高中数学概率与统计真题(解析版)

高中数学专题23概率与统计真题汇编在1,2,3...,10中随机选出一个数a,在-1,-2,-3....,-10中随机选出一个数b则a2+b被3整除的概率为.【答案】2【解析】若aW{1,2,4,5,7,8,10},・二二：Z若卍+占三0modg二b=—1mod3=>be{-L.—4,-7f-L0；.若aW{3,6,9},L三匚工3.若+.£?e0mod3=?ae0mod3=>£?e{一务一6』一刘.••・a2+b为3的倍数的概率为二'二三将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f则abc+def是偶数的概率为【答案】三【解析】先考虑abc+def为奇数的情况，此时abc,def一奇一偶，若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样有3!x3!=36种情况，由对称性可知，使abc+def为奇数的情况数为36x2=72种.从而abc+def为偶数的概率为-_7=-_^7二三.袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币.则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为【答案】三【解析】一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b,从而,_2—-故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为{「二.又此时】y二二即从B中取走的两张纸币不能均为1元纸币，相应有一门二，种取法.因此,3X1Q所求的概率为因此,3X1Q所求的概率为二在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为.【答案】二【解析】设正方体为4二、匸=—二J二,共12条棱，从中任意取出三条棱的方法有匚二=种.下面考虑使三条棱两两异面的取法数.由于正方体棱共确定三个互不平行的方向（即店、心上的方向），具有相同方向的四条棱两两共面，因此，取出的三条棱必属于三个不同的方向•可先取定口弓方向的棱，这有四种取法.不妨设取的棱为恥•则匸方向只能取棱或"；，共两种可能•当屈:方向取棱或&;时，屈方向取棱分别只能为门；或二耳.综上，三条棱两两异面的取法数为8.故所求概率=二.设A、B、C、D为空间四个不共面的点，以f的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则点A与B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为.【答案】【解析】每对点之间是否连边有2种可能，共有匸二「二种情形.考虑其中点A、B可用折线连接的情形数.⑴有边AB:共丁二理种情形.（2）无边AB,但有边CD:此时，点A、B可用折线连接当且仅当点A与C、D中至少一点相连，且点B与C、D中至少一点相连，这样的情形数为>--<⑶无边AB，也无边CD:此时,AC与CB相连有匸种情形,AD与DB相连也有「情形，但其中AC、CB、AD、DB均相连的情形被重复计了一次，故点A与B可用折线连接的情形数为m二二综上，情形数的总和为H二故点A与B可用折线连接的概率炬二从1，2,…，20中任取五个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率.【答案】三【解析】设；X取自1,2,…,20.若匚_心，，l"：5互不相邻，则1兰卫1_€口二一—他―SVdg—斗兰16.由此知从1,2,…，20中取五个互不相邻的数的选法与从1,2,…，16中取五个不同的数的选法相同，即「二种.于是，所求的概率为-_才=~.某情报站有-人二四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种•设第一周使用A种密码•那么，第七周也使用月种密码的概率是（用最简分数表示）•【答案】壬.【解析】用巴表示第周用T种密码本的概率•则第周末用T种密码的概率为1-？.：.故巴__=TI一三：::三:=比一厂［二一［.現_［‘、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于5者为胜，否则，由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率是.【答案】=【解析】同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率疙二二，从而，先投掷人的获胜概率为_二：、二_'壬、二-=二9•某车站每天早上8：00〜9：00、9：00〜10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律见表1.一旅客8：20到站.则他候车时间的数学期望为（精确到分）.表1到站时刻8：10~9：108：30~9：308：50~9：50111概率623【答案】27【解析】

旅客候车时间的分布如下表.候车时间（分）103050709011111111概率236X63X6候车时间的数学期望为一22从1,2,…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（）.A1b1c1d宀・19d・issg丄丿.sg【答案】D【解析】从这20个数中任取三个数，可构成的数列共有弋个.若取出的三个数a、b、c成等差数列，则a+c=2b.故a与c的奇偶性相同，且a、c确定后，b随之而定.从而，所求概率为=77选D.掷两次色子，用X记两次掷得点数的最大值.则下列各数中,与期望最接近的数为（）A.4B.三C.5D.二【答案】B【解析】易知P（X=2）=—-—=HE'P(X=ifi26=e)P(X=ifi26=e)S£HE咔3E3EIf与最接近.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数随机填入•：「:的方格表中，每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率.【答案】二.【解析】要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满足条件的填法共有H三<-'种•因此所求的概率为''「二=二.故答案为：二从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概【答案】三【解析】如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：JJJS3―吕5,<Z)对于(1)，有3种情况；对于(2),有9种情况：对于(3)；有18种情况；故所求概率为宁^三，故答案为：三从1,2,-,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方潼’乞1的概率=.【答案】=【解析】二厂二厂门的样本方差♦二：［=T：H】，当且仅当―、X是连续的正整数.故？八二-：=f=二.故答案为：二已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次f7,女生闯过一至四关的概率依次求男生闯过四关的概率；设「表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量-的分布列和期望.【答案】⑴：；(2)见解析【解析】分析：(1)利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；⑵记女生四关都闯过为事件贝yF「二：迁二：,啲取值可能为0,1,2,3,4,利用相互独立事件的概率公式即可得出.Ejl31详解：(1)记男生四关都闯过为事件4,贝卩丄(2)记女生四关都闯过为事件乳贝卜：，：.，=”,亠+亠S因为"二'：:陀=町=疔y4$(；)■-③弋迁•厲一三,mbmb所以y的分布如下:©0]234P642259622552225122251225E④二0X吐I戈竺+2工竺+4其亠二竺二仝巾■?匚i>nEr?rp|—nnrrpnic■匚'ua-iOuuDs_is_ibuu*i-iiPJL?点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力.7.设n为给定的大于2的整数。有n个外表上没有区别的袋子，第k(k=l,2,…,n)个袋中有k个红球,n-k个白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球每次取出不放回)。求第三次取出的为白球的概率。【答案】三【解析】设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为n(n-l)(n-2).第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：(白，白，白)取法数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2)，(白，红，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，(红，白，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，(红，红，白)取法数为k(k-1)(n-k).从而，第三次取出的是白球的种数为(n-k)(n-k-1)(n-k-2)+k(n-k)(n-k-1)+k(n-k)(n-k-1)+k(k-1)(n-k)=(n-1)(n-2)(n-k).则在第h个袋子中第三次取出的是白球的概率为凡=-?-■而选到第k个袋子的概率为匕故所求的概率为故故J住-尤住七J"蹑丹二=17—=算鮎@_町=古5舀?心宁8.在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成A、B、C三个项目.已知选手甲完成A、B、C三个项目的概率分别圮二:每个项目之间相互独立.选手甲对A、B、C三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率.该活动要求项目A、B各做两次，项目C做三次•若两次项目A均完成，则进行项目B,并获得积分a；两次项目B均完成，则进行项目C,并获积分3a；三次项目C只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分6a(积分不累计)，且每个