高中数学经典50题(附答案)2610

高中数学题库1.求下列函数的值域：txftt2＋t＋1,∵|sinx|≤1,∴|t|≤1.t问题转化为求关于的二次函解法2令＝sin,则<>＝－ft数<>在闭区间[－1,1]上的最值．本例题<2>解法2通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的内在联系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉,由复杂化简单,一句话：由难化易．可见化归是转换的目的,而转换是实现化归段手段。2.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此慧星离地4球相距万千米和m万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为m32和3,求该慧星与地球的最近距离。x2y21b2解：如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点(,0)处,椭圆的方程为Fca2〔图见教材P132页例1。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时,由椭圆的几何意义可知,彗星A只能31ABOx于B，则FBFA223满足xFA(或xFA/)。作m33mc(a2c)ac故由椭圆第二定义可知得43mc(a2c32m)ac两式相减得1c2mm,a2c.代入第一式得m1(4cc)3c,3a32223答：彗星与地球的最近距离为m万千米。说明：〔1在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该1/44椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是ac,另一个是ac.〔2以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质。Km3.A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6,C在B正北偏西30,相距4,P为敌炮Km阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A距P地远,因此4后,B,Cs才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1Km/s,A若炮击P地,求炮击的方位角。〔图见优化设计教师用书P249例2解：如图,以直线BA为轴,线段BA的中垂线为y轴建立坐标系,则xB(3,0),A(3,0),C(5,23),因为PBPC,所以点P在线段BC的垂直平分线上。13,BC中点D(4,3),所以直线PD的方程为因为ky3(x4)〔13BC又PBPA4,故P在以A,B为焦点的双曲线右支上。设(,),则双曲线方程为Pxyx221(x0)y〔2。联立〔1〔2,得x8,y53,4553383所以P(8,53).因此k,故炮击的方位角北偏东30。PA说明：本题的关键是确定P点的位置,另外还要求学生掌握方位角的基本概念。4.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽度为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时,小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为2py(p0)。将B〔4,-5代入得x2P=1.62/44则A<2,yA>,由22=-3.2yA得yA=-1.25因为船露出水面的部分高0.75米和相交于点M,,点1222形,AM17,AN3,且NB＝6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程。解：以直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段Cl1是以点N为焦点,以为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段C的端点。l2设曲线段C的方程为2px(p0)(xxx,y0),其中y2x,xABA为A、B的横B坐标,pMN,所以M(p,0),N(p,0),由AM17,AN3,得22(xp)22px17〔12AA(xp)22px9〔2,〔1〔2联立解得x4,代入〔1式,并由p02pAAAp4p2,因为p2,所以x2px,故舍去解得或AMN为锐角三角形,所以x1x22AAAAp4x1AP由点B在曲线段C上,得xBNB4,综上,曲线段C的方程为2y28x(1x4,y0)[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法,待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6.设抛物线y24ax(a0)的焦点为A,以B<a+4,0>点为圆心,︱AB︱为半径,在x轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交与不同的两点M,N。点P是MN的中点。〔1求︱AM︱+︱AN︱的值〔2是否存在实数a,恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列？若存在,求出a,不存在,说明理由。解：<1>设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′.︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a又圆方程[x(a4)]2y216将4ax代入得x2(4a)xa28a0y22xx24a得︱AM︱+︱AN︱=8MN<2>假设存在a因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱所以︱AP︱=︱PP′︱,P点在抛物线上,这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。y22pxp0上有两动点A,B及一个定点M,F为焦点,若AF,MF,BF成7.抛物线等差数列求证线段AB的垂直平分线过定点Q（1）（2）4,MFOQ6〔O为坐标原点,求抛物线的方程。若（3）对于〔2中的抛物线,求△AQB面积的最大值。,则ppp解：〔1设AFx1,BFx2,MFx0Ax,y,Bx,y,Mx,y,222112200xx,其中由题意得,x0AB的中点坐标可设为xt,12204/44yytAFMFBFp0,0〔否则122yyyy2pyytp,故AB而的垂直平分线为k1xx2121ABy2y212122p12,0yttxxtxxpyp0,可知其过定点Qxp,即p000MF4,OQ6,得p4,6,联立解得xp〔2由p4,x2y28x。0x02042〔3直线AB：yty28x,代入得xt224y22ty2t2160yyyyyy12644t2,,1212222txxyy1612121256t4Q6,0,又点到AB的距离212ABdAQB1256t16td16t2S,42414096256t216t4t64令u4096256t216t4t6u512t64t36t5u0即,则,令161634512t64t36t50,得t0或t216或t2,t2t3时3364S6。9AQB[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法,必须熟练掌握,对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线l:ytan(x22)9y9交椭圆x2的长不小于短轴的长,求的取值范围。2于A、B两点,若为的倾斜角,且lAB解：将的方程与椭圆方程联立,消去,得yl(19tan2)x2362tan2x72tan2905/441,3tan333,3AB2,得tan2由5的取值范围是0,,66[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于的方程由tan给出,l2时的情况。所以可以认定2,否则涉及弦长计算时,还要讨论y2x与直线yk(x1)相交于A、B两点9、已知抛物线（1）求证：OAOB（2）当OAB的面积等于时,求的值。k10xy2（1）证明：图见教材P127页,由方程组消去x后,整理得yk(x1)ky2yk0AxyBxy。设(,),(,),由韦达定理得1122yy1A,B在抛物12线y2x上,y212x,yy2xx221xy,12212y0,则x1，即N（－1，0）（2）解：设直线与轴交于N,又显然xk0,令[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件,三角形的面积公式,函数与方程的思想,以及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围。〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称,直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：y2+4ky-4m=0,设B〔x1,y1、C〔x2,y2,BC中点M〔x0,y0,则y0=〔y1+y2/2=-2k。x0=2k2+m,∵点M〔x0,y0在直线上。∴-2k〔2k2+m+3,∴m=-2k32k3又BC与抛物线交于不同两点,kk32k30即(k1)(kkk3)0,2∴⊿=16k2+16m>0把m代入化简得解得-1<k<0k6/44[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。11、已知椭圆的一个焦点F〔0,-22,对应的准线方程为y=-92,且离心率e满足：142/3,e,4/3成等比数列。（1）求椭圆方程；1（2）是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x=-平ll2分。若存在,求l的倾斜角的范围；若不存在,请说明理由。〖解〗依题意e=223〔1∵a2c-c=924222∴=3,c=22,b=1,又F1〔0,-22,对应的准线方-22=,又e=a43程为y=-92。∴椭圆中心在原点,所求方程为：4y2x2=191〔2假设存在直线,依题意交椭圆所得弦MN被x=-平分,∴直线的斜率存在。设直线lll2l：ykxm由ykxmy2x29=1消去y,整理得(k29)x22kmxm29=0∵直线与椭圆交于不同的两点M、N∴⊿=4k2m2-4<k2+9><m2-9>>0l即m2-k2-9<0①设M〔x1,y1、N〔x2,y2xxkmk29②∴1,∴mk12222k29把②代入①可解得：k3或k37/442l∴直线倾斜角,,3223[思维点拔]倾斜角的范围,实际上是求斜率的范围。3xy6012、设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by〔a>0,b>0的值是最大值为xy20x0,y02312,则的最小值为〔ab25B．83113A．C．D．46答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z〔a>0,b>0过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点〔4,6时,目标函数z=ax+by〔a>0,b>0取得最大12,即23232a3b13ba1325()26,故选A．6ab64a+6b=12,即2a+3b=6,而=()abab6点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求23的ab最小值常用乘积进而用基本不等式解答．13、本公司计划20XX在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为y0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的500广告时间,才能使公司的收最益大,最大收是益万元．400答案：70300解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为xMl2001008/440100200300xxy≤300，分钟和分钟,总收益为元,由题意得z500x200y≤90000，x≥0，y≥0.y目标函数为z3000x2000y．xy≤300，二元一次不等式组等价于5x2y≤900，x≥0，y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域．如图：作直线l:3000x2000y0,即3x2y0．平移直线,从图中可知,当直线过点时,目标函数取得最大值．Mxy300，x100，y200．点的坐标为(100，200)．M解得联立5x2y900.z3000x2000y700000〔元．max点评：本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力,随着课改的深入,这类试题应该是高考的热点题型之一．a)||14、设为实数,函数()2(fxxxaxa．2a<1>若f(0)1,求的取值范围；<2>求f(x)的最小值；<3>设函数h(x)f(x),x(a,),直接写出．．．．<不需给出演算步骤>不等式h(x)1的解集．a0；a1a21解析：〔1若(0)1,则a|a|1ff(a),a02a2,a0〔2当xa时,f(x)3x22axa2,f(x),f(a),a02a2,a0min339/44f(a),a02a2,a0,xa时,当2f(x)x,()axa2fx2f(a),a02a2,a0min2a2,a0综上f(x)；,a02a2min3〔3x(a,)时,()1得3x2axa10,hx226或a6时,0,当a2(,)；xa2(xa32a2a32a26a6时,△>0,得：)(x)0；当2332xa26讨论得：当a(,)时,解集为(,)；22a时,解集为(a,a32a2][a32a2,)；当a(26,22)3332a222,]时,解集为[a,)．当a[223点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．15、知函数f(x)1x3x2．23〔Ⅰ设3．若点(a,a22a)<n∈n是正数组成的数列,前项和为,其中a1aSnnn1n1nN*>在函数yf'(x)的图象上,求证：点(n,S)也在nyf'(x)的图象上；〔Ⅱ求函数f(x)在区间(a1,a)内的极值．解析：<Ⅰ>证明：因为f(x)1x3x22,所以f'(x)x22x,3由点(a,a22a)(nN)在函数yf'(x)的图象上,a2n12aa22annn1n1n1n(aa)(aa)2(aa),又0(nN),an1nn1nnn1n是a3,d2的等差数列,所以aa2,ann11n10/44所以S3nn(n1)2=n22n,又因为f'(n)n22n,所以S(),fn2nn故点(n,S)也在函数yf'(x)的图象上．n<Ⅱ>解:f(x)x2xx(x2),令()0,得fx02x或．x2xfx当变化时,()﹑f(x)的变化情况如下表:x<-∞,-2>-2<-2,0>f<x>f<x>+0-↗极大值↘注意到(a1)a12,从而2①当a12a,即2a1时,f(x)的极大值为f(2),此时f(x)无极小3值；②当a10a,即0a1时,f(x)的极小值为f(0)2,此时f(x)无极大值；③当a2或1a0或a1时,f(x)既无极大值又无极小值．点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力．11的最小值为〔16、设a0,b0.若3是a与3b的等比中项,则3abA．8B．4C．1D．14答案：B1111baabab1,(b3a33,所以解析：因为)2ab)(ababba224,当且仅当abba即ab12时"="成立,故选择B．ab点评：本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力．11/4417、设数列0,aca31c,cN*,其中c为实数．满足aan0n1n〔Ⅰ证明：a[0,1]nN*成立的充分必要条件是c[0,1]；对任意n〔Ⅱ设0c1,证明：a1(3c)n1,nN*；3n〔Ⅲ设0c12,证明：a2aa2n113c,nN*．2231n解析：<1>必要性：∵a0,∴a1c,又∵a[0,1],∴01c1,即122c[0,1]．[0,1],对nN*用数学归纳法证明充分性：设ca[0,1],n当n1时,[0,1](k1),a0[0,1]．假设a1k则aca31cc1c1,且aca31c1c0,k1kk1k∴a[0,1],由数学归纳法知a[0,1]对所有nN*成立．k1n1<2>设0c,当1时,0,结论成立．na13当n2时,∵aca31c,∴1ac(1a)(1aa2),nn1nn1n1n1∵0C1,由〔1知a[0,1],所以1aa23且1a0,n13n1n1n1∴1a3c(1a),nn1∴1a3c(1a)(3c)2(1a)(3c)n1(1a)(3c)n1,nn1n21∴a1(3c)(nN*)．n1n1213c<3>设0c3,当n,结论成立,1时,a2021当n2时,由〔2知a1(3c)n10,n∴a2(1(3c))12(3c)(3c)2(n1)12(3c)n1,n12n1n∴a2a2a2a2a2n12[3c(3c)2(3c)n1]12n2nn12(1(3c)n)n113c213c．点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学12/44解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有〔1公差为0的有6个；〔2公差为1或-1的有8个；〔3公差为2或-2的有4个,共有18个,成等差数列的概率为,选B．个,其中为等差数列有三类：点评：本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,有采取分类讨论,分类时要做到不遗漏,不重复．4n3n5bSa,则n的值为abnST19、等差数列{}和{n}的前项和分别用n和n表示,若nnTnn<>A4n2B8n3C6n3D6n23n16n28n28n3答案：Aaa解析：∵S(2n1)2n1(2n1)a；Tn(21)．1nbn22n12n14(2n1)8n44n2．∴nS2n13(2n1)5a6n23n1bTn2n1点评：考查等差数列的前n项和的变形。20、已知x＞0,y＞0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则错误!的最小值是________．答案：4解析：∵错误!＝错误!≥错误!＝4．点评：考查等差等比数列的基本知识,均值不等式。21、命题p:实数满足x0,其中0,命题q:实数满足x2x60或x24ax3a2axx22x80,且是q的必要不充分条件,求的取值范围．pa解析：设Ax|x24ax3a0(a0)xaxa,|32x|2x3x|x4或x2x|x4或x2=因为p是q的必要不充分条件,所以qp,且p推不出q|4x2,CAx|x3a,或xa而CBxRR所以x|4x2x|x3a或xa,则3a2或a4a0a02即4．a0或a3点评：考查逻辑用语,一元二次方程及其含参数的解集。22、已知二次函数()的二次项系数为a,且不等式()2x的解集为〔1,3．fxfxfxa〔l若方程()60有两个相等的根,求f(x)的解析式；fx〔2若()的最大值为正数,求a的取值范围．且a．0解析：〔1因为()20的解集为〔1,3,所以fxxf(x)2xa(x1)(x3)因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a〔1〔2fxa由方程()60得：(24)902axaax因为方程〔2有两个相等的根．所以[(24a)]24a9a0,即5a410．2a1解得：a1〔舍去或a5,将a1fx代入〔1得()的解析式为：()1fx63,x2x555512aa24a1,〔2f(x)ax22(12a)x3aa(x)2aa有a<0,可得()的最大值为a24a1,fxa所以a24a1>0,且a<0．a14/44解得：a23或23a0,fx故当()的最大值为正数时,实数a的取值范围是(,23)(23,0)．点评：含参数的未知一元二次方程,求函数表达式以及参数的取值范围。计算量比较大,且要求对一元二次函数的知识熟练。23、已知数列an⑴设数列baSn4a2(1,2,),an1,中,是其前项和,并且Sn11nn2a(n1,2,),求证：数列是等比数列；bnn1n是等差数列；na⑵设数列cn,(n1,2,),求证：数列c2⑶求数列nnn的通项公式及前项和。ann分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关,{a}中又有S=4a+2,可由S-Sn1nnnnn1nn2作切入点探索解题的途径．解：<1>由S=4a2=4a+2,两式相减,得S-S=4<a-a>,即n,Sn1nn2n1n2n1n1a=4a-4a．<根据b的构造,如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键,注n2n1nnn1n意加强恒等变形能力的训练>a-2a=2<a-2a>,又b=a-2a,所以b=2b①n2n1n1nnn1nn1n已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3②2111212121由①和②得,数列{b}是首项为3,公比为2的等比数列,故b=3·2n1．nn当n≥2时,S=4a+2=2n1<3n-4>+2；当n=1时,S=a=1也适合上式．nn1综上可知,所求的求和公式为S=2n1<3n-4>+2．11n说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件S4a2得出递推公式。nn1n2．解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用．24、设实数a0,数列a是首项为,公比为a的等比数列,记anba1g|a|(nN*),Sbbb,nnnn12nalganna)an求证：当a1时,对任意自然数都有Sn1(1)n1(1=(1a)2n解：aaqn1a(a)n1(1)n1an。n13a3(1)n2(n1)an1(1)n1nan①记Sa2a2asa22a3(1)n3(n2)an1(1)n2(n1)an(1)n1nan1②①+②得(1a)saa2a3(1)n2an1(1)n2an(1)n1nan1③说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项,确定Cab,{a}是等差数列,{b}等比数列。nnnnn25、设正数数列{a}为一等比数列,且a=4,a=16．n2415/4447712〔〔〔〔〔〔〔…………aaaa1j2j3j4j〔〔〔〔〔〔〔〔〔………………ai2……ai3……ai4……ai5……aai1ij…………其中每行、每列都是等差数列,表示位于第i行第j列的数。aij〔I写出a的值；〔II写出a的计算公式；45ij〔III证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。解：〔I49a45〔II该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列：第二行是首项为7,公差为5的等差数列：……i第行是首项为43(i1),公差为2i1的等差数列,因此〔III必要性：若N在该等差数阵中,则存在正整数i,j使得Ni(2j1)j从而2N122121()(2i1)(2j1)ijj即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积,由于2N+1是奇数,则它必为两个不l是1的奇数之积,即存在正整数k,,使得2N1(21k)(2l1),从而Nk(2l1)la可见N在该等差数阵中。kl综上所述,正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。27、已知点的序列〔,0,,其中=0,的中点,…。,A3是线钱A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段〔I写出与、之间的关系式〔≥3〔I解：当n≥3时,〔II解：.由此推测。证法一：因为,且。证法二：〔用数学归纳法证明：成立。时,=根据〔i与〔ii可知,对任意,公式成立评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识,考查运算能力和逻辑思维能力。a28、〔94年全国理>设｛n｝是正数组成的数列,其前naanbn1n解：<1>由题意==n=a1+a2解得a2=6令=2时有故该数列的前三项为2、6、10.aanannana2°假设=k时,结论正确,即有k=4k-2=2整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0所以ak+1=2+4k=4<k+1>-2ak+1＞0,解得：ak+1=2+4kn这就是说=k+1时,上述结论成立.n成立.n=<a+2>2<∈N>整理得Snn解法二：由题意有,=a所以an+1=Sn+1-Sn=［〔n+1+2>222an=4n-2.即通项公式所以cb<3>令=n-1,n==则bbbnccc+2+…+-=+2+…+n1n1=说明：该题的解题思路是从所给条件出发,通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规n律,然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数的命题,可以考虑用数学归纳法进行证明,该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.x2y2129、〔XX18如图,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆42的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k〔1当直线PA平分线段MN,求k的值；〔2当k=2时,求点P到直线AB的距离d；〔3对任意k>0,求证：PA⊥PB主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分.解：〔1由题设知,a2,b2,故M(2,0),N(0,2),所以线段MN中点的坐标为(1,2)2,由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,2k2.221所以xy22y2x代入椭圆方程得1,42〔2直线PA的方程x2,因此P(,),A(,).2424解得3333340231,故直线AB的方程为xy0.2223C(,0),33于是3直线AC的斜率为〔3解法一：22xy221,解得x,记,将直线PA的方程ykx代入4212k212k2则P(,k),A(,k),于是C(,0)0kk,2故直线AB的斜率为yk2(x),代入椭圆方程得(2k2)x22k2x2(3k22)0,其方程为(3k22),k3)2k2(3k22)x或x因此B(2k22k2解得.k3k2k2k3k(2k2)k11.(3k22)3k22(2k2)k2k2于是直线PB的斜率因此kk1,所以PAPB.1解法二：20/44P(x,y),B(x,y),则x0,x0,xx,A(x,y),C(x,0).设112212121110(y)y.1kk2x(x)2x21设直线PB,AB的斜率分别为k,k2因为C在直线AB上,所以1111从而kk1,所以PAPB.1因此,点在抛物线yxA的坐标为〔1,1,点上运动,点Q满足BMx轴垂直的直线交抛物线于点MP30、〔XX理21设BQQA,经过Q点与满足QMMP,求点,点P的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养.解：由QMMP知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设P(x,y),Q(x,y),M(x,x2),则x2y(yx2),则y(1)x2y.①000B(x,y),由BQQA,即(xx.yy)(1x,1y),再设111010(1),xx1y(1)y.②解得10y将①式代入②式,消去,得0(1),xx1y(1)2x2(1)y.③1yx,yx,再将③式代入yx又点B在抛物线2上所以2121,得11y2x1.故所求点P的轨迹方程为31、〔北京理19x2G:y21.过点〔m,0作圆x2y21的切线I交椭圆G于A,B两点.4已知椭圆〔I求椭圆G的焦点坐标和离心率；21/44AB表示为m的函数,并求AB的最大值.〔II将〔19〔共14分解：〔Ⅰ由已知得a2,b1,所以ca2b23.所以椭圆G的焦点坐标为(3,0),(3,0)ec3.离心率为a2〔Ⅱ由题意知,|m|1.m1时,切线l的方程x1,点A、B的坐标分别为(1,3),(1,3),22当此时|AB|3当m=－1时,同理可得|AB|3当|m|1时,设切线l的方程为yk(xm),yk(xm),得(14k2)x28k2mx4k2m240x2y21.4由设A、B两点的坐标分别为(x,y)(x,y),则1122x2y21相切,得|km|1,即m2k2k21.k21又由l与圆所以|AB|(xx)2(yy)22121由于当m3时,|AB|3,|AB|43|m|m3,m(,1][1,)2所以因为.|AB|43|m|432,3m32|m||m|22/44且当m3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.32、〔XX理17已知直线l：y=x+m,m∈R。〔I若以点M〔2,0为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程；〔II若直线l关于x轴对称的直线为l,问直线l与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。解法一：〔I依题意,点P的坐标为〔0,m0m11因为MPl,所以20,解得m=2,即点P的坐标为〔0,2从而圆的半径故所求圆的方程为(x2)2y28.yxm,〔II因为直线l的方程为yxm.所以直线l'的方程为y'xm,x24y得x4x4m02由〔1当m1,即0时,直线l'与抛物线C相切〔2当m1,那0时,直线l'与抛物线C不相切。综上,当m=1时,直线l'与抛物线C相切；当m1时,直线l'与抛物线C不相切。解法二：〔I设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x2)2yr2.依题意,所求圆与直线l:xym0相切于点P〔0,m,4mr2,2|20m|r,2则r22.解得所以所求圆的方程为(x2)2y28.〔II同解法一。33、〔XX理19设圆C与两圆(x5)2y24,(x5)2y24中的一个内切,另一个外切。〔1求C的圆心轨迹L的方程;35,45),F(5,0),且P为L上动点,求(MPFP的最大值及此时点P的〔2已知点M5坐标．5〔1解：设C的圆心的坐标为(x,y),由题设条件知x2y21.化简得L的方程为4y2(x5),将其代入L的方程得〔2解：过M,F的直线l方程为x65,x145,故l与L交点为T(65,25),T(214525).,515551515解得121因T1在线段MF外,T2在线段MF内,故|MT||FT||MF|2,11|MT||FT||MF|2.,若P不在直线MF上,在MFP中有22故|MP||FP|只在T1点取得最大值2。34、〔XX理20A1(a,0),A2(a,0)(a0)连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加m平面内与两定点24/44上、两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．AA12m〔Ⅰ求曲线C的方程,并讨论C的形状与值得关系；C1〔Ⅱ当m1时,对应的曲线为；对给定的m(1,0)U(0,),对应的曲线为2,设CF1CF2的两个焦点。试问：在1撒谎个,是否存在点N,使得△1NF2的面积、F是C2S|m|a2。若存在,求tanF1NF2的值；若不存在,请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。〔满分14分解：〔I设动点为M,其坐标为(x,y),yxaxax2a2yy2kkm,当xa时,由条件可得MA1MA2即mx2y2ma2(xa),又A(a,0),A(A,0)的坐标满足mx2y2ma2,12故依题意,曲线C的方程为mx2y2ma2.xy2当m1时,曲线C的方程为a221,C是焦点在y轴上的椭圆；ma2当m1时,曲线C的方程为x2y2a2,C是圆心在原点的圆；xy212当1m0时,曲线C的方程为2maa,C是焦点在x轴上的椭圆；2xy221,当m0时,曲线C的方程为a2ma2〔II由〔I知,当m=-1时,C1的方程为x2y2a2;当m(1,0)(0,)时,C是焦点在x轴上的双曲线。C2的两个焦点分别为F(a1m,0),F(a1m,0).12对于给定的m(1,0)(0,),25/44C1上存在点N(x,y)(y0)使得S|m|a2的充要条件是000xya2,y0,①②2020012a1m|y||m|a2.20|m|a.由①得0|y|a,由②得|y|1m00150|m|aa,即m0,1m2当或0m152时,存在点N,使S=|m|a2；|m|a15a,即-1<m<,1m2当或m152时,不存在满足条件的点N,1515m,00,22当时,由NF(a1mxy),NF(a1mx,y),100200可得NFNFx2(1m)a2y2ma2,1200令|NF|r,|NF|r,FNF,112212NFNFrrcosma2,可得rrma2cos,则由121212ma2sin2cosS12rrsin12ma2tan从而,12于是由S|m|a2,12ma2tan|m|a2,即tan2|m|.m可得26/44综上可得：15m,02FNF2;12||,且tan时,在C1上,存在点N,使得Sma2当时,在C1上,存在点N,使得15m0,22;2||,且tanSma2FNF1当当m(1,15)(15,)22时,在C1上,不存在满足条件的点N。35、〔XX理21xy2C:21(ab0)如图7,椭圆的离心率为1a2b232,x轴被曲线C:yx2b截得的线段长等于2C1的长半轴长。〔Ⅰ求C1,C2的方程；〔Ⅱ设C2与y轴的焦点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．〔i证明：MD⊥ME;S171〔ii记△MAB,△MDE的面积分别是S,S2．问：是否存在直线l,使得S32?请说明理由。12ec3,从而a2b,又2ba,解得a2,b1.解：〔Ⅰ由题意知2ax2y21,yx21.故C1,C2的方程分别为4〔Ⅱ〔i由题意知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为ykx.27/44yx21得由x2kx10.A(x,y),B(x,y),则x,x设2是上述方程的两个实根,于是11221又点M的坐标为〔0,—1,所以故MA⊥MB,即MD⊥ME.ykx1,ykx1,由1yx211〔ii设直线MA的斜率为k1,则直线MA的方程为解得则点A的坐标为(k,k21).111k1,又直线MB的斜率为(1,11).21kk1同理可得点B的坐标为11kS12|MA||MB|11k2|k|11||1k2|k|1122k11111于是ykx1x4y240得(14k2)x28kx0.112由8kx,1x0,14k21y1或y4k12114k21解得8k4k21则点D的坐标为(14k14k).,1122118k4k121(,).14k4k又直线ME的斜率为,同理可得点E的坐标为k212132(1kk)||S1|MD||ME|211)((1kk24).2于是22111(4k2417).S1因此S642k21128/441(4k2417)17,解得k24,或k21.k41111k2kk12k1,所以k3.1k11k121k1又由点A、B的坐标可知,y32x和y32x.故满足条件的直线l存在,且有两条,其方程分别为36、〔XX理20如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D．e12,求BC与AD的比值；〔I设〔II当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由．解：〔I因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设设直线l:xt(|t|a),分别与C1,C2的方程联立,求得A(t,aa2t2),B(t,ba2t2).………………4分bae1时,ba,分别用y,y322B表示A,B的纵坐标,可知当A|BC|:|AD|2|y|23.bB2|y|4a………………6分2A〔IIt=0时的l不符合题意.t0时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即ab21et2a.e2a2b2解得|t|a,又0e1,所以1e21,解得2e1.2因为e20e2时不存在直线l,使得BO//AN；2,所以当2e12时,存在直线l使得BO//AN.………………12分当37、〔全国大纲理21yC:x2212已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点,点P满足OAOBOP0.〔Ⅰ证明：点P在C上；〔Ⅱ设点P关于点O的对称点为Q,证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．解：y2x1,〔IF〔0,1,l的方程为yx2212代入并化简得4x222x10.…………2分A(x,y),B(x,y),P(x,y),设112233x26,x26,44则12x(xx)2,y(yy)1.2由题意得312312所以点P的坐标为(22,1).30/44(2,1)经验证,点P的坐标为2满足方程y2x21,2P在椭圆C上。…………6分故点2Q(2,1)〔II由P(2,1)2和题设知,lPQ的垂直平分线1的方程为2yx.2①21M(,)42,AB的垂直平分线为l2的方程为设AB的中点为M,则y22x1.4②21,)N(由①、②得l1,l2的交点为88。…………9分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上38、〔全国新课标理20在平面直角坐标系xOy中,已