2023-2024学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是(

)A.110，110 B.310，15 C.15，32.已知{a,b,A.a+b，b+c，a−c

B.a+2b，b，a+c

C.23.已知两个向量a=(2,−1,3A.1 B.2 C.4 D.84.已知向量a=(23,0,2)A.(3,0,3) B.5.如图，元件Ai(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.98916.同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为7”，事件B=“点数之和为3的倍数”，则(

)A.A+B为不可能事件 B.A与B为互斥事件

C.AB为必然事件 D.A7.袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出(

)A.B与D相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.C与D相互独立8.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△DA.5π B.4π C.5π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是(

)A.若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则A，B，C三点共线

B.空间中三个向量a，b，c，若a//b，则a，b，c共面

C.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+10.已知空间向量m=(−1,2A.当m⊥n时，x=3 B.当m//n时，x=−8

C.11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABA.D1O⊥AC

B.存在一点P，使得D1O//B1P

C.三棱锥

12.已知长方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB=AD=

A.当λ=1，γ=0时，P到A1D1的距离为3

B.当μ=1时，点P到平面BDD1B1的距离的最大值为1

C.当λ=0，三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且OP=114.如图，在二面角α−l−β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB

15.如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB

16.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，E四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足a+c=b(3sinA+cosA)．

(18.(本小题12.0分)

某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图．

(119.(本小题12.0分)

为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响，已知每题甲、乙两人同时答对的概率为12、恰有一人答对的概率为512．

(1)求p和20.(本小题12.0分)

我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式．其中“3”指的是语文、数学、外语三科为必选科目，“1”指的是考生在物理、历史2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中选择2门．已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学生物至少1门．

(1)从所有选科组合中任意选取121.(本小题12.0分)

如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．

22.(本小题12.0分)

如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，M是线段AD上的一动点，将△ABM沿着BM折起，使点A到达点A′的位置，满足点A′∉平面BCDM且点A′在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．

(1)当点M与端点D重合时，证明：答案和解析1.【答案】A

【解析】解：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，

∵总体容量为10，

故个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为110，

故选：A．

在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，结合已知中的总体容量，可得答案．

2.【答案】B

【解析】解：对于ACD，∵a+b=(b+c)+(a−c)，a+b+c=12(2a+b)+12(b+2c)，a+c=123.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了空间向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

由a//b，则存在实数k【解答】

解：∵a//b，

∴存在实数k使得a=kb，

∴2=4k−1=km4.【答案】A

【解析】解：由于向量a=(23,0,2)，向量b=(12,0,5.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题．

求出电流不能通过A1、A2，且也不能通过A3的概率，用1减去此概率，即得电流能通过系统A1、A2、A3的概率．再根据电流能通过A4【解答】

解：电流能通过A1、A2，的概率为0.9×0.9=0.81，电流能通过A3的概率为0.9，

故电流不能通过A1、A2，且也不能通过A3的概率为(1−0.81)(1−0.9)=0.019，

故电流能通过系统A1、A26.【答案】B

【解析】解：同时抛掷两颗骰子，有36个结果，

事件A=“点数之和为7”，包括：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，

事件B=“点数之和为3的倍数”，包括：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)7.【答案】C

【解析】解：由题意得，P(A)=14,P(B)=12，P(C)=44×4=14，P(D)=34×4=316，

对于A，P(BD)=116≠P(B)×P(8.【答案】C

【解析】解：如图所示，

当平面

ABC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，

取AC中点E，连接BE，DE，由条件知BE⊥DE，

设O1，O2分别为△ABC，△ADC的外心，过O1作平面ABC的垂线m，过O2作平面ADC的垂线n，

则m，n9.【答案】AB【解析】解：对于A，根据向量的线性运算，若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则A，B，C三点共线，故A正确，

对于B，因为a//b，则a,b共线，则根据共面向量的定义可得，a，b，c共面，故B正确，

对于C，对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+2022OB−2023OC10.【答案】BC【解析】解：若m⊥n，−1×2+2×(−4)+4x=0，∴x=52，

若m//n，(−1,11.【答案】AC【解析】解：对于A，连接AD1，CD1，由正方体的性质得△ACD1是等边三角形，

∵O为底面ABCD的中心，故为AC中点，故AC⊥D1O，故A正确；

对于B，将D1O进行平移到过B1点，使之与B1P具有公共顶点，

根据立体图象判断，无论如何也不可能满足B1H平行或重合于B1P，

∴D1O不可能平行于B1H，故B错误；

对于C，由平面BB1C1C//平面ADD1A1，

得三棱锥A−D1DP的体积为：

VA−D1DP=VC−ADD1=13×S△ADD1×DC=13×12×2×2×2=43，故C正确；

如图，当点P在C处时，D1O⊥OC，当点P在B1B的中点P1时，

12.【答案】CD【解析】解：A．AP=AB+μAD=AB+μBC，μ∈[0,1]，

∴点P在BC上，∵A1D1//BC，∴P到A1D1的距离为A1B=22+12=5，故A错误．

B.当μ=1时，AP=λAB+AD+γAA1=AD+λDC+γDD1，λ、γ∈[0,1]，即AP−AD=λAB+γDD1，即DP=λAB+γDD1，λ、γ∈[0,1]，

∴点P在平面CDD1C1上，

则当P位于CC1上，P到平面BDD113.【答案】215【解析】解：法一：因为点P在平面ABC内，点O在平面ABC外，

所以由共面向量基本定理知，15+23+m=1，解得m=215．

法二：因为OP=15OA+23OB+mOC，

所以OP=O14.【答案】120°【解析】解：设二面角α−l−β的大小为θ，且AC⊥l，BD⊥l，

所以<AC，BD>=θ，

所以CD2=(−AC+AB+BD)2=A15.【答案】−1【解析】解：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，

因为AE⊥PB，BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，

所以AE⊥平面16.【答案】20π【解析】解：鳖臑P−ADE可以看成如图所示的长方体的一部分：

则长方体的外接球即为鳖臑P−ADE的外接球，

又∵鳖臑P−ADE的外接球的体积为92π，

∴鳖臑P−ADE的外接球的半径R=322，

∴12ED2+AD2+PA2=322，∴PA17.【答案】解：(1)因为a+c=b(3sinA+cosA)，

由正弦定理可得sinA+sinC=sinB(3sinA+cosA)，

即sinA+sin(A+B)【解析】(1)根据正弦定理、辅助角公式等知识化简已知条件，从而求得B．

(2)利用三角形ABC的面积求得18.【答案】解：(1)设这20人的平均年龄为x−，

则x−=(20+252×0.01+25+302×0.07+30+352×0.06+35+402×0.04+40+452×0.02)×5=32.25，

设第80百分位数为a，由5×0.02+(【解析】(1)由平均值的求法可得平均数；

(2)由题意可得第四组，第五组的平均数及方差，可得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z−19.【答案】解：(1)设A=“甲同学答对第一题”，B=“乙同学答对第一题”，P(A)=p，P(B)=q．

设C=“A∩B”，D=(A∩B−)∪(A−∩B)．

因为甲乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

所以A与B相互独立，A∩B−与A−∩B互斥，

所以P(C)=P(A∩B)【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式列式求解即可；

(2)分别求得甲2道、乙1道，甲20.【答案】解：(1)用a，b分别表示“选择物理”，“选择历史”，

用c，d，e，f分别表示“选择化学”，“选择生物”，“选择政治”，“选择地理”，

则所有选科组合的样本空间为：

Ω={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef}，

∴n(Ω)=12，

设M=“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，

则【解析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

(1)用a，b分别表示“选择物理”，“选择历史”，用c，d，e，f分别表示“选择化学”，“选择生物”，“选择政治”，“选择地理”，利用列举法能求出该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率．

(2)设甲、乙、丙每人选择的组合符合福建医科大学临床类招生选科要求分别是事件N1，N2，N3，由题意知事件N1，N221.【答案】证明：(1)由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC

又BC//AD，因此AE⊥AD

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE

而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A

所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD

所以AE⊥PD.(3分)

解：(2)设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．

由(1)知AE⊥平面PAD

所以∠EHA为EH与平面PAD所成的角

在Rt△EAH中，AE=3，

所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．

因为sin∠EHA=155，此时tan∠EHA=AEAH=3AH=62

因此AH=2.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.(5分)

解法一：因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC