州·高三期中）在中，，，边上的中线长为，则的面积为______．【答案】【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，设中点为，，所以所以，解得，所以，所以．故答案为：.7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））在中，，点D在线段AC上，且，，则面积的最大值为_________．【答案】【详解】设，则，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由于，得，即，整理，得，在中，由余弦定理，得，即，代入式化简整理，得，由，解得，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为.故答案为：.8．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为_______．【答案】【详解】解：解法1：，又，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∵，∴，．解法2：由射影定理，，又由题意，，∴，∴，∵，∴，又，∴，．故答案为：第三部分：冲刺重难点特训一、单选题1．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，∴，∴，故选：D．2．（2022·江苏南通·高三期中）已知，，则等于(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】．故选：C．3．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，故，.故选：B4．（2022·湖北·宜都二中高三期中）等于（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】.故选：C.5．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】.故选：A.6．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（

）A．9 B．4 C．3 D．8【答案】B【详解】由条件可得.在中，由余弦定理得，∴，∴，，∴，∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为，∴面积为4.故选：B7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，即，由余弦定理可得，即，又，故可得，由正弦定理可得：，则，，又均为锐角，故可得，即；由可得，又，故可得；由，可得；又，又，，解得或（舍去负值）,则，即的取值范围是.故选：A.8．（2022·江西省丰城中学高三期中（文））已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以.设可得则是的重心，，利用