电磁场第22章资料课件

上节复习电场强度E

：

(V/m)。意义：单位长度上的电压降！！电位移矢量D

：

(C/m2)。意义：单位面积上的电荷量！！磁感应强度B

：

(N)。意义：电荷垂直入射到磁场中时，单位正电荷所受的电场力！！（单位:T)磁场强度矢量H

：

(A/m)。意义：单位长度上的电流！！则位移电流密度定义为：恒定电流的安培环路定理全电流定律位移电流的定义：揭示：位移电流同样会产生磁场。实质：变化的电场也会产生磁场。2、电磁感应定律（实验定律）

电磁感应现象：当穿过线圈所包围面积的磁通量随时间变化时，线圈内会产生感应电动势。它的大小等于磁通量随时间的变化率，它的方向是阻止磁通变化的方向。电磁感应的表达式：为感应电动势，单位为V。是磁通变化率，单位为Wb/s。感应电势（闭合线圈中产生感应电流）结论：随时间变化的磁场会产生电场，而且磁通量的随时间的变化率愈大，则感应电动势愈大、电场愈强；反之则愈弱。穿过一个曲面S的磁通量为

S面是以封闭曲线l为周界的任意曲面，其方向与封闭有向曲线l呈右手螺旋关系。由电磁感应定律得：通常我们取S面上磁通量的变化是由磁场变化引起的，保持S不随时间变化，则有：麦克斯韦把这个实验定律推广到包括真空在内的任意介质中，即认为变化磁场引起的感应电场的现象不仅发生在导体回路中，而且在一切介质中，只要有变化的磁场就会产生感应电场。3高斯定律

在普通物理中讨论了静电场的高斯定律，即式中，表示闭合曲面上的面积分，中的V为闭合曲面S包围的体积的体积分，为闭合曲面S包围的自由电荷的代数和。ρ为自由电荷体密度，电荷是产生电场的重要原因之一【例1-2】已知一点电荷带电量为+q，求距该点电荷r处的，若周围介质为空气，求电场强度。麦克斯韦：将这个定律推广到任意电场，即不仅适用于静电场，面且适用于时变电场。4磁通连续性定律在普通物理中讨论了恒流磁场的磁通连续性原理，即它表明两点：1）磁感应线永远是连续的，闭合的，无头无尾的；2）与高斯定律相比，表明磁荷不存在。这个定律可推广到任意磁场，即不仅适用于恒流磁场，而且适用于时变磁场。

(2-1-1a)

(2-1-1b)

(2-1-1c)

(2-1-1d)2.1.1麦克斯韦方程组的积分形式

2.1麦克斯韦方程组麦克斯韦方程的物理意义如下：

第一方程为全电流定律：电流是产生磁场的唯一原因，（这里的电流是全电流，包括传导电流和位移电流；第二方程为法拉第定律：时变磁场是产生电场的一个原因（时变的磁场是电场漩涡源）；第三方程为磁通连续性原理：磁场是恒连续、闭合、无头无尾的；第四方程为高斯定律：自由电荷是产生电场的另一原因（自由电荷是电场的散度源）。把方程（1）、（2）结合起来便得出如下结论：时变磁场将激发时变电场，而时变电场又将激发时变磁场，电场和磁场互为激发源，相互激发（预言电磁波的存在）。1887年由德国年轻学者赫兹的实验所证实电磁波的存在。1895年意大利工程师马可尼和俄罗斯物理学家波波夫分别成功地进行了无线电报传送实验，开创了人类无线电应用的新纪元。应用矢量分析中的散度定理和旋度定理，即可得麦克斯韦方程组的微分形式。2.1.2麦克斯韦方程组的微分形式

(2-1-7a)

(2-1-7b)

(2-1-7c)

(2-1-7d)重要说明：积分形式：应用于空间中的某一区域电磁场问题的求解。（如：边界条件问题）微分形式：应用于连续空间中任意空间场点的电磁问题求解。2.1.3本构关系

用E、D、B、H四个场量写出的方程称为麦克斯韦方程的非限定形式，因为它没有限定D与E之间及B与H之间的关系，故适用于任何媒质。

对于线性和各向同性媒质，有

(2-1-13a)

(2-1-13b)

(2-1-13c)欧姆定律的微分形式式(2-1-13)称为媒质的本构关系，式中ε

是介电常数，单位是法拉每米(F/m)；εr是相对介电常数；ε0是真空的介电常数，其取值为

(2-1-14)

式中μ是磁导率，单位是亨利每米(H/m);

μr是相对磁导率;μ0是真空的磁导率,取值为

(2-1-15)

ε、

μ、σ

称为媒质参数，通常研究的媒质是均匀、线性、各向同性的媒质，其定义如下：

(1)若媒质参数与位置无关，称为均匀媒质；

(2)若媒质参数与场强大小无关，称为线性媒质；

(3)若媒质参数与场强方向无关，称为各向同性媒质，反之称为各向异性媒质；

(4)若媒质参数与场强频率无关，称为非色散媒质，反之称为色散媒质。

(5)σ=0的介质称为理想介质；

(6)σ→∞的导体称为理想导体；

(7)σ

介于0和∞之间的媒质称为导电媒质或有耗媒质。利用本构关系，对于均匀、线性、各向同性媒质，麦克斯韦方程组可用E和H两个场量如下表示

(2-1-16a)

(2-1-16b)

(2-1-16c)

(2-1-16d)

解

对麦克斯韦第一方程(2-1-16a)两边取散度，并将第四方程(2-1-16d)代入，可得

其解为

例2-1-1

证明导电媒质内部电荷密度ρ=0。

对于良导体，其很大，所以在很短的时间，导体内部的电荷密度就衰减的很小，可近似为零。2.2电磁场的边界条件边界：在电磁场中，空间常常存在着两种或两种以上的不同媒质连接区域（ε、μ、σ有突变）-------边界面。边界条件：两种媒质分界面处电磁场应满足的关系。分析方法：应用麦克斯韦方程的积分形式导出边界条件。边界的方向问题

边界上的电场、磁场垂直于分界面的法向分量，用下标n表示，法向单位矢量n的方向总是从第二媒质指向第一媒质。平行于分界面的切向分量，用下标t表示。数学基础2.2.1E的切向边界条件

由麦克斯韦积分形式：电磁感应定律作闭合线积分

长边Δl与界面平行，紧贴边界，短边Δh与界面垂直，Δh

0。图2-2-1E的切向边界条件E1tE2tE1nE2n公式右边：

由于是有限量，当Δh→0时，ΔS=ΔhΔl

→0

，

公式的左边：(2-2-1)再由左边=右边，得：上节复习麦克斯韦方程组的积分形式：

本构成方程：

σ为煤质的电导率（S/m），σ=0的介质称为理想介质；σ→∞的导体称为理想导体；

σ

介于0和∞之间的媒质称为导电媒质或有耗媒质。麦克斯韦方程组的微分形式：

电磁场的边界条件边界面边界切向与法向麦克斯韦方程组积分形式

边界上的E由电磁感应定律:作闭合线积分

长边Δl与界面平行，紧贴边界，短边Δh与界面垂直，Δh

0。左边：(2-2-1)边界上的E右边：由麦克斯韦积分形式：全电流应定律作闭合线积分

长边Δl与界面平行，紧贴边界，短边Δh与界面垂直，Δh

0。2.2.2H的切向边界条件

图2-2-2H的切向边界条件H1tH2tH1nH2n公式的左边：公式右边(第二项):

由于是有限量，当Δh→0时，ΔS=ΔhΔl

→0

，当分界面上有传导电流时：

电流分布在边界面导体表面处极薄一层内，设分界面上的单位宽度上传导电流面密度JS(A/m)的方向垂直于纸面向内。

则有小回路包围电流：I=JSΔl，公式右边(第一项)：边界上是否有传导电流？当分界面上没有电流时：右边=0再由左边=右边，得：右边=JSΔl再由左边=右边，得：H1t－H2t=JS

(2-2-2)2.2.3边界上的D

由麦克斯韦积分形式：高斯定律作闭合面积分

上下底面ΔS与界面平行，紧贴边界，圆柱高度Δh与界面垂直，Δh

0。图2-2-3法向边界条件D1tD2tD1nD2n公式左边当有电荷分布时，因Δh→0时，定义分界面上自由电荷的面密度，单位是(C/m2)，公式右边当无电荷分布时，右边=0

再由左边=右边，得：

D1n－D2n=0

(2-2-3’)再由左边=右边，得：

D1n－D2n=ρS

(2-2-3)

右边等于2.2.4边界上的B

由麦克斯韦积分形式：磁通连续性定律作闭合面积分

上下底面ΔS与界面平行，紧贴边界，圆柱高度Δh与界面垂直，Δh

0。同理，左边右边=0

再由左边等于右边，得：

B1n=B2n

(2-2-4)结论：

E1t=E2t

H1t-H2t=JS（JS≠0表示边界上有传导电流分布，

JS=0表示边界上无传导电流）

D1n=D2n=ρS

（ρS

≠0表示边界上有自由电荷分布，

ρS

=0表示边界上无）

B1n=B2n

用矢量形式怎么表达该边界条件？为什么有电流、电荷分布就不连续？

1)两种理想介质的分界面

此时两种媒质的电导率为零，在分界面上一般不存在自由电荷和面电流，即ρS=0、JS=0，则边界条件为

H1t=H2t

(2-2-5a)

E1t=E2t

(2-2-5b)

B1n=B2n

(2-2-5c)

D1n=D2n

(2-2-5d)是否E1=E2？2)理想介质和理想导体的分界面设媒质1为理想介质(σ1=0)，媒质2为理想导体(σ2→∞)，理想导体中电场E2=0，磁场H2=0此时的边界条件为

H1t=JS

(2-2-6a)

E1t=0

(2-2-6b)

B1n=0

(2-2-6c)

D1n=ρs

(2-2-6d)2.3时谐电磁场的复数表示时谐电磁场：随时间按正弦(或余弦)规律作简谐变化的电磁场，也称为正弦电磁场。时谐电磁场在实际中获得了最广泛的应用，广播、电视和通信的载波，都是正弦电磁波。一些非简谐的电磁波可以通过傅里叶变换变换成正弦电磁波来研究，所以研究时谐电磁场问题是研究时变电磁场的基础。知识基础正弦电信号瞬时值：复数表示形式：其中，为复振幅，为正弦时间因子。瞬时值与复数形式之间的关系：正弦信号的表示形式知识基础矢量的表示形式A=axAx+ayAy+azAzA(x,y,z)=axAx

(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)A(x,y,z,t)=axAx

(x,y,z,t)+ayAy(x,y,z,t)+azAz(x,y,z,t)在空间有分布：任一矢量：该矢量在空间分布随时间变化：时谐电磁场复数表示形式

在直角坐标系中，随时间作简谐变化的电场强度的三个分量的形式：E(x,y,z,t)=axEx

(x,y,z,t)+ayEy(x,y,z,t)+azEz(x,y,z,t)

(2-3-1a)

(2-3-1b)

(2-3-1c)因为是时谐场，三个分量的形式可以用余弦形式表示为：用复数的实部表示为

(2-3-2a)

(2-3-2b)

(2-3-2c)式中，；Re表示复数取实部；、

、称为复数振幅，故

(2-3-3)时谐电场矢量对时间的一阶、二阶导数可用复数表示为

(2-3-4a)

(2-3-4b)下面导出复数形式的麦克斯韦方程组。将场矢量都按上述规则表示，则麦克斯韦第一方程(2-1-7a)可写成

式中，是对空间坐标的微分运算，它与取实部符号Re可调换运算顺序。省略等式两边的Re，同时为了简便，约定不写出时间因子ejωt，可得麦克斯韦方程的复数形式为

(2-3-5a)同理可得

(2-3-5b)

(2-3-5c)

(2-3-5d)

例2-3-1

在无源无耗的理想介质中，试由麦克斯韦方程导出时谐电磁场满足的复数形式的波动方程

(2-3-6a)

(2-3-6b)

其中

(2-3-6c)

解

在无源无耗的理想介质中，复数形式的麦克斯韦方程组是

对麦克斯韦第二方程两边取旋度，得

利用矢量恒等式，将麦克斯韦第一和第四方程代入上式，整理得

电磁场是具有能量的，如何表示电磁的能量？？

2.4坡印廷定理坡印廷矢量定义：S的单位为瓦特每平方米(W/m2)表示单位时间内通过单位面积的能量，S也称为功率流密度矢量或能流密度矢量，其方向就是功率流的方向。坡印廷定理：左边单位时间流入封闭区域的能量。

右边第一项是体积τ内每秒电场能量和磁场能量的增加量，

第二项是体积τ内焦耳热损耗功率(即单位时间内以热能形式损耗在体积内的能量)。

符合能量守恒原理。对于时谐电磁场，坡印廷定理可以用复数表示，计算一周的平均功率流密度矢量更有意义，下面来求坡印廷矢量的平均值Sav。时谐电磁场用复数表示为

式中“*”表示取共轭。坡印廷矢量瞬时值为

上式第一项与时间无关，第二项在一个周期内的积分等于零，因此在一个周期T=2π/ω内坡印廷矢量的平均值为

(2-4-5)

称为平均坡印廷矢量。令复坡印廷矢量为

(2-4-6)下面从麦克斯韦方程出发，导出时变场中电磁能量的守恒关系——坡印廷定理。

用H点乘式(2-1-16b)，用E点乘式(2-1-16a)，将所得的两式相减，可得

(2-4-1)

利用矢量恒等式

由E·E=E2、H·H=H2的关系，式(2-4-1)可写为

(2-4-2)

将上式两边对封闭面S所包围的体积τ进行积分，并利用散度定理，同时改变等式两边的符号，可得

(2-4-3)

例2-4-1

设同轴线内外导体半径分别为a、b，它们都是理想导体，两导体间填充介电常数为ε、磁导率为μ0的理想介质，内外导体分别通过电流I和－I，其间电压为U。

(1)试求同轴线内的坡印廷矢量；(2)证明内外导体间向负载传送的功率为UI。

解

(1)电场垂直于导体表面沿径向，其大小沿圆周方向是轴对称的，设内外导体上单位长度的带电量分别为ρl和－ρl，应用高斯定理，沿同轴线轴线方向取长度为l,半径为ρ(a<ρ<b)的圆柱高斯面，可得

内外导体间电压为

故

由安培环路定律得

故坡印廷矢量为

(2)传输功率为

该例题说明传输线所传输的功率其实是通过内外导体间的电磁场传送的，导体结构只起着引导的作用。2.5.1位函数的定义

由麦克斯韦第三方程，又由于

，因而可以引入矢量位函数A

A的单位是韦伯每米(Wb/m)。将上式代入麦克斯韦第二方程，得

2.5电磁场的位函数(2-5-1)即

(2-5-2)

这说明，

是无旋场，因而可以引入标量位函数

(2-5-3)

即

(2-5-4)2.5.2达朗伯方程

下面推导位函数满足的方程。将式(2-5-1)和式(2-5-4)代入麦克斯韦第一方程，得

(2-5-5)

利用矢量恒等式，上式简化为

(2-5-6)要唯一地确定矢量位A，除规定它的旋度外，还必须规定它的散度，为了使上式简化，可以规定

(2-5-7)

上式称为洛伦兹条件，代入式(2-5-6)，得

(2-5-8)对于标量位函数

，把式(2-5-4)代入第四麦克斯韦方程，并利用洛仑兹条件，可得

(2-5-9)

式(2-5-8)和式(2-5-9)称为达朗伯方程，也称为A和

的非其次波动方程。采用洛仑兹条件，矢量位A仅由电流分布J决定，标量位

仅由电荷分布ρ决定，这对求解方程是特别有利的。当然，